前言
这份讲义按实际授课顺序与课堂板书, 复述了 2024 年清华大学数学系与致理书院的必修课《抽象代数》秋季学期的全部内容. 在前一年讲义的基础上, 这次增加了更多例子、习题和打印错误, 授课顺序也有调整, 但其主旨还可沿用去年的说辞: 每门合格的数学课程, 都需要交代课题背后的动机与核心概念, 并通过讲解真正重要的例子使学习者掌握基本的思考方式和计算技术. 在此之上, 最重要的一点是展现该课程与其他学科的关联, 尤其是与当下研究前沿的内在逻辑. 由于我的科研与代数前沿几乎垂直, 我平时极少用到更为现代的代数工具, 课堂上无法对与代数相关的最新科研成果做出引导性的评注, 所能做的仅是在一些经典例子和计算上花心思, 确实不能尽如人意. 即使如此, 过去两年备课过程中, 我也积累了一些新的思考, 尤其是如何取舍相关的素材. 对一份讲义而言, 前言部分似乎是记录这些思考的合适位置: 一方面, 可以展示课程内容的选择标准; 另一方面, 也不耽误具有不同数学标准和学术品味的同学的时间, 他们可以选择其它风格的讲义.
围绕群、环、域的概念展开的《(抽象) 代数》是目前国内外数学系中非常成熟的课程, 所涉及的概念和定理相对固定. 考虑到一学期共 64 课时 (清华的授课安排) 以及同学们课后被各种通识课消耗的精力, 课程内容难以有太多延展的空间. 一种可能的尝试是在同样的内容下采取尽量现代的框架, 特别是范畴论的语言. 这种做法与当下数学系的学习风气相契合, 相当数量的同学致力于 “卷” 所谓更抽象的理论. 他们似乎过于认同工具的重要性, 迷信更高级的数学概念可以轻松地解决相对初等和繁琐的问题. 这也是我与同学们接触过程中感受到的一个重要印象. 因此, 在课堂上我们做了一些反向尝试, 目的是鼓励同学们进行深度思考, 并最终享受思考的过程, 而知识的积累和数学语言的更新则水到渠成. 具体来说, 我们增加了大量例子, 力图在多个场合将新概念与线性代数、射影几何、初等数论等已经熟知的领域相结合, 通过在传统内容中运用新工具, 帮助同学们更好地理解和掌握这些新概念. 例如证明正二十面体的对称群是 个元素的偶置换群 , 例如展示 Galois 如何通过正二十面体将 实现为有限域 上的射影变换群 的子群, 再例如利用 Fano 平面实现 与 之间的例外同构. 我的经验是, 数学学习往往容易偏执于知识的积累, 在一味的阅读中养成被动的学习习惯, 忘记了子曰的 “学而不思则殆”. 没有前期深入思考的支撑, 随着学问深度和难度的提升, 疲惫感会慢慢积累, 越来越力不从心, 这样就慢慢消耗掉对数学的热爱. 因此, 在作业设计上我们尽量选择既重要又富有审美价值、且充满趣味的问题, 目的是希望同学们能够通过思考踏实地掌握基础内容, 体验到这些问题的美妙, 从而在内心深处积蓄对数学的情感.
在组织讲义材料时, 我倾向于选择那些在数学史上有故事的例子, 认为这些有渊源的思想能让抽象的理论生气勃勃. 中学时曾和父亲闲聊起那首 “敕勒川, 阴山下, 天似穹庐, 笼盖四野” 的著名北朝民歌, 当时我认为这首诗只写了水草丰美与山河壮丽, 并未理解它为何如此出色. 类似的情境, 我后来在数学学习中也常遇到, 即便搞懂了某些定理的每个细节, 由于不了解它在体系中的位置, 总觉得难以把握其背后的图像. 记得父亲当时抿一下嘴说 “我们讲讲敕勒歌的故事吧”, 于是时空转到北朝时东魏大枭雄高欢暮年的最后一次远征, 被西魏的韦孝宽挡在玉璧城外, 苦苦围攻五十多天, 无计可施, 粮草殆尽, 人马困乏, 士卒死伤七万人. 高欢由此大病, 恰有流星坠入营地, 流言四起, 士气低落, 军心动荡. 高欢于是强忍病痛勉强正坐, 大会将士以安军心. 大将斛律金作敕勒歌, 高欢也跟着唱起来, 三军哀感流涕. 有了这段历史, 再读敕勒歌, 敕勒川的蓝天、白云、无边的草原和成群的牛羊之间又鼓荡了英雄气概. 这也是在课堂和讲义中提到历史背景的原因, 希望同学们能从中感受到数学历史中的 “天苍苍, 野茫茫”. 当然, 我还记得父亲说: “高欢和斛律金是鲜卑人, 在北边长大的, 唱敕勒歌流泪的时候应该是想到了小时候的草原吧”.
2024 年 12 月 31 日.