A.1. 商集

对于集合 $A$, $A$ 上的一个等价关系指的是 $A\times A$ 的子集 $\mathcal{E}$, 对于 $(a,b)\in \mathcal{E}$, 我们把它写成 $a\sim b$ (称作 $a$ 和 $b$ 等价) , 并且如下的性质成立:

1)	(自反性) 对任意的 $a\in A$, $a\sim a$ (或者对任意的 $a\in A$, $(a,a)\in \mathcal{E}$) ;
2)	(对称性) 如果 $a\sim b$, 那么, $b\sim a$ (或者如果 $(a,b)\in \mathcal{E}$, 那么, $(b,a)\in \mathcal{E}$) ;
3)	(传递性) 如果 $a\sim b$, $b\sim c$, 那么, $a\sim c$ (或者如果 $(a,b),(b,c)\in \mathcal{E}$, 那么, $(a,c)\in \mathcal{E}$.

对任意群的 $a\in A$, 令 $\overline{a}$ (或者 $[a]$) 表示$$\overline{a}=[a]=\{b\in A|b\sim a\}\subset A.$$我们将这样的一个集合称作是 $\sim$ 的一个等价类, 因为它是将相互等价的那些元素放到了一起. 那么, $a\in \overline{a}$; 如果 $a\sim b$, 则 $\overline{a}=\overline{b}$; 对任意的 $a,b\in A$, 要么 $[a]=[b]$ 要么 $[a]\cap [b]=\varnothing$. 所以, $\sim$ 的等价类构成了 $A$ 的一个划分: $$A=\coprod \overline{a}.$$反之, 假设 $A={\coprod }_{i\in I}{A}_i$ 是 $A$ 的一个划分, 即 ${\bigcup }_i{A}_i=A$ 并且 $\{A_i{\}}_{i\in I}$ 是两两不交的, 那么, 对任意的 $a,b\in A$, 我们规定 $a\sim b$ 当且仅当存在某个 $A_i$, 使得 $a,b\in A_i$, 这显然给出了一个等价关系. 作为总结, 我们有

引理 A.1.1. 给定集合 $A$ 上的一个等价关系等价于给出集合 $A$ 的一个划分.

给定集合 $A$ 上的等价关系, 我们定义其等价类的集合为商集, 即$$A=\{\overline{a}|a\in A\}.$$我们有自然商映射: $$\pi :A\to A,a\mapsto \pi (a)=\overline{a}.$$这显然是满射. 按照定义, 对于 $a,b\in A$, $\pi (a)=\pi (b)$ 当且仅当 $a\sim b$.

命题 A.1.2 (商集的泛性质). 给定集合 $A$ 以及 $A$ 上的等价关系. 那么, 对任意的集合 $B$ 以及映射 $f:A\to B$, 存在映射 $\tilde{f}:A\to B$ 使得如下图表交换 (即 $f=\tilde{f}\circ \pi$)当且仅当对任意的 $a\sim a^{\prime }$, 我们有 $f(a)=f(a^{\prime })$.

证明. 假设 $f=\tilde{f}\circ \pi$. 对于 $a\sim a^{\prime }$, 按定义, $\pi (a)=\pi (a^{\prime })$, 所以, $\tilde{f}(\pi (a))=\tilde{f}(\pi (a^{\prime }))$, 从而, $f(a)=f(a^{\prime })$. 假设对任意的 $a\sim a^{\prime }$, 都有 $f(a)=f(a^{\prime })$, 那么, 对任意的 $\overline{a}\in A$, 我们令 $\tilde{f}(\overline{a})=f(a)$. 容易看出 $\tilde{f}$ 是良好定义的并且满足要求.

$\square$

注记 A.1.3. 满足命题要求的 $\tilde{f}$ 是唯一的. 这个命题会始终贯穿我们的课程 (用来构造映射) .