变量

变量是指指代不固定的数学对象的符号. 在数学公式中, 变量常常可以替换为某种类别的任何对象. 例如, 在等式$$a{x}^2+bx+c=0$$中, $a,b,c,x$ 都是变量, 它们可以替换为任何的数. 变量的概念与常量相对, 后者指代的是某个具体的数学对象, 而不能任意替换. 例如, 上式中的 $2$、$0$ 就是常量.

在一般的数学中, 变量并没有明确的定义, 变量与常量也没有明确的界限, 常常根据具体情况中的主观想法, 来确定哪些数学符号称为变量.

另一方面, 在数学的基础中, 例如在数理逻辑、类型论中, 变量则是一种精确的概念. 在这些理论中, 数学可以写成一门形式语言, 而变量的概念则是该语言的规则 (例如形式文法) 的一部分. 这些理论对变量具有各自的定义.

1例子

一般数学

•	定义映射时, 有时使用以下格式的公式: $$f(x)=x^2+3y,$$这里, $x,y$ 都是变量. 其中 $x$ 代表映射 $f$ 的定义域的元素, 也称为该映射的自变量. 式中的 $f$ 也可以视为变量, 它代表一个映射.

•	在积分$${\int }_0^1(x^2+3y)\mathrm{d}x$$中, $x,y$ 都是变量. 这里 $x$ 也称为积分变量.

•	在多项式环 $R[x]$ 或形式幂级数环 $R[[x]]$ 中, 元素 $x$ 也常常称为变量, 但它其实更应该算作常量, 因为它是这些环中的固定元素.

数学基础

(应先定义变量绑定, 再陈述以下例子.)

•	“对于全体整数中那些小于 $3$ 的元素, 它们都小于 $5$” 这个命题, 在主流数学中是指以下公式: $$\forall x.x\in \mathbb{Z}\to (x<3\to x<5)$$其中 $x$ 是变量, 而 $\forall x$ 引入变量绑定.

•	$\lambda$ 演算中, 会使用 $\lambda$ 符号引入变量绑定, 例如$$\lambda x.(x,x)$$中, $\lambda x.$ 一部分绑定 $x$, 剩下的表达式 $(x,x)$ 中 $x$ 便是变量.

2性质

自由变量、约束变量

有绑定的变量叫做绑定变量或者约束变量, 其余称为自由变量.

若整个表达式都不含自由变量, 一般称之为闭的. 若在有语境的概念时, 这对应空的语境下的表达式.

3相关概念

在数学的基础中:

•	语境是存放变量声明的地方.

•	De Bruijn 编号是一种处理变量的技术手段.

•	替换操作描述对变量的操作.

•	一阶语言、无类型 $\lambda$ 演算都涉及变量的处理.

术语翻译

变量 • 英文 variable • 德文 Variable (f) • 法文 variable (f) • 拉丁文 variabilis (f) • 古希腊文 μεταβλήτη (f) • 日文 変数

自由 (形容词) • 英文 free • 德文 frei • 法文 libre • 拉丁文 liber • 古希腊文 ἐλεύθερος • 日文 自由

约束 (形容词) • 英文 bound • 德文 gebunden • 法文 lié • 拉丁文 vinctus • 古希腊文 δεσμευόμενος • 日文 束縛

闭 • 英文 closed • 德文 geschlossen • 法文 clos • 拉丁文 clausus • 古希腊文 κλειστός • 日文 閉