整数

整数是指自然数或者自然数的相反数. 全体整数构成的集合记为$$\mathbb{Z}=\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}.$$记号 $\mathbb{Z}$ 来自于德语 Zahlen (数).

1定义

定义 1.1. 全体整数构成的集合是$$\mathbb{Z}=\{n,-n\mid n\in \mathbb{N},0=-0\},$$其中 $\mathbb{N}$ 是所有自然数的集合.

我们熟知整数的加法、乘法. 这两种运算赋予整数的集合 $\mathbb{Z}$ 一个交换环的结构.

注 1.2. 等价地说, $\mathbb{Z}$ 是幺半群 $(\mathbb{N},+)$ 的群化.

在类型论中

关于类型论中整数的定义, 参见整数 (同伦类型论).

2性质

命题 2.1. 整数的加法群 $(\mathbb{Z},+)$ 是一个生成元生成的自由群.

命题 2.2. 在同构的意义下, 整数的加法群 $(\mathbb{Z},+)$ 是唯一一个无穷阶的循环群.

命题 2.3. 整数环是环范畴的始对象.

3相关概念

•	代数整数
•	Diophantus 方程

术语翻译

整数 • 英文 integer • 德文 ganze Zahl (f) • 法文 entier relatif (m) • 拉丁文 numerus integer (m) • 古希腊文 ἀκέραιος ἀριθμός (m)