1.2. 平展映射

在我们被抽象的范畴论给完全淹没之前, 让我们来回忆一些美好的几何对象.

定义 1.2.0.1. 一个概形映射 $f : Y \to X$ 被称之为拟有限, 如果所有纤维 $Y_{x} := Y \times_{X} Spec κ (x)$ 都是一个有限集合.

定义 1.2.0.2. 一个概形映射 $f : Y \to X$ 被称之为局部拟有限, 如果其是有限型得, 并且对于所有 $y \in Y$ , 存在开邻域 $y \in U \subseteq Y$ 和 $V \subseteq X$ , 使得 $f (U) \subseteq V$ , 并且 $f ∣_{U} : U \to V$ 是拟有限.

例 1.2.0.3. 考虑 $∐_{i \geq 1} Spec K \to Spec K$ , 这是局部拟有限, 但是并非拟有限.

定义 1.2.0.4. 一个概形映射 $f : Y \to X$ 被称之为平展, 如果 $f$ 是光滑的, 并且局部拟有限.

例 1.2.0.5. 对于一个域 $K$ , 我们有 $Y \to Spec K$ 是平展的当且仅当 $Y ≅ ∐_{i} Spec L_{i}$ , 其中 $L_{i} / K$ 是有限可分扩张.

命题 1.2.0.6.

1.	如果 $f : Z \to Y, g : Y \to X$ 是平展的, 则 $g \circ f$ 是平展的.
2.	平展在底变换下稳定.
3.	如果我们有 $Z Y X etale etale$ 其中 $Z \to X, Y \to X$ 为平展, 则 $Z \to Y$ 同样是平展的.

例 1.2.0.7. 在这个例子中, 我们定义小 Etale 景. 考虑概形 $X$ , 我们定义下述范畴: 对象为 $Y e t a l e X$ , 而态射为交换图表 $Y^{'} Y X etale e t a l e etale$ 然后, 我们定义其对应的 Grothendieck 拓扑为 ${Y_{i} e t Y}_{i \in I} \in Cov (Y)$ 当且仅当 $i ∐ Y_{i} ↠ Y$

例 1.2.0.8. 假设 $F$ 是一个 $Spec K$ 的小 etale 景上的层, 其中 $K$ 是一个域. 假设 $L / K$ 是一个 (有限)Galois 扩张, 其中 $G := Gal (L / K)$ 是其 Galois 群. 那么我们有 $F (Spec K) = F (Spec L)^{G}$

例 1.2.0.9. 考虑 $f : A^{1} \to A^{1}$ , 其中 $f (x) = x^{2}$ . 这个映射是非平展的.

想要证明这个, 不难看出其显然是拟有限的, 所以我们需要证明其并非是光滑的. 考虑 $f$ 在 $0$ 点的纤维 $F_{0}$ , 我们有 $F_{0} = Spec (k [x] \otimes k) A^{1} Spec k A^{1}$ 然而, 不难看出 $F_{0} ≅ Spec (k [x] / (x^{2}))$ 所以其并非是一个域, 于是其映射 $F_{0} \to Spec k$ 并非是光滑的, 而这意味着 $f$ 本身并非是光滑的.

从另一个角度来说, 不难注意到 $\frac{d}{d x} [x^{2}] = 2 x$ , 所以在 $x = 0$ 的时候其导数等于零. 换句话说, 其微分模 $Ω_{A^{1} / A^{1}}^{1} = \frac{k [ x ] d x}{d ( x ^{2} )} ≅ k [x] / (x)$ 在 $0$ 点有支撑 (也就是说, 在等于 $0$ 时其微分模是非平凡的).

上述例子给了我们另一个平展映射的等价定义.

定义 1.2.0.10. 如果概形映射 $f : Y \to X$ 是局部有限表示的, 那么我们称 $f$ 为非分歧的, 如果其微分模 $Ω_{Y / X}^{1} = 0$ .

命题 1.2.0.11. 假设 $f : Y \to X$ 是局部有限表示的. 那么 $f : Y \to X$ 是平展的, 当且仅当 $f$ 是光滑和非分歧的.

