12. 覆盖空间 (II)

这一节我们的主题有两个: 利用 Galois 理论给出 van Kampen 的证明, 以及比较覆盖空间与用道路定义的基本群的关系.

在开始之前, 我想赘述几句. 第一, 原理上, “正确” 的覆盖基本群定义的方法应该是考虑覆盖空间范畴到集合范畴的 “纤维函子 (fiber functor)”$${\mathcal{F}}_b:{\mathbf{C}\mathbf{o}\mathbf{v}}_B\to \mathbf{S}\mathbf{e}\mathbf{t}\mathbf{s},(X,q)\mapsto X_b$$的自同构. 然而这个定义需要太多的抽象废话, 因此我们选择使用略显不典则的定义方式来定义覆盖基本群. 对 “范畴学” 熟悉的朋友应该能够将我们所说的定义翻译成上述结果.

第二, 我们选择了 “粘贴旋子” 的方法来给出 van Kampen 的证明. 因为它相对好理解. 然而, 如果采用上述纤维函子自同构的定义方法的话, van Kampen 定理可以更加 “范畴” 地导出. 在这一部分的学习中, 我们已经刻意地讲了许多比较 “formal” 的内容. 但我想我们浅尝辄止即可, 因为朋友们应该已经能够体会到 “抽象” 的的风味了.

12.1旋子

定义 12.1.1. 令 $G$ 为拓扑群, $B$ 为拓扑空间. 则 $B$ 上一个以 $G$ 为结构群的 (左) 旋子 (torsor) (或主纤维丛 (principal fiber bundle), 或主齐性空间 (principal homogeneous space)), 是一个偶对 $((X,q),\mu )$, 其中 $q:X\to B$ 是 $B$ 上的拓扑空间, $\mu :G\times X\to X$ 是群 $G$ 在 $X$ 上的连续作用 (按照惯例, $\mu (g,x)$ 用毗联 $g\cdot x$ 代表). 并且它满足如下性质:

(T)	对任何 $b\in B$, 存在 $b$ 的邻域 $U$, 以及 $U$ 上空间的同构: $$\phi :(U{\times }_{B}X,{\mathrm{p}\mathrm{r}}_1)\stackrel{\sim }{\to }(U\times G,{\mathrm{p}\mathrm{r}}_1),\phi (b,x)=(b,u(b,x)),$$它满足$$u(g\cdot (b,x))=g\cdot u(b,x).$$

容易验证 (通过局部的考虑), $G\backslash X\cong B$.

旋子 $(X_1,q_1)$ 与 $(X_2,q_2)$ 叫做同构的旋子, 如果它们之间存在尊重 $G$ 作用的 $B$ 空间同构.

例 12.1.2.

1.	平凡旋子: $(B\times G,{\mathrm{p}\mathrm{r}}_1)$.
2.	先前构造的纤维空间 ${\mathbb{C}}^{n+1}\setminus \{0\}\to \mathbb{C}{\mathrm{P}}^n$ 是以群 ${\mathbb{C}}^{\ast }$ 为结构群的旋子.
3.	任何局部连通, 连通空间上的 Galois 覆盖是以它的 Galois 群 (离散拓扑) 为结构群的旋子.

显然, 若 $G$ 具有离散拓扑, 则 $G$ 的旋子是 $B$ 的覆盖空间. 在这一段里, 我们利用 Galois 理论来研究旋子的分类.

1.	我们固定如下记号: $G$ 是固定的离散群, $B$ 是连通且局部连通的拓扑空间, $(E,p)$ 是 $B$ 的 Galois 覆盖, Galois 群 ${\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}}_B(E,p)$ 以 $\Gamma$ 代表. 我们引入如下术语: 一个被 $E$ 标记的 $B$ 的覆盖空间为 $(X,q,s)$, 其中 $s\in {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_B(E,X)$.
2.	(从旋子到带有 $G$ 左作用的 $\Gamma$-集合) 根据 Galois 对应, 任何从属于 $E$ 的 $G$-旋子 $(X,q)$ 都对应于唯一的 $\Gamma$-集合 $S$. 由于对任何 $g\in G$, $g:X\to X$ 满足 $q\circ g=q$, $g$ 是 $B$ 上覆盖空间的态射. 因此每个 $g$ 诱导了 $\Gamma$-集合上的态射$$u_g:S\to S.$$注意, 由于它是 $\Gamma$-集合态射, 它满足$$u_g(s)\cdot \gamma =u_g(s\cdot \gamma ),\forall g\in G,\gamma \in \Gamma .$$ 由于 $G$ 在 $X$ 上的作用满足 $(g_1\cdot g_2)(x)=g_1(g_2(x))$, 通过 Galois 对应, 我们有 $u_{g_1}\cdot u_{g_2}=u_{g_1{g}_2}$. 这说明$$G\times S\to S,(g,s)\mapsto u_g(s)$$是 $G$ 在集合 $S$ 上的左作用.
3.	(上述 $G$ 作用可迁) 我们断言 $G$ 在 $S$ 上的作用是可迁的. 事实上, 由于 $G$ 在 $S$ 上的作用尊重 $\Gamma$ 的右作用, $G\backslash S$ 具有自然的 $\Gamma$-集合结构. 根据 Galois 对应, 集合 $G\backslash S$ 对应于 $G\backslash X$ (为什么? 留作习题). 由于我们之前已经论述过, $G\backslash X=B$, 又由于 $B$ 通过 Galois 对应对应于单点集合, 必有 $G\backslash S=\{\ast \}$. 于是 $G$ 在 $S$ 上作用可迁.
4.	上述 $G$ 作用 “均匀”. 即如果存在 $s\in S$, $u_g(s)=u_{g^{\prime }}(s)$, 那么 $g=g^{\prime }$. 通过 Galois 对应, 这个立即转化为如下命题: 若存在 $x\in X$, 使得 $gx=g^{\prime }x$, 则 $g=g^{\prime }$. 通过局部平凡化可知$$\{b\in B:g(x)=g^{\prime }(x),\forall x\in X_b\}$$和它的补都是既开又闭的, 因此 $B$ 的连通性推出 $g=g^{\prime }$.
5.	(利用群同态分类带有 “均匀” $G$ 作用的 $\Gamma$-集合) 通过上述论述, 我们从旋子导出了一个带有 $G$-作用的 $\Gamma$-集合 $S$. 这样的结构与群同态 $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\Gamma ,G)$ 有密切关系. 选择 $s\in S$. 由于 $G$ 作用均匀, 映射 $G\to S$, $g\mapsto u_{g}s$ 是双射. 特别地, 对任意 $\gamma \in \Gamma$, 存在唯一 $\phi (\gamma )\in G$, 使得 $u_{\phi (\gamma )}\cdot s=s\cdot \gamma$. 我们有$$\begin{array}{rl}{u}_{\phi ({\gamma }_1{\gamma }_2)}(s)& =s\cdot ({\gamