定义
设 0<p<∞, 所有使M(f;P)(x)=t>0sup∣(Pt∗f)(x)∣为 Lp 函数的 Rn 上的有界缓增分布 f 构成的空间称为实 Hardy 空间, 范数是∥f∥Hp=∥M(f;P)∥Lp.
这里面,
Rn 上的有界缓增分布是说对
Schwartz 空间 S(Rn) 中的所有
φ 都有
φ∗f∈L∞(Rn) 的缓增分布
f, Poisson 核
Pt(x)=t−nP(x/t), 其中
P(x)=π2n+1Γ(2n+1)(1+∣x∣2)2n+11. 设 0<p≤1,1<q≤∞. 称符合以下条件的函数 A 为 Hp(Rn) 的一个 Lq 原子:
• | suppA⊂ 某方块 Q, |
• | ∥A∥Lq≤∣Q∣q1−p1, |
• | ∫xαA(x)dx=0 对所有 ∣α∣≤⌊pn−n⌋ 的指标 α 成立. |
不难看出, 对
q<r,
Lr 原子也是
Lq 原子. 命题
2.2 表明,
Hp(Rn) 的
Lq 原子本身也是
Hp(Rn) 的元素.
性质
• | 对 1<p<∞, Hp(Rn)=Lp(Rn), 且 ∥f∥Lp≤∥f∥Hp≤Cn,p∥f∥Lp. |
• | 对 p=1, H1(Rn)⊂L1(Rn), 且 ∥f∥L1≤∥f∥H1. |
证明.
• | 对 1<p<∞, 设 f∈Hp(Rn), 由定义 {Pt∗f}t>0 在 Lp(Rn) 中一致有界, 故有子列 {Ptj∗f}tj→0 弱 * 收敛于某 f0∈Lp(Rn). 下面会说明 Ptj∗f 作为缓增分布收敛于 f, 于是 f=f0, 是 Lp 函数. 由 {Pt}t>0 是逼近恒等得到 Pt∗f 在 Lp 空间中收敛于 f, 故有 ∥f∥Lp≤∥t>0sup∣Pt∗f∣∥Lp=∥f∥Hp. 现在来验证 {Pt∗f}t→0 作为缓增分布收敛于 f. 取 ϕ∈C∞(Rn) 且 ϕ^ 在 0 的某邻域等于 1, 然后分别说明缓增分布 Pt∗(ϕ∗f)→ϕ∗f 和 Pt∗((δ0−ϕ)∗f)→(δ0−ϕ)∗f 即可. 前者是因为 {Pt∗f}t→0 一致有界且点点收敛于 ϕ∗f, 由 Lebesgue 控制收敛定理得到 ⟨Pt∗(ϕ∗f),ψ⟩→⟨ϕ∗f,ψ⟩ 对一切 ψ∈S(Rn). 后者等价于 ⟨Pt(1−ϕ^)f^,ψ⟩→⟨(1−ϕ^)f^,ψ⟩ 对一切 ψ∈S(Rn), 这只需说明 (Pt−1)(1−ϕ^)ψ 在 S(Rn) 中收敛到 0, 其中 Pt(ξ)=e−2πt∣ξ∣, 过程略去. 再证明另一侧不等号. 注意到对任意 t>0 有∣(Pt∗f)(x)∣≤Mf(x),其中 Mf 是 f 的 Hardy–Littlewood 极大函数, 这是因为可以找一列符合 j=1∑Naj∣Brj∣=∫Pt=1 的 j=1∑NajχBrj(0) 在 Lp′ 范数下趋近 Pt, 且对所有 j 有∣(χBrj(0)∗f)(x)∣=∣∣∫Brj(x)fdy∣∣≤∣Brj∣Mf(x).结合熟知的 ∥Mf∥Lp≤Cn,p∥f∥Lp, 就完成了证明. |
• | 对 p=1, 设 f∈H1(Rn), 则 {Pt∗f}t>0 在 L1(Rn) 中一致有界, 但 L1(Rn) 不是任何空间的对偶, 需要把它放在有限 Borel 测度空间 U 之中 (这是 C0(Rn)={f∈C(Rn)∣x→∞limf(x)=0} 的对偶) , 得到有子列 {Ptj∗f}tj→0 弱 * 收敛于某 μ∈U. 下面会说明实际上 μ∈L1(Rn), 又由于 Ptj∗f 作为缓增分布收敛于 f, 得到 f=μ, 是 L1 函数, 然后同上可得 ∥f∥L1≤∥f∥H1. 