9. 群论导引

这段讲义还需要做一些磨光变换. 希望有热心群众帮忙完善.

9.1群的例子

为了研究群, 我们应当有一些简单的群的例子烂熟于心.

循环群

循环群是最简单的群:

$\diamond$	有限循环群是同构于 $\mathbb{Z}/(n)$ (模 $n$ 的完全剩余系) 的群.
$\diamond$	无限循环群是同构于整数加法群 $\mathbb{Z}$ 的群.

循环群共同的特性是存在群中元素 $a$, 使得 $\{a^n:n\in \mathbb{Z}\}$ 是整个群.

思考.

1.	证明 $\mathbb{Z}/(n)$ 同构于 $n$ 次单位根在乘法下构成的群.
2.	何时 $\mathbb{Z}/(n)$ 的缩系 (既约剩余系) 构成循环群?
3.	有限域 ${\mathbb{F}}_p$ 就是 $\mathbb{Z}/(p)$; 具有 $p^n$ 个元素的有限域是否 $\mathbb{Z}/(p^n)$?

对称群

对正整数 $n$, $n$ 个文字的 对称群 ${\mathfrak{S}}_n$ 是一切 $\{1,2,\dots ,n\}$ 到自己的双射 (“$n$ 个文字的置换”) 构成的群, 群运算由映射的复合给出.

如果 $\sigma \in {\mathfrak{S}}_n$, $\sigma (k)=i_k$, 那么有时用比较麻烦的记号$$\sigma =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \cdots & n\\ i_1& i_2& \cdots & i_n\end{array}\right)$$来表示.

对称群 ${\mathfrak{S}}_n$ 中有一些特殊元素, 叫做 轮换. 若 $1\le i_1,i_2,\dots ,i_k\le n$ 都是整数, 它们的轮换 是指 $\sigma \in {\mathfrak{S}}_n$, $\sigma (i_1)=i_2$, $\sigma (i_2)=i_3$, $\dots$, $\sigma (i_k)=i_1$; 且对 $j\ne i_1,i_2,\dots ,i_k$, $\sigma (j)=j$. 上述轮换有时用符号$$\sigma =(i_1{i}_2\cdots i_n)$$来表达.

两个轮换称为不相交的, 如果它们牵扯到的指标互不相同. 如果 $\sigma$ 和 $\tau$ 是两个不相交的轮换, 那么 $\sigma \tau =\tau \sigma$. 任何对称群中元素在不计次序的情况下可以唯一地写成轮换的乘积.

思考.

1.	计算$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)$$
2.	计算 $(123)(132)$.

矩阵群

常见的矩阵群通常会被赋予非离散的拓扑. 在我们研究基本群时则会遇到这些矩阵群里的离散子群. 我们举几个例子:

$\diamond$	${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{Z})$ — 具有整数分量的可逆矩阵, 且逆也具有整数分量. 注意, 这个群与行列式不等于 $0$ 的整数可逆矩阵不同, 后者不构成群.
$\diamond$	${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{Z}[\mathrm{i}])$ — 分量具有形式 $a+\mathrm{i}b$, $a,b\in \mathbb{Z}$ 的可逆矩阵, 且逆也具有这种形式.
$\diamond$	${\mathrm{S}\mathrm{L}}_n(\mathbb{Z})$ — 行列式为 $1$ 的系数为整数的矩阵.
$\diamond$	所有上三角, 对角线取值为 $1$, 严格上三角部分为整数的 $n$ 阶方阵构成群.
$\diamond$	${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n({\mathbb{F}}_p)$ — 分量取值在有限域 ${\mathbb{F}}_p$ 上的可逆矩阵.

思考.

1.	“置换” 和 “置换矩阵” 有什么关系? 如何将 ${\mathfrak{S}}_n$ 中的元素 “看作” 线性空间 $k^n$ 上的线性变换? “偶置换” 是指在这个对应下行列式等于 1 的置换. 对正整数 $n$, $n$ 个文字的 交错群 是指 ${\mathfrak{S}}_n$ 中的 偶置换 构成的群, 记做 ${\mathfrak{A}}_n$.
2.	证明 ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_2({\mathbb{F}}_2)\cong {\mathfrak{S}}_3$.
3.	证明 $2\times 2$ 对角线为一的整数上三角矩阵构成的群是无限循环群.

