1.3. 意象

定义 1.3.0.1. 一个意象是一个等价于一个景上的层的范畴的范畴 $\mathcal{C}$.

定义 1.3.0.2. 一个意象之间的态射 $f:T\to T^{\prime }$ 是一个三元组 $(f_{\ast },f^{\ast },\varphi )$, 其中 $f_{\ast }:T^{\prime }\to T$, $f^{\ast }:T\to T^{\prime }$, $f^{\ast }$ 是 $f_{\ast }$ 的左伴随函子, $\varphi :\mathrm{Hom}(f^{\ast }(-),-)\stackrel{\sim }{\to }{\mathrm{Hom}}_{T^{\prime }}(-,f_{\ast }(-))$ 是一个自然同构, 并且 $f^{\ast }$ 和有限极限交换.

使用 " 狗屁不通范畴论 ", 我们可以证明, 在存在纤维积和等化子的范畴里, $f^{\ast }$ 和有限极限交换, 当且仅当$$f^{\ast }({\mathcal{F}}_1\times ...\times {\mathcal{F}}_n)=f^{\ast }{\mathcal{F}}_1\times ...\times f^{\ast }{\mathcal{F}}_n$$并且如果 $\mathcal{F}\to \mathcal{G}\Rightarrow \mathcal{H}$ 是等化子, 则 $f^{\ast }\mathcal{F}\to f^{\ast }\mathcal{G}\Rightarrow f^{\ast }\mathcal{H}$ 也是等化子.

定义 1.3.0.3. 一个两个景 $\mathcal{C},{\mathcal{C}}^{\prime }$ 之间的连续映射是一个函子 $f:\mathcal{C}\to {\mathcal{C}}^{\prime }$, 使得对于所有的 $X\in \mathcal{C}$ 和所有的 $\{X_i\to X{\}}_i\in \mathrm{Cov}(X)$, 我们有 $\{f(X_i)\to f(X){\}}_i\in {\mathcal{C}}^{\prime }$, 并且 $f$ 和任何有限的纤维积交换, 如果其存在的话.

例 1.3.0.4. 假设 $f:X\to Y$ 是一个拓扑空间之间的连续映射. 那么我们得到下述函子 $f^{-1}:\mathsf{Op}(Y)\to \mathsf{Op}(X)$, 其中对于任意开集 $U\subseteq Y$, 这个函子把 $U$ 送到 $f^{-1}(U):=\{x\in X:f(x)\in U\}$. 不难看出这是一个景之间的连续映射.

就如同幼儿代数几何中一般, 对于景之间的连续映射 $f:{\mathcal{C}}^{\prime }\to \mathcal{C}$, 我们可以定义一个其对应意象上的函子 $f_{\ast }:T\to T^{\prime }$ (我们有 $T$ 是 $\mathcal{C}$ 的意象, $T^{\prime }$ 是 ${\mathcal{C}}^{\prime }$ 的意象), 其中对于 $(f_{\ast }\mathcal{F})(X^{\prime })=\mathcal{F}(f(X^{\prime }))$.

我们接下来证明 $(f_{\ast }\mathcal{F})$ 确实是一个层.

假设 $\{X_i^{\prime }\to X^{\prime }{\}}_i$ 是一个 $X^{\prime }$ 的覆盖, 我们需要证明下述图表是等化子:$$(f_{\ast }\mathcal{F})(X^{\prime }){\prod }_{i\in I}{f}_{\ast }\mathcal{F}(X_i^{\prime }){\prod }_{i,j}{f}_{\ast }\mathcal{F}(X_i^{\prime }{\times }_X{X}_j^{\prime })$$这等价于证明下属图表是等化子:$$\mathcal{F}(f(X^{\prime })){\prod }_{i\in I}\mathcal{F}(f(X_i^{\prime })){\prod }_{i,j}\mathcal{F}(f(X_i^{\prime }{\times }_X{X}_j^{\prime }))$$但是因为 $f$ 和有限纤维积交换, 我们有$$\mathcal{F}(f(X_i^{\prime }{\times }_X{X}_j^{\prime }))=\mathcal{F}(f(X_i^{\prime }){\times }_{f(X)}f(X_j^{\prime }))$$现在, 不难看出整个图表是等化子, 因为 $\{f(X_i^{\prime })\to f(X^{\prime }){\}}_i$ 是一个 $f(X^{\prime })$ 的覆盖.

命题 1.3.0.5. 如果 $f:{\mathcal{C}}^{\prime }\to \mathcal{C}$ 是一个景之间的连续映射, 那么函子 $f_{\ast }:T^{\prime }\to T$ 存在左伴随函子 $f^{\ast }:T\to T^{\prime }$. 如果 ${\mathcal{C}}^{\prime }$ 有有限极限, 并且 $f$ 和有限极限交换, 则 $f^{\ast }$ 和有限极限交换.

也就是说, 连续映射 $f:{\mathcal{C}}^{\prime }\to \mathcal{C}$ 诱导意象上的映射 $(f^{\ast },f_{\ast })$.

证明. 五页纸的狗屁不通范畴论...

$\square$

显然, 我们并不打算证明上述命题, 不过值得一提的是 $f^{\ast }$ 的构建方法. 这是十分好猜测的, 因为我们在基础的代数几何里也有类似构建: 我们定义$$(f^{\ast }\mathcal{F})(U):=\underset{\begin{array}{c}\to \\ U^{\prime }\end{array}}{\lim }\mathcal{F}(U^{\prime })$$其中我们的余极限系统是由对象 $\rho :U\to f(U^{\prime })$ 组成的.

在我们结束这一部分前, 我们注意到如果 $h_{X^{\prime }}$ 是一个可表函子, 那么其层化 $h_{X^{\prime }}^a$ 是 ${\mathcal{C}}^{\prime }$ 的意象中的一个层. 如同基础的代数几何里一样, 我们有$$f^{\ast }(h_{X^{\prime }}^a)=h_{f(X^{\prime })}^a$$