现在来说明 μ∈L1(Rn), 由 Radon–Nikodym 定理, 此即要说明 μ 相对于 Lebesgue 测度绝对连续. 对任意 ε>0, 由于 t>0sup∣(Pt∗f)∣∈L1(Rn), 存在 δ>0 使得对所有 ∣E∣<δ 都有 E∫t>0sup∣(Pt∗f)∣dx<ε, 那么∣μ(E)∣≤∣μ∣(E)=sup{∣∣∫Rngdμ∣∣∣∣g∈C0(Rn),∣g∣≤1,suppg⊂E}=sup{j→∞lim∣∣∫Rng⋅(Ptj∗f)dx∣∣∣∣g∈C0(Rn),∣g∣≤1,suppg⊂E}≤∫Et>0sup∣(Pt∗f)∣dx<ε. |
设 0<p≤1,1<q≤∞, Hp(Rn) 的所有 Lq 原子都在 Hp(Rn) 之中, 且 Hp 范数有一致的上界.
证明. 引用如下结论: 齐次 Triebel–Lizorkin 空间的 F˙p0,2 半范数等价于 Hp 范数, 具体地∥f∥F˙pα,r=∥∥(j∈Z∑(2jα∣Δjf∣)r)r1∥∥Lp,其中 0<r≤∞, α∈R, Δjf=2njψ(2jx)∗f, ψ 是一个取值仅有关 ∣x∣ 的 S(Rn) 函数, 且 ψ^(ξ) 在 76≤∣ξ∣≤2 之外为 0, 在 1≤∣ξ∣≤712 上等于 1, 而且在 Rn\{0} 成立 j∈Z∑ψ^(2jξ)≡1. (这样的 ψ 可以取为 ψ^(ξ)=ϕ(ξ)−ϕ(ξ/2), ϕ≡1 当 ∣ξ∣≥1, ϕ≡0 当 ∣ξ∣≤76)
证明见 [Grafakos 2014] Theorem 1.3.8, Theorem 2.2.9, Corollary 2.2.10.
由此, 问题转化为对 Hp(Rn) 的任何 Lq 原子 A 有∥∥(j∈Z∑∣ΔjA∣2)21∥∥Lp≤Cn,p,q.
不妨设 A 支撑于中心为 0 的 Q. 下面分别估计 nQ 与 (nQ)c 两部分上的积分.
首先, 利用 F˙q0,2,Lq 范数的等价性得到∥∥(j∈Z∑∣ΔjA∣2)21∥∥Lp(nQ)≤∣nQ∣p1−q1∥∥(j∈Z∑∣ΔjA∣2)21∥∥Lq(nQ)≤Cn,p,q∣Q∣p1−q1∥A∥Lq≤Cn,p,q.
接着, 对
x∈(nQ)c 有
Δjf(x)=2jn∫Qψ(2j(x−y))A(y)dy=2jn∫Q(ψ(2j(x−y))−∣α∣≤k∑∂αψ(2jx)α!(−2jy)α)A(y)dy=2jn∫Q(∣α∣=k+1∑∂αψ(2j(x−θy))α!(−2jy)α)A(y)dy,其中
θ∈(0,1),
k=⌊pn−n⌋, 用到了
∫xαA=0 对
∣α∣≤k. 注意到
∣y∣≤n∣Q∣n1/2≤∣x∣/2 推出
∣x−θy∣≥∣x∣−∣y∣≥∣x∣/2, 使用
∣∂αψ(x)∣≤C/∣x∣N (
N 待定) 进而得到
∣ΔjA(x)∣≤2nj∫Q∣α∣=k∑(1+2j∣x∣/2)NCα!∣2jy∣k∣A(y)∣dy≤(1+2j−1∣x∣)NC2(n+k)j(∫Q∣y∣kq−1qdy)qq−1∥A∥Lq=(1+2j−1∣x∣)NCn,q2(n+k)j∣Q∣1−q1+nk∥A∥Lq,于是, 令
N>n+k 就有
(j∈Z∑∣ΔjA∣2)21dx≤Cn,q(j∈Z∑(1+2j−1∣x∣)2N22(n+k)j)21∣Q∣1−q1+nk∥A∥Lq≤Cn,q∣x∣−(n+k)∣Q∣1−p1+nk.由此,
∥∥(j∈Z∑∣ΔjA∣2)21∥∥Lp((nQ)c)≤Cn,p,q∫n∣Q∣n1/2∞r−(n+k)p+n−1dr∣Q∣1−p1+nk=Cn,p,q.定义
设 f 是 Rn 上的复值局部可积函数, 定义∥f∥BMO=Qsup∣Q∣1∫Q∣f−fQ∣dx,其中 Q 取遍 Rn 的方块, fQ=∣Q∣1∫Qf.