乘积群

如果 $(G_i{)}_{i\in I}$ 是一族群, 那么我们可以构造它们的 乘积群 (product group) ${\prod }_{i\in I}{G}_i$. 作为集合, 它就是集族 $(G_i{)}_{i\in I}$ 的笛卡儿积; 它的群运算由$$(g_i{)}_{i\in I}\cdot (g_i^{\prime }{)}_{i\in I}=(g_i\cdot g_i^{\prime }{)}_{i\in I}$$给出.

代数中的一个命题是: 任何有限 Abel 群一定同构于循环群的乘积:$$G\cong \mathbb{Z}/(p_1^{i_1})\times \cdots \times \mathbb{Z}/(p_n^{i_n})$$其中 $p_i$ 是素数.

思考.

1.	若 $m$, $n$ 互素, 循环群 $\mathbb{Z}/(m)$ 和循环群 $\mathbb{Z}/(n)$ 的乘积群同构于循环群 $\mathbb{Z}/(mn)$.
2.	为何 $\mathbb{Z}/(2)\times \mathbb{Z}/(8)$ 不同构于 $\mathbb{Z}/(16)$?

9.2Abel 群

令 $(G_i{)}_{i\in I}$ 为一族 Abel 群. 我们定义它们的 直和 为$$\underset{i\in I}{⨁}{G}_i=\left\{(g_i)\in \prod _{i\in I}{G}_i:g_i=1_{G_i}\text{ 对除了有限个 }i\text{ 成立 }\right\}$$因此有限个 Abel 群的直和与它们的乘积没有区别; 但是对无限个 Abel 群, 它们的直和与乘积一般不同.

对任何 $j$, $g\mapsto (g_i):G_j\to {⨁}_i{G}_i$, 其中 $g_j=g$, $g_i=1_{G_i}$, 是群同态. 记做 ${\phi }_i$.

直和的 “泛性质”

给定 Abel 群 $A$ (群运算用加法表示), 以及同态 ${\psi }_i:G_i\to A$, 我们定义$$\psi ((g_i{)}_{i\in I})=\sum _{i\in I}{\psi }_i(g_i).$$由于直和定义中的有限性, 这是良好定义的映射. 它是群同态. 这是唯一的满足 $\psi \circ {\phi }_i={\psi }_i$ 的从 ${⨁}_{i\in I}{G}_i$ 到 $A$ 的群同态.

于是, 上述泛性质可以被写作等式 $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\left({⨁}_{i\in I}{G}_i,A\right)={\prod }_{i\in I}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(G_i,A)$.

思考.

1.	用抽象的废话证明: 如果 $({\varphi }_i:G_i\to G^{\prime }{)}_{i\in I}$ 也满足上述泛性质. 则 $G^{\prime }$ 同构于 ${⨁}_{i\in I}{G}_i$.
2.	如果不要求 $A$ 是 Abel 群, 泛性质还对吗?
3.	写出乘积群满足的泛性质.

自由 Abel 群

Abel 群 $\mathbb{Z}$ 满足如下泛性质: 对任何群 $G$, $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathbb{Z},G)=G$. 即: 给出 $\mathbb{Z}$ 到 $G$ 的同态等价于给出一个 $G$ 中元素. 给出 $G$ 中元素 $a$, 我们就可以将 $n$ 送到 $a^n$.

Abel 群 $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$ 满足类似的泛性质, 但是这时只能对 Abel 群陈述: 对任何 Abel 群 $A$ (群运算用加法表示), 有 $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z},G)=A\times A$. 其依据是 Abel 群直和的泛性质.

对一般的非交换群, 上述性质不再成立.

一般地, 对任何的集合 $F$, 我们定义 ${\mathbb{Z}}^{\oplus F}$ 为直和 ${⨁}_{i\in F}\mathbb{Z}$, 则我们有$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}({\mathbb{Z}}^{\oplus F},A)=\prod _{i\in F}A$$也就是说, 给出从 ${\mathbb{Z}}^{\oplus F}$ 到 Abel 群 $A$ 的同态等价于给出集合 $F$ 到集合 $A$ 的映射.

因此, ${\mathbb{Z}}^{\oplus F}$ 叫做由 $F$ 生成的自由 Abel 群. 说它自由是指: 给定集合上随便的映射 $F\to A$, 这个映射总能诱导 Abel 群之间的同态. 当然, 去掉 $A$ 是 Abel 这个条件, 对一般的群, 这个性质不对.

9.3群的自由积

我们发觉了 Abel 群的直和对 Abel 群映射所满足的泛性质不能够对一般群成立. 在这一段中, 我们来解释如何对此进行弥补.

