用户: Solution/ 试卷: Fourier分析

2022 学年期末试卷

一、	(15 分) 习题 1.3.7.
二、	(30 分) 习题 2.1.11.
三、	(10 分) 习题 2.3.10.
四、	(15 分) 习题 2.2.12.
五、	(30 分) $m_{\alpha }(x):=(1+4{\pi }^2|x{|}^2{)}^{-\alpha },\alpha \in (0,1)$, 求 $m_{\alpha }$ 的 Fourier 变换 (不必给出显式表达) , 并以此证明 $m_{\alpha }(x)$ 是一个 $L^p$ Fourier 乘子, $1⩽p⩽\infty$.

可以直接把作业纸交上去; 可以提前交卷.

第五题这样做: 由 GTM250 Proposition 1.2.5, $m_{\alpha }^{\vee }>0$, 且 $\Vert m_{\alpha }^{\vee }{\Vert }_{L^1}=1$. 由 GTM249 Exercise 2.5.8, $\Vert m_{\alpha }{\Vert }_{{\mathcal{M}}_p}=1$.

 

2023 学年期末试卷

一、	(20 分) 习题 1.1.12.
二、	(10 分) 习题 1.3.7.
三、	(10 分) 习题 2.2.14.
四、	(5+5 分) 习题 2.3.12.
五、	(6+9 分) 习题 2.5.6.
六、	(15 分) 对半正定阵 $A$, 求 $\exp (-⟨Ax,x⟩)$ 的 Fourier 变换.
七、	(5+15 分) 对 $f\in \mathcal{S}$, 以及缓增分布 $u$, 有 $(I-\Delta )u=f$, 证明: $u\in \mathcal{S}$. 对 $1<p<\infty$, 证明: 存在常数 $A_p$, 使得 $\forall f\in {\mathcal{C}}_c^{\infty },\forall 1\le i,j\le n$, 都有 $\Vert {\partial }_i{\partial }_{j}u{\Vert }_{L^p}\le A_p\Vert f{\Vert }_{L^p}$ 成立.

第六题见课上习题栏目.