记 BMO(Rn) 为所有符合 ∥f∥BMO<∞ 的 f 的函数空间.
之后出现的
Q 均表示
Rn 的一个方块. 容易得到对
f,g∈BMO(Rn),λ∈C 有
∥f+g∥BMO≤∥f∥BMO+∥g∥BMO,∥λf∥BMO=∣λ∣∥f∥BMO,且
∥f∥BMO=0 当且仅当在一切方块
Q 上成立
f=fQ, 当且仅当在
Rn 上
f 几乎处处是常数. 因此
∥ ∥BMO 是半范数, 且
BMO(Rn) 模去常数是赋范线性空间, 命题
4.8 进一步表明这是 Banach 空间.
性质
设存在 A>0 使得对所有 Q 存在常数 cQ 满足Qsup∣Q∣1∫Q∣f−cQ∣dx≤A,那么 f∈BMO(Rn), 且 ∥f∥BMO≤2A.
证明. 由于对任何
Q 有
∣fQ−cQ∣≤∣Q∣1∫Q∣f−cQ∣dx≤A,得到
∥f∥BMO=Qsup∣Q∣1∫Q∣f−fQ∣dx≤Qsup∣Q∣1∫Q∣f−cQ∣+Adx≤2A. 把 ∥ ∥BMO 半范数的定义里的正方体换成球体, 得到的半范数记为 ∥ ∥BMO′, 与原来的半范数等价.
证明. 设
B 是包含
Q 的最小的球, 在上一命题中取
cQ=fQ, 得到
∥f∥BMO≤2Qsup∣Q∣∣B∣∣B∣1∫Q∣f−fB∣dx=2∣Q∣∣B∣∥f∥BMO′,其中
∣Q∣∣B∣ 是一个定值. 类似地有反过来的不等号.
证明. 由于
∥f∥BMO≤Qsup∣Q∣1∫Q2∥f∥L∞dx=2∥f∥L∞,有
L∞(Rn)⊂BMO(Rn). 下面说明无界函数
log∣x∣∈BMO(Rn).
这只需要说明
∥log∣x∣∥BMO′<∞, 与命题
4.1 的推导相同, 只需对所有球
B 找到常数
cB 使得
∣B∣1∫B∣log∣x∣−cB∣dx 一致有界.
设
B=Br(x0). 当
∣x0∣>2r, 取
cB=log∣x0∣, 则
∣Br∣1∫Br(x0)∣log∣x∣−cB∣dx≤Br(x0)sup∣log(∣x∣/∣x0∣)∣dx≤max∣log(1±1/2)∣;当
∣x0∣≤2r,
Br(x0)⊂B3r(0), 取
cB=logr, 则
∣Br∣1∫Br(x0)∣log∣x∣−cB∣dx≤∣Br∣1∫Br(x0)∣log∣x/r∣∣dx≤∣Br∣1∫B3r(0)∣log∣x/r∣∣dx=∣B1∣1∫B3(0)∣log∣x∣∣dx<∞. 设 f∈BMO(Rn), 则 ∣f∣∈BMO(Rn), 且 ∥∣f∥BMO≤2∥f∥BMO.
