用户: Solution/ 试卷: Riemann几何

124 年春

前四题各 10 分, 后四题各 15 分.

1.	叙述 Levi-Civita 联络的定义.
2.	叙述割点、共轭点的定义, 并写出它们之间的关系.
3.	计算常曲率空间中距离函数的 Laplacian.
4.	叙述距离函数的 Laplacian 比较定理和 Bishop–Gromov 体积比较定理.
5.	设 $M$ 是非正曲率完备 Riemann 流形, $x\in M$, 证明: ${\exp }_x:{\mathrm{T}}_{x}M\to M$ 不减距离, 即对任意 $X\in {\mathrm{T}}_{x}M$, $v\in {\mathrm{T}}_X({\mathrm{T}}_{x}M)\cong {\mathrm{T}}_{x}M$, 有 $\left|(\mathrm{d}{\exp }_x{)}_X(v)\right|\ge |v|$.
6.	设 $M$ 是偶数维正曲率紧 Riemann 流形, 证明: 对 $M$ 上的任意 Killing 向量场 $X$, 存在 $p\in M$, 使得 $X(p)=0$.
7.	证明: Clifford 环面 $S^1\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\times S^1\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ 是 $S^3$ 中的极小曲面.
8.	设 $k$ 是正整数, 证明: Clifford 环面 $S^k\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\times S^k\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ 是 $S^{2k+1}$ 中的极小超曲面. $S^k\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\times S^k\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ 是否具有非负截面曲率? 请证明.

224 年秋

前四题各 12 分, 后四题各 13 分.

1.	叙述流形上曲率张量的定义及其基本性质.
2.	叙述割点、共轭点的定义, 并写出它们之间的关系.
3.	叙述距离函数的 Laplace 比较定理和 Bishop–Gromov 体积比较定理.
4.	计算标准球面上距离函数的 Hessian 和 Laplace.
5.	根据标准正交基下流形上光滑函数的梯度和 Laplace 的定义, 计算曲线坐标系下光滑函数的梯度和 Laplace 的表达式.
6.	设 Riemann 流形 $M$ 的截面曲率 $K$ 满足 $0<L\le K\le H$, 其中 $H$ 和 $L$ 是常数. 设 $\gamma$ 是 $M$ 中的测地线, 证明: $\gamma$ 上相邻共轭点沿着 $\gamma$ 的距离 $d$ 满足$$\frac{\pi }{\sqrt{H}}\le d\le \frac{\pi }{\sqrt{L}}.$$
7.	计算欧氏空间中的极小超曲面上位置函数的 Laplace, 并证明欧氏空间中不存在紧 (无边) 极小超曲面.
8.	证明: 具有正截面曲率的流形上不存在 line, 即极小测地线 $\gamma :(-\infty ,+\infty )\to M$. 并判断: 对于一个具有非负截面曲率的流形, 如果其上有一点的截面曲率为正, 是否存在 line.