群的自由积: 用泛性质来定义

令 $({\phi }_i:G_i\to G{)}_{i\in I}$ 为一族群同态. 我们称 $(G,({\phi }_i{)}_{i\in I})$ 为 $(G_i{)}_{i\in I}$ 的 自由积, 如果它满足如下关于群同态的泛性质: 对任何群 $H$, 任何一族群同态 $({\psi }_i:G_i\to H{)}_{i\in I}$, 存在唯一的群同态 $f:G\to H$, 使得 $f\circ {\phi }_i={\psi }_i$, 即对任何指标 $i\in I$, 下图交换

我们只是定义了群的自由积需满足的性质, 还没说明它存在. 但是利用 “抽象的废话” 很容易证明若自由积存在, 那么它在同构意义下是唯一的.

命题. 若 $(G,({\phi }_i{)}_{i\in I}$ 与 $(G^{\prime },({\phi }_i^{\prime }))$ 都是 $(G_i{)}_{i\in I}$ 的自由积, 那么存在唯一的同构 $h:G\to G^{\prime }$, 使得 $h\circ {\phi }_i={\phi }_i^{\prime }$.

事实上, 根据泛性质, 所说的 $h$ 作为同态存在; 又利用 $G^{\prime }$ 的泛性质, 可以造出 $h^{\prime }:G^{\prime }\to G$ 使得 $h^{\prime }\circ {\phi }_i^{\prime }={\phi }_i$ 对一切 $i$ 成立. 复合同态 $h\circ h^{\prime }$ 于是就满足性质 $(h\circ h^{\prime })\circ {\phi }_i^{\prime }={\phi }_i^{\prime }$. 显然 ${\mathrm{I}\mathrm{d}}_{G^{\prime }}$ 也满足这个性质. 利用泛性质的唯一性可知 $h\circ h^{\prime }={\mathrm{I}\mathrm{d}}_{G^{\prime }}$. 同理 $h^{\prime }\circ h={\mathrm{I}\mathrm{d}}_G$. 这就证明了 $h$ 是同构.

自由积的存在性

我们还需要证明自由积是存在的. 为此, 我们定义 $(G_i{)}_{i\in I}$ 构成的一个 词 (word) 为一个有限序列$$(x_1,x_2,\dots ,x_n)$$其中:

$\diamond$	$x_k$ 属于某个 $G_i$,
$\diamond$	相邻的两个 $x_k$ 不同时属于同一个群 $G_i$,
$\diamond$	$x_i$ 不是任何群的单位元.

整数 $n$ 叫做词的 长度. 我们也允许考虑长度为 $0$ 的词, 叫做 “空词”. 令 $W$ 为所有词组成的集合. 我们将在 $W$ 的一切置换中找到一个满足自由积泛性质的群.

首先我们定义如何用 $G_i$ 来定义 $W$ 上的置换. 令 $g\in G_i$, $(x_1,\dots ,x_n)\in W$.

1.	若 $x_1\notin G_i$, $g\ne 1_{G_i}$, 定义 $g(x_1,\dots ,x_n)=(g,x_1,\dots ,x_n)$. 特别地, 如果 $()$ 是空词, $g()=(g)$. 如果 $g=1_{G_i}$, 则定义 $g(x_1,\dots ,x_n)=(x_1,\dots ,x_n)$.
2.	若 $x_1\in G_i$, 定义$$g(x_1,\dots ,x_n)=\{\begin{array}{ll}(g{x}_1,\dots ,x_n),& \text{若 }g{x}_1\ne 1;\\ (x_2,\dots ,x_n),& \text{若 }g{x}_1=1.\end{array}$$若词的长度是 $1$, 它可写作 $(x_1)$, 如果 $g{x}_1=1$, 我们得到了空词.

容易验证上述法则定义了 $G_i$ 在 $W$ 上的左作用. 因此我们获得了同态 ${\rho }_i:G_i\to \mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}(W)$. 也容易验证每个 ${\rho }_i$ 都是单同态.

令 $G$ 为包含了 ${\rho }_i(G_i)$ 的 $\mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}(W)$ 的最小子群 (取所有包含它们的子群的交). 那么 ${\rho }_i$ 诱导了单同态 ${\phi }_i:G_i\to G$. 我们断言 $(G,({\phi }_i))$ 是 $G_i$ 的自由积.

为了说话方便, 我们将把 $G_i$ 等同于它们在 $\mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}(W)$ 中的像. 这样, 每个 $G$ 中的元素都可以写成$$g=g_1\cdot g_2\cdot \cdots \cdot g_m$$其中每个 $g_k$ 都属于某个 ${\rho }_i(G_i)$. 如果相邻两项都属于同一个群, 我们可以把它们复合起来; 而且也可以将当中的恒等变换统统忽略掉. 因此, 我们可以假设上述的表达式是 “既约形式”: 相邻项不属于同一群, 恒等变换不出现.

