试卷: 计算方法

124 年秋

1.	计算 $∥ A ∥_{2}$ . 其中 $A = ⎝ ⎛ 1001110001100011 ⎠ ⎞$
2.	1) ${x_{k}}_{k = 0}^{n}$ 是 $n + 1$ 个不同的节点, ${g_{n, k} (x)}_{k = 0}^{n}$ 是 Newton 基函数, ${l_{n, k} (x)}_{k = 0}^{n}$ 是 Lagrange 基函数. 构造矩阵 $T$ 使得 $⎝ ⎛ g_{n, 0} (x) g_{n, 1} (x) ⋮ g_{n, n} (x) ⎠ ⎞ = T ⎝ ⎛ l_{n, 0} (x) l_{n, 1} (x) ⋮ l_{n, n} (x) ⎠ ⎞$ 2) 当 $n$ 是偶数, 求证 Newton–Cotes 求积公式至少具有 $n + 1$ 次代数精度.
3.	首一多项式族 ${p_{n} (x)}_{n = 1}^{\infty}$ 满足当 $i \neq = j$ , $\int_{a}^{b} p_{j} (x) p_{i} (x) ρ (x) d x = 0$ , 即多项式族构成正交系. 1) 求证: 存在序列 ${b_{n}}, {c_{n}}$ , 使得 $p_{n + 1} (x) = (x + b_{n}) p_{n} (x) - c_{n} p_{n - 1} (x)$ 对 $n \geq 1$ 成立. 2) 求证: $c_{n} > 0$ .
4.	$A$ 是实对称阵, 不选主元作 $LU$ 分解, 证明: $U$ 的对角元均是正数当且仅当 $A$ 是对称正定阵.
5.	1) 构造线性方程组 $A x = b$ , Jacobi 迭代法收敛而 Gauss–Seidel 迭代法不收敛. 2) $A$ 对称正定, 则 CG 方法解线性方程组 $A x = b$ 有: $r_{n}^{T} r_{n} = p_{n}^{T} r_{0}$ .
6.	确定函数 $p (x), q (x)$ , 使得迭代法 $φ (x) = x - p (x) f (x) - q (x) f (x)^{2}$ 解 $f (x) = 0$ 具有局部至少 $3$ 阶收敛.