命题 1.2.0.12. 假设 $f : Y \to X$ 为一个概形映射. 则 $f$ 是平展的, 当且仅当 $f$ 是局部有限表示的, 并且对于所有 $y \in Y$ , 存在仿射开邻域 $y \in U$ 和 $f (y) \in V$ , 使得 $f (U) \subseteq V$ , 并且 $f ∣_{U}$ 是 " 标准平展 " 的, 也就是说, 我们有 $V = Spec R$ 和 $U = Spec (R [x] / f)_{g}$ , 其中 $f \in R [x]$ , 并且 $\frac{d}{d x} f$ 在 $(R [x] / f (x))_{g}$ 中可逆.

定义 1.2.0.13. 一个概形映射是形式光滑的, 如果对于所有 $A$ 和 $I \subseteq A$ , 其中 $I^{2} = 0$ , 下述图表 $Spec A Y Spec A / I X f \exists$ 总是存在箭头 $Spec A / I \to Y$ . 我们说 $f$ 是形式平展的, 如果上述箭头 $Spec A / I \to Y$ 是独特的.

命题 1.2.0.14. $f : Y \to X$ 是平展的当且仅当其是形式平展的和局部有限表示的.

命题 1.2.0.15. $f : Y \to X$ 是光滑的当且仅当其是形式光滑的和局部有限表示的.

命题 1.2.0.16. $f : Y \to X$ 是平展的, 当且仅当其是平平坦的和非分歧的.

例 1.2.0.17. 我们定义概形 $X$ 上的小平展景如下.

其范畴中的对象为 $Y e t a l e X$ , 态射为交换图 $Y^{'} Y X etale e t a l e etale$ 其覆盖为 ${Y_{i} \to Y}_{i \in I} \in Cov (Y \to X)$ 当且仅当 $∐_{i} Y_{i} ↠ Y$

我们同样也有大平展景, 其中范畴变为了俯范畴 $C = Sch / X$ , 覆盖为 ${Y_{i} \to Y}_{i} \in Cov (Y \to X)$ 当且仅当 $Y_{i} e t a l e Y$ , 并且 $∐_{i} Y_{i} ↠ Y$ .

例 1.2.0.18. 让 $K$ 是一个域, $L / K$ 是一个有限 Galois 扩张, 其中 Galois 群为 $G$ . 考虑 $Spec K$ 上的小平展景, 和上面的一个层 $F$ . 不难看出 ${Spec L \to Spec K} \in Cov (Spec K)$ .

因为 $G$ 在 $L$ 上有一个 $K$ -群作用, 我们得到下述交换图 $L L K g ≅$ 上述映射诱导出下述映射 $Spec L Spec L Spec K g$ 这是一个在小平展景里的自同态. 因为 $F$ 是一个层, 我们得到 $F (Spec L) g^{*} F (Spec L)$ . 所以, $G$ 在 $F (Spec L)$ 上有一个自然的群作用.

因为 $F$ 是一个层, 我们得到等化子 $F (Spec K) F (Spec L) F (Spec L \otimes_{K} L)$ 因为 $L / K$ 是有限 Galois 扩张, 我们有 $L = K (α)$ , 其中 $α \in L$ . 并且, $α$ 的极小多项式为 $f (x) = \prod_{g \in G} (x - g (α))$ . 于是不难看出我们有 $L \otimes_{K} L = L \otimes_{K} K (α) = L \otimes_{K} K (x) / f (x) = L [x] / f (x) ≅ g \in G ⨁ L (x) / (x - g (α)) ≅ g \in G ⨁ L$

经过一些范畴学/代数学瑜伽以后, 我们不难看出, 层公理中的等化子中从 $Spec L$ 到 $Spec L \otimes_{K} L$ 的两个箭头是由 $β \mapsto (β)_{g \in G}$ 和 $β \mapsto (g (β))_{g \in G}$ 给出.

于是, 从等化子的定义我们得到 $F (Spec K) = {γ \in F (Spec L) : \forall g, g^{*} (γ) = γ} = F (Spec L)^{G}$

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