证明. 注意到
±(∣f∣−∣fQ∣)≤∣f−fQ∣ 以及
±(∣f∣Q−∣fQ∣)≤∣f−fQ∣Q, 相加得
∣∣f∣−∣f∣Q∣≤∣f−fQ∣+∣f−fQ∣Q.两边在
Q 上积分即可.
设实值函数 f,g∈BMO(Rn), 则 max(f,g),min(f,g)∈BMO(Rn), 且 ∥max(f,g)∥BMO≤23(∥f∥BMO+∥g∥BMO),∥min(f,g)∥BMO≤23(∥f∥BMO+∥g∥BMO).
证明. 根据
max(f,g)=21(∣f∣+∣g∣+∣f−g∣),min(f,g)=21(∣f∣+∣g∣−∣f−g∣)得到 (
min(f,g) 相同)
max(f,g)∥BMO≤21(∥∣f∣∥BMO+∥∣g∣∥BMO+∥f−g∥BMO)≤21(2∥f∥BMO+2∥g∥BMO+∥f∥BMO+∥g∥BMO). 设 f∈BMO(Rn), 对 δ>0, 存在常数 Cn,δ, 对任何球 Br(x0) 有rδ∫Rn(r+∣x−x0∣)n+δ∣f−fBr(x0)∣dx≤Cn,δ∥f∥BMO′.
证明. 只需考虑球为
B1(0) 的情况. 由于
∣fB2l−fB2l+1∣=∣B2l∣1∣∣∫B2lf−fB2l+1dx∣∣≤∣B2l+1∣2n∫B2l+1∣f−fB2l+1∣dx≤2n∥f∥BMO′,那么对正整数
k 成立
∣fB1−fB2k∣≤2nk∥f∥BMO′.于是有
≤≤∫Rn(1+∣x∣)n+δ∣f−fB1∣dx∫B1∣f−fB1∣dx+k=0∑∞∫B2k+1\B2k2k(n+δ)∣f−fB2k+1∣+∣fB1−fB2k+1∣dx∣B1∣∥f∥BMO′+k=0∑∞2k(n+δ)2(k+1)n∣B1∣(1+2n(k+1))∥f∥BMO′. 这一命题说明, 对 f∈BMO(Rn) 及任何 δ>0, 成立 (1+∣x∣)n+δf(x)∈L1(Rn), 在这个意义上 f 差不多是有界的.
证明. 设
{[fj]}j≥1 是这一空间中的 Cauchy 列. 任意指定一个球
Br(x0), 并且让
[fj] 的代表元均满足
fjBr(x0)=0, 那么
∫Rn∣fj−fk∣dx≤rnCn,δ∥fj−fk∥BMO′→0,根据
L1(Rn) 的完备性,
{fj} 收敛于某
f∈L1(Rn). 此外, 上式说明: 对于
∣Q∣1∫Q∣(fj−fjQ)−(fk−fkQ)∣dx<ε,令
k→∞ 推出
∣Q∣1∫Q∣(fj−fjQ)−(f−fQ)∣dx<ε.取
Qsup 即得
∥fj−f∥BMO→0.
设 f∈BMO(Rn), 对任意的 Q 和 α>0 有∣{x∈Q∣∣f−fQ∣>α}∣≤e∣Q∣e−(2ne)−1α/∥f∥BMO.
设 0<p<∞, f∈BMO(Rn), 成立Qsup(∣Q∣1∫Q∣f−fQ∣pdx)p1≤Cn,p∥f∥BMO.
证明. 对任意的
Q 有
∣Q∣1∫Q∣f−fQ∣pdx=∣Q∣p∫0∞αp−1∣{x∈Q∣∣f−fQ∣>α}∣dx≤pe∫0∞αp−1e−(2ne)−1α/∥f∥BMOdx=Cn,p∥f∥BMOp. 这说明 f∈BMO(Rn) 是局部 Lp 的. 此外, 对 1<p<∞, 由于测度为 1 的空间上 ∥ ∥L1≤∥ ∥Lp, 得到左边的表达式实际上与 ∥ ∥BMO 等价.
设 f∈BMO(Rn), 存在唯一的线性泛函 lf:H1(Rn)→C, 使得对能分解成有限个 L∞ 原子的 g∈H1(Rn) 成立lf(g)=∫Rnfgdx,且 ∥lf∥H1∗≤Cn∥f∥BMO. 对应相同的 lf 函数 f 只相差一个常数.