任何 $G$ 中非单位的元素可以唯一表达成既约形式. 事实上, 若$$g=g_1{g}_2\cdots g_m=h_1\cdots h_n$$且两个表达式都是既约的, 那么它们在空词上的作用分别是词 $(g_1,\dots ,g_m)$, $(h_1,\dots ,h_n)$. 因此这两个词得一样. 从而 $m=n$, $g_k=h_k$.

验证 $G$ 具有自由积的泛性质. 设 ${\psi }_i:G_i\to H$ 是一族同态. 定义函数 $f:G\to H$ 如下: 将 $g\ne 1$ 写成既约形式 $g=g_1\cdots g_n$, 其中 $g_k\in G_{i_k}$; 定义 $f(g)={\psi }_{i_1}(g_1)\cdots {\psi }_{i_n}(g_n)$. 最后, 定义 $f(1)=1_H$. 则 $f$ 即为所求.

二阶循环群的自由积

把两个二阶循环群 $\mathbb{Z}/(2)$ 写作 $\{1,x\}$ 和 $\{1,y\}$. 则它们的自由积中的元素就是 $x$ 与 $y$ 不断交错出现的形式:$$\begin{array}{r}x,xy,xyx,xyxy,\dots \\ y,yx,yxy,yxyx,\dots \end{array}$$这是一个无限群. 回忆, $\mathbb{Z}/(2)\oplus \mathbb{Z}/(2)$ 则是四个元素的有限交换群 $\{1,x,y,xy\}$ (“Klein 肆”)

自由积的记号

今后, 群 $G_1,\dots ,G_n$ 的自由积用 $G_1\ast \cdots \ast G_n$ 来标记, 无限个群 $(G_i{)}_{i\in I}$ 的自由积则用 ${\coprod }_{i\in I}{G}_i$ 来标记.

自由群

令 $S$ 为集合. 由 $S$ 生成的自由群是指 ${\coprod }_S\mathbb{Z}$ (或用记号 ${\mathbb{Z}}^{\ast S}$). 对 $s\in S$, 令 $e_s$ 代表 ${\phi }_s(1)$ (注意, 这里 $1\in \mathbb{Z}$ 不是指单位元, 我们使用 $\mathbb{Z}$ 的加法群, 所以 $0$ 才是单位元). 它满足如下性质: 对任意群 $H$, 任给集合之间的函数 $\psi :S\to H$, 存在唯一的群同态 ${\coprod }_S\mathbb{Z}$, 满足 $f(e_s)=\psi (s)$.

9.4从群到 Abel 群

正规子群与商群

群 $G$ 的子群 $N$ 叫做 正规 的, 如果对任何 $g\in G$, $h\in N$, 有 $gh{g}^{-1}\in N$.

如果 $N$ 是正规子群, 那么我们在 $G$ 上定义等价关系 $\sim$ 如下: $g\sim g^{\prime }$ 当且仅当存在 $h\in N$, 使得 $gh=g^{\prime }$.

群 $G$ 关于 $\sim$ 的等价类记做 $G/N$. 在这个群上可以定义一个群运算$$[g_1]\cdot [g_2]=[g_1{g}_2]$$这与代表元选择无关: 如果 $g_1\sim g_1^{\prime }$, $g_2\sim g_2^{\prime }$, 则存在 $h_1,h_2$, 使得 $g_i{h}_i=g_i^{\prime }$. 因此$$g_1^{\prime }{g}_2^{\prime }=g_1{h}_1{g}_2{h}_2=g_1{g}_2(g_2^{-1}{h}_1{g}_2{h}_2)$$由于 $N$ 正规, $g_2^{-1}{h}_1{g}_2\in N$, 由于 $N$ 是子群, $g_2^{-1}{h}_1{g}_2{h}_2\in N$. 从而 $g_1{g}_2\sim g_1^{\prime }{g}_2^{\prime }$.

$\diamond$	群同态 $f:G\to H$ 的核$$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(f)=\{g\in G:f(g)=1_H\}$$是 $G$ 的正规子群.
$\diamond$	群 $G$ 的正规子群 $N_1$, $N_2$ 的交也是正规子群.
$\diamond$	对任何一族 $G$ 的元素 $S$, 由 $S$ 生成的正规子群是指一切包含 $S$ 的 正规子群的交, 记做 $⟨⟨S⟩⟩$.
$\diamond$	由 $\{gh{g}^{-1}{h}^{-1}:g,h\in G\}$ 生成的正规子群记做 $[G,G]$, 这个子群叫做 $G$ 的换位子群. 容易验证 $G/[G,G]$, 叫做 $G$ 的 Abel 化, 是 Abel 群.

