Sobolev 空间 试卷

12024 秋

(注: 以下定理, 例子, 引理出自 Robert A. Adams and J.F. Fournier’s Sobolev Spaces, Pure and Applied Mathematics Vol.140, Academic Press, 2003.)
以下总假定区域 $\Omega$ 满足锥条件, $p,q\ge 1,m\ge 1,j\ge 0$.

一	证明定理 4.31.
二	举出四个嵌入和两个紧嵌入的反例并简单说明.(例 4.41 4.42 6.12)
三	解释 $C^m(\overline{\Omega }),C^{m,\alpha }(\overline{\Omega }),L^p(\Omega ),W^{m,p}(\Omega ),C_0^{\infty }(\Omega ),\mathcal{D}(\Omega ),{\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$, 并说明它们之间的关系.
四	(a) 说明什么是锥条件. (b) 证明引理 4.15. (c) 设 $mp>n$, 证明 Sobolev 嵌入$$W^{j+m,p}(\Omega )\to C_B^j(\Omega )$$$$W^{j+m,p}(\Omega )\to W^{j,q}(\Omega )$$其中 $p\le q\le \infty$.
五	证明定理 5.8, 说明 $\theta$ 是什么.