随机过程试卷

12023–2024 学年春季学期期末 (应坚刚)

1.	(10) 设 $X,Y$ 独立且期望为零, 证明: $\mathbb{E}|X|⩽\mathbb{E}|X+Y|$.
2.	(20) 设 $(X_n)$ 是一维整数点上零点出发的简单随机游动 $p<q$, $T$ 是首次返回零点的时间. (1) 求 $P(T<\infty )$, 需要过程; (2) 定义 $\xi ={\sup }_n{X}_n$. 证明 $P(\xi <\infty )=1$, 并求 $\xi$ 的分布.
3.	(20) 设 $(Y_n)$ 独立且等可能取值 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{3}{2}$. 令 $X_n=Y_1{Y}_2\cdots Y_n$. (1) 证明 $(X_n)$ 是鞅; (2) 证明 $X_n$ 几乎处处趋于零.
4.	(20) 设 $X$ 是正方形图 $abcd$ 上的简单随机游动, $a$ 与 $b$ 相邻, 与 $c$ 对角. 求 $P^a({\tau }_b<{\tau }_a)$ 与 $P^a({\tau }_c<{\tau }_a)$, 其中 ${\tau }_a=\inf \{n⩾1:X_n=a\}$.
5.	(20) 设马氏链 $X$ 的转移函数图如下: (1) 问哪些状态暂留, 常返, 零常返, 正常返? (2) 求 $f_{1,4}$, 与 ${\mathbb{E}}^4({\tau }_4)$.
6.	(10) 设 $X$ 是一个有限状态马氏链. 证明平稳分布存在.