同态基本定理

回忆线性代数基本定理: 设 $f:V\to W$ 是某域上线性空间之间的线性映射. 则成立同构 $V/\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(f)\cong \mathrm{I}\mathrm{m}(f)$.

这个定理的证明可以照搬到群上来. 设 $f:G\to G^{\prime }$ 是群之间的满同态. 则 $G/\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(f)\cong \mathrm{I}\mathrm{m}(f)$. 这里 $\mathrm{I}\mathrm{m}(f)$ 是指 $G^{\prime }$ 的子群 $f(G)$ (思考: 它为什么是 $G^{\prime }$ 的子群?).

思考.

1.	证明自由群 ${\coprod }_S\mathbb{Z}$ 的 Abel 化是自由 Abel 群 ${⨁}_S\mathbb{Z}$. 自由群什么时候是 Abel 的?
2.	$G/N$ 是 Abel 群当且仅当 $N\supset [G,G]$.

9.5生成元与关系

令 $G$ 是群. 它的一组生成元是指 $G$ 的满足 $⟨S⟩=G$ 的子集 $S$. 显然, $G$ 自己就是 $G$ 的一组生成元.

考虑群 ${\mathfrak{S}}_3$, $x=(123)$, $y=(12)$, 则 $⟨x,y⟩={\mathfrak{S}}_3$. 事实上,$${\mathfrak{S}}_3=\{1,x,x^2,y,xy,x^{2}y\}.$$

根据自由群的泛性质, 对任何一组群 $G$ 的生成元 $S$, 存在唯一的群同态$$f_S:{\mathbb{Z}}^{\ast S}\to G$$满足 $f(e_s)=s$. 这个同态是满同态. 事实上, 由于 $S$ 生成 $G$, $S\subset \mathrm{I}\mathrm{m}(f)$, 且 $\mathrm{I}\mathrm{m}(f)$ 是 $G$ 的子群, 由 $⟨S⟩=G$ 可得 $\mathrm{I}\mathrm{m}(f)=G$.

同态核 $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(f_S)$ 称为生成元 $S$ 的 关系子群. 由于 ${\mathbb{Z}}^{\ast S}$ 中元素都可写作 $e_s$ 的约化词, 每个 $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(f_S)$ 中元可写作$$e_{s_1}\cdot e_{s_2}\cdot \cdots \cdot e_{s_n}.$$它在 $f_S$ 下被送到单位元 $1_G$ 说明在 $G$ 中成立$$s_1\cdots s_n=1_G.$$即, $S$ 中的元素 $s_1,\dots ,s_n$ 满足 关系 $s_1\cdots s_n=1_G$.

关系子群 $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(f_S)$ 可能十分复杂. 通常使用的做法是再选取它的一组生成元 $T$. 从而得到群的满同态$${\mathbb{Z}}^{\ast T}\to \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(f_S)$$利用 $T$ 就可以决定所有的关系.

回到开始的例子. 我们通过观察已经知道 $\{x,y\}$ 是 ${\mathfrak{S}}_3$ 的生成元. 因此我们得到了 $\mathbb{Z}\ast \mathbb{Z}$ 到 ${\mathfrak{S}}_3$ 的满同态, 它将 $e_x$ 送到 $x$, $e_y$ 送到 $y$. 我们已经写下了 $x$, $y$ 应当满足的两个关系$$x^3=1,y^2=1,xy{x}^{-2}{y}^{-1}=1$$因此关系子群中至少包含了 $e_x^3,e_y^2,e_x{e}_y{e}_x^{-2}{e}_y^{-1}$. 抽象理论中很难判断我们写下来的关系是否生成了关系子群. 但在这个具体例子里我们知道它们已经足够了. 因为利用这些关系我们能且只能够表示出六个元素, 即商群$$G=(\mathbb{Z}\ast \mathbb{Z})/⟨⟨e_x^3,e_y^2,e_x{e}_y{e}_x^{-2}{e}_y^{-1}⟩⟩$$只能有六个元素 $[1],[e_x],[e_x^2],[e_y],[e_x{e}_y],[e_x^2{e}_y]$ (思考: 为什么?). 从而自然的群同态 $G\to {\mathfrak{S}}_3$ 被迫使是一一映射.