试题: 非线性发展方程

12024 年非线性发展方程期末试题

一.	(50 分) 设 $T>0$, $\Omega \subset {\mathbb{R}}^3$ 是有界光滑区域, 边界为 $\partial \Omega$. 考虑如下 Cahn–Hilliard 型方程的初边值问题:$$\{\begin{array}{ll}{\partial }_{t}u=\Delta [-\Delta v+f(u)],& (x,t)\in \Omega \times (0,T),\\ u=v-\epsilon \Delta v,& (x,t)\in \Omega \times (0,T),\\ {\partial }_{\mathbf{n}}u={\partial }_{\mathbf{n}}v=0,& (x,t)\in \partial \Omega \times (0,T),\\ u(x,0)=u_0(x),& x\in \Omega .\end{array}$$其中, $f(u)=u^5-u$, 常数 $\epsilon \in (0,1/2]$, $\mathbf{n}$ 是边界上的单位外法向量. (a) (35 分) 假设 $u_0\in H^1(\Omega ),v_0\in H^2(\Omega )$ 满足 $v_0-\epsilon \Delta v_0=u_0$ 以及边界条件 ${\partial }_{\mathbf{n}}{v}_0=0$. 证明: 上述问题在 $[0,\infty )$ 上存在唯一的整体解 $(u_{\epsilon },v_{\epsilon })$. (请自行给出解的定义). (b) (15 分) 讨论当 $\epsilon \to 0$ 时解 $(u_{\epsilon },v_{\epsilon })$ 的收敛性. 若收敛, 请给出收敛速率估计.
二.	(40 分) 设 $T>0$, $\Omega \subset {\mathbb{R}}^3$ 是有界光滑区域, 边界为 $\partial \Omega$. 考虑如下反应扩散方程组的初边值问题:$$\{\begin{array}{ll}{\partial }_{t}u-\Delta u=au-r_{11}{u}^2-r_{12}uv,& (x,t)\in \Omega \times (0,T),\\ {\partial }_{t}v-\Delta v=bv-r_{21}uv-r_{22}{v}^2,& (x,t)\in \Omega \times (0,T),\\ {\partial }_{\mathbf{n}}u={\partial }_{\mathbf{n}}v=0,& (x,t)\in \partial \Omega \times (0,T),\\ u(x,0)=u_0(x),v(x,0)=v_0(x),& x\in \Omega .\end{array}$$其中, $a,b,r_{11},r_{12},r_{21},r_{22}>0$ 为给定的正常数, $\mathbf{n}$ 是边界上的单位外法向量. (a) (30 分) 运用算子半群方法讨论上述问题在适当函数空间中的适定性. (b) (10 分) 假设初值满足 $u_0,v_0\ge 0$, 解是否也非负?
三.	(10 分) 设 $T>0$, $\Omega \subset {\mathbb{R}}^3$ 是有界光滑区域, 边界为 $\partial \Omega$. 考虑如下具有非线性边界条件的热传导方程的初边值问题: $$\{\begin{array}{ll}{\partial }_{t}u=\Delta u,& (x,t)\in \Omega \times (0,T),\\ {\partial }_{\mathbf{n}}u=g(u),& (x,t)\in \partial \Omega \times (0,T),\\ u(x,0)=u_0(x),& x\in \Omega .\end{array}$$其中, $g(u)=u^3$, $\mathbf{n}$ 是边界上的单位外法向量.   假设经典解的存在性已知. 证明: 若初始能量满足$$E(u_0)=\frac{1}{2}{\int }_{\Omega }|\nabla u_0{|}^2\mathrm{d}x-\frac{1}{4}{\int }_{\partial \Omega }{u}_0^4\mathrm{d}S<0,$$则上述问题的解在有限时刻爆破.