证明. 先建立这一结论: 对有界的 f∈BMO(Rn) 及 g∈H1(Rn), 成立∣∣∫Rnfgdx∣∣≤Cn∥f∥BMO∥g∥H1.为此, 对 g 作 L∞ 原子分解得到 g=k∑λkak 关于 L1 范数收敛, suppak⊂Qk, ∣ak∣≤∣Qk∣−1, ∫ak=0, 并且 k∑∣λk∣≤Cn∥g∥H1. 于是∣∣∫Rnfgdx∣∣=∣∣k∑λk∫Rnfakdx∣∣=∣∣k∑λk∫Qk(f−fQk)akdx∣∣≤k∑∣Qk∣∣λk∣∫Rn∣f−fQk∣dx≤k∑∣λk∣∥f∥BMO≤Cn∥f∥BMO∥g∥H1.现在处理一般的 f∈BMO(Rn). 注意到序列 fk:=fχ−k≤f≤k 点点收敛到 f, 根据命题 4.5, 其范数∥fχ−k≤f≤k∥BMO≤23(∥fχf≤k∥BMO+∥−k∥BMO)≤49∥f∥BMO,因而 ∥lfk∥H1∗≤Cn49∥f∥BMO 一致有界. 对能分解成有限个 L∞ 原子的 g∈H1(Rn), g 有界, 这时 Lebesgue 控制收敛定理保证了 lfk(g)=∫fkgdx→∫fgdx=lf(g), 故 ∣lf(g)∣≤Cn49∥f∥BMO∥g∥H1; 既然此式对 H1(Rn) 的稠密子空间 (即全体能分解成有限个 L∞ 原子的 g) 成立, lf 可以唯一地保范延拓到整个 H1(Rn) 上 (注意此时 ∫Rnfg 未必绝对收敛) . 由此完成了 lf 的定义.
设
f 不是常数, 即存在测度大于
0 的
E,F 使
u(x)>u(y)+ε 对所有
x∈E,y∈F 和固定的
ε>0 成立, 令
g=∣E∣χF−∣F∣χE, 有
lf(g)=∣E∣∫Fu−∣F∣∫Eu>ε∣E∣, 则
lf=0.
设 f∈Lq(Rn) 支撑在 Q 中, 且 ∫f=0, 有∥f∥H1≤Cn,q∣Q∣1−q1∥f∥Lq.
证明. 引用如下结论: 齐次 Triebel–Lizorkin 空间的 F˙p0,2 半范数对 0<p≤1 等价于 Hp 范数, 对 1<p<∞ 等价于 Lp 范数, 具体地∥f∥F˙pα,q=∥∥(j∈Z∑(2jα∣Δjf∣)q)q1∥∥Lp,其中 0<q≤∞, α∈R, Δjf=2njψ(2jx)∗f, ψ 是一个取值仅有关 ∣x∣ 的 S(Rn) 函数, 且 ψ^(ξ) 在 76≤∣ξ∣≤2 之外为 0, 在 1≤∣ξ∣≤712 上等于 1, 而且在 Rn\{0} 成立 j∈Z∑ψ^(2jξ)≡1. (这样的 ψ 可以取为 ψ^(ξ)=ϕ(ξ)−ϕ(ξ/2), ϕ≡1 当 ∣ξ∣≥1, ϕ≡0 当 ∣ξ∣≤76)
证明见 [Grafakos 2014] Theorem 1.3.8, Theorem 2.2.9, Corollary 2.2.10.
由此, 问题转化为∥∥(j∈Z∑∣Δjf∣2)21∥∥L1≤Cn,q∣Q∣1−q1∥f∥Lq.不妨设 A 支撑于中心为 0 的 Q. 下面分别估计 nQ 与 (nQ)c 两部分上的积分.
首先, 利用 F˙q0,2,Lq 范数的等价性得到∥∥(j∈Z∑∣Δjf∣2)21∥∥L1(nQ)≤∣nQ∣1−q1∥∥(j∈Z∑∣Δjf∣2)21∥∥Lq(nQ)≤Cn,q∣Q∣1−q1∥f∥Lq.
接着, 对
x∈(nQ)c 有
Δjf(x)=2jn∫Qψ(2j(x−y))f(y)dy=2jn∫Q(ψ(2j(x−y))−ψ(2jx))f(y)dy=2jn∫Q∇ψ(2j(x−θy))⋅(−2jy)f(y)dy,其中
θ∈(0,1), 用到了
∫f=0. 注意到
∣y∣≤n∣Q∣n1/2≤∣x∣/2 推出
∣x−θy∣≥∣x∣−∣y∣≥∣x∣/2, 使用
∣∇ψ(x)∣≤C/∣x∣N (
N 待定) 进而得到
∣Δjf(x)∣≤2nj∫Q(1+2j∣x∣/2)NC∣2jy∣∣f(y)∣dy≤(1+2j−1∣x∣)NC2(n+1)j(∫Q∣y∣q−1qdy)qq−1∥f∥Lq=(1+2j−1∣x∣)NCn,q2(n+1)j∣Q∣1−q1+n1∥f∥Lq,于是, 令
N>n+1 就有
(j∈Z∑∣Δjf∣2)21dx≤Cn,q(j∈Z∑(1+2j−1∣x∣)2N22(n+1)j)21∣Q∣1−q1+n1∥f∥Lq≤Cn,q∣x∣−(n+1)∣Q∣1−q1+n1∥f∥Lq.由此,
∥∥(j∈Z∑∣Δjf∣2)21∥∥L1((nQ)c)≤Cn,q∫n∣Q∣n1/2∞r−(n+1)+n−1dr∣Q∣1−q1+n1∥f∥Lq=Cn,q∣Q∣1−q1∥f∥Lq. 任何有界线性泛函 l∈H1(Rn)∗ 皆是某 f∈BMO(Rn) 对应得到的 lf (定义见 4.12) , 且 ∥f∥BMO≤Cn′∥l∥H1∗.
证明. 取定方块 Q, 记全体支撑在 Q 中的 L2 函数为 LQ2, 以及其中积分为 0 的元素的空间为 LQ,0q. 引理说明 l 也是 LQ,02(Rn) 上的有界线性泛函, 且范数∥l∥LQ,02∗≤Cn,2∣Q∣21∥l∥H1∗,故 l∈LQ,02∗=LQ2 模去常数可以写成l(g)=∫QfQgdx的形式, 且∥fQ∥L2≤∥l∥LQ,02∗.注意到对两个方块 Q⊂Q′, fQ−fQ′ 在 Q 上为常数, 这是因为它们作为 LQ,02∗ 的元素是相同的.
现在定义
Rn 上函数
f, 在
Qm=[−m,m]n,m∈Z+ 上的取值为
f=fQm−fQmQ1.由于对
Qm⊂Qm′ 有
fQm−fQm′ 在
Q1⊂Qm 上为常数, 有
fQm−fQm′=(fQm−fQm′)Q1, 故
f 是良定的. 此外, 对任意的方块
Q, 由于对包含
Q 的
Qm 有
fQ−fQm 在
Q 上为常数, 得到
f−fQ 在
Q 上也是常数, 记作
cQ. 那么根据命题
4.1 以及
Qsup∣Q∣1∫Q∣f−cQ∣dx=Qsup∣Q∣1∫Q∣fQ∣dx≤Qsup∣Q∣211∥fQ∥L2(Q)≤Qsup∣Q∣211∥l∥LQ,02∗≤Cn,2∥l∥H1∗<∞,得到
f∈BMO(Rn) 且
∥f∥BMO≤2Cn,2∥l∥H1∗. 还需说明
l=lf, 这是因为
l(g)=∫QfQgdx=∫Q(fQ−fQmQ1)gdx=lf(g)对能分解为成有限个
L∞ 原子的
g (构成
H1(Rn) 的稠密子空间) 皆成立.
结合命题
4.12 和
4.14, 得出这一结论:
参考文献
• | Loukas Grafakos (2014). Modern Fourier Analysis. Graduate Texts in Mathematics 250. Springer. |
• | Elias M. Stein (1993). Harmonic Analysis. Princeton Mathematical Series 43. Princeton University Press. |