讲义讨论: 集合论基础 (OperatorP)/ZF集合论与ZFC集合论/ZF公理

读者注

下面是对公理的非形式化解释. 注意, 其中使用的词语是非严格的, 只供启发式的思考, 比如元素、子集、符号 {} 等.

外延公理:$(\mathrm{Ext})\forall x\forall y((\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y))\leftrightarrow x\approx y)$
对每一个 x、y, 如果 z 是 x 的元素当且仅当 z 是 y 的元素, 那么 x 等于 y.

配对公理: $(\mathrm{Pair})\forall x\forall y\exists z\forall w(w\in z\leftrightarrow (w=x\vee w=y))$
对每一个 x、y, 存在 z, 使得 z 的元素是 x 或 y. 这指明了集合 {x,y} 是集合, 非常重要. 如果考虑反方向, z 的元素都是集合它本身是不是集合呢? 这是个没法讨论的话, 因为只有集合可以考虑元素. 这是自下而上的构造.

并集公理: $(\mathrm{Union})\forall x\exists y\forall z(z\in y\leftrightarrow \exists w(z\in w\wedge w\in x))$
对于集合 x, 如 {{a,b},{c,d}}, 存在一个这样的集合 y, {a,b,c}, 对于 y 的元素 a, 有 x 的元素 {a,b}, 使得 $a\in \{a,b\}。$

幂集公理: $(\mathrm{Power})\forall x\exists y\forall z(z\in y\leftrightarrow (\forall u(u\in z\to u\in x))$
对于集合 x, 如 {a,b}, 存在 y, {0,{a},{b},{a,b}}, 如果有元素, 如 a, 是 y 的元素的元素, 那么 a 是 x 的元素.

正则公理: $(\mathrm{Fund})\forall x((\exists y(y\in x))\to \exists y(y\in z\wedge \neg \exists z(z\in y\wedge z\in x)))$
对于集合 x:{{c,d},b}, 它存在一个元素, 如 {c,d}, 使得 {c,d} 与 x 交集为空.

无穷公理: $(\mathrm{Inf})\exists x(\exists y(y\in x\wedge \neg \exists z(z\in y))\wedge \forall u(u\in x\to \exists v(v\in x\wedge \forall w(w\in v\leftrightarrow (w\in u\vee w\approx u)))))$
$\exists y(y\in x\wedge \neg \exists z(z\in y))$ 是说空集是它的元素, $(w\in u\vee w\approx u)$ 是说它是 u 的元素或者等于 u, 即 w 是 $u\cup \{u\}$ 的元素.

分类公理: $(\mathrm{Aus})\forall v_1...\forall v_p\forall a\exists b\forall x(x\in b\leftrightarrow (x\in a\wedge \phi (x,v_1,...,v_p)))$
有集合 $a=\{x|\phi (x)\}$, 此时为了规避悖论, 我们额外要求它必须是某个集合 b 的元素, 消弱了公理的分类能力. 原文中加上 $\phi$ 是说对每个 $\phi$ 都有这个公理成立, 有无数条公理, 每个具体的 $\phi$ 代表一个公理. 读者可以思考一下公理的数量与什么等势.

替换公理: $(\mathrm{Rep})\forall v_1...\forall v_p(\forall x\exists \bar{y}\forall y(y=\bar{y}\leftrightarrow \phi (x,y,v_1,...,v_p))\to \forall a\exists b\forall z(z\in b\leftrightarrow \exists u(u\in a\wedge \phi (u,z,v_1,...,v_p))))$
$\bar{y}\forall y(y=\bar{y}\leftrightarrow \phi (x,y,v_1,...,v_p))$ 是说: 现在有个函数 $y=f(x)$ ($\bar{y},y$ 是为了说明对每个 x 存在唯一的 y) , 它满足曲线 $\phi (x,y)=true$. f 定义域 a 对应的值域 b 也必须是个集合. 这减小了函数的范围: 不能有值域不是集合的函数.

对定义的函数与谓词的一些解释:

•	为什么需要 Ext: 为了保证定义出的符号所代表的对象是唯一的.
•	为什么需要 Aus: 以 pair 为例: Pair 是一组符号, 引入 Aus 断定了 z 真正的存在.

对 $(Aus)$ 的解释似为不妥. 首先, $(Aus{)}_{\phi }$ 或 $(Sep{)}_{\phi }$ 通常译为分离公理 ‘模式’(而非分类公理); 其次, 要求所有 $x$ 均为某 $b$ 的元素是在消弱公理的 ‘概括’ 能力, 因为它的原始错误版本名字叫 “概括公理模式”; 其三, 根据此处对对集公理的形式化, 并不需要额外引入分离公理模式来断言 $\{x,y\}$ 存在; 将对集公理写为 (弱对集公理)$\forall x\forall y\exists z(x\in z\wedge y\in z)$ 才需要分离公理模式来从此 $z$ 中分离出子集 $\{x,y\}$.

另一方面, 对 $(Rep)$ 的解释也不太好. 对于集合一贯论持有者而言, ‘函数’ 有两个易混淆的指代对象: 其一是通过谓词 $\mathrm{isFun}$ 判断为函数的 ‘集合’, 另一个是通过某理论 $T$ 可证 $\forall x_1...\forall x_n\exists y\forall z(y=z\leftrightarrow \phi (z,x_1,...,x_n))$ 来获得的允许在扩展语言中实现为函数符号的公式 (或真类)$\phi$. 当我们言及 ‘曲线’ 时, 总是默认这是在前一个语境下进行讨论, 因为 (鉴于此观念)‘曲线’ 是 ‘数学对象’ 而 ‘数学对象’ 是 ‘集合’. 但 $(Rep)$ 正是为了通过将后一语境下的真类函数限制到局部来获得前一语境下的集合函数而设置的, 因此此解释有所不妥 (注记: 实现这一目标的公理模式严格而言叫强分离公理模式, 但它和此处的分离公理模式在 $\mathsf{Z}$ 上等价). 另一方面, $(Rep)$ 的另一种理解是: 如果我们能扩展语言获得函数符号 $F$, 那么我们能再扩展语言获得函数符号 $F‘‘$, 即其像函数 (如果回到原始语言中, 这恰好就是 (Rep) 所言之事): 输入 $x$, $F‘‘(x)$ 回以集合 $\{F(y)|y\in x\}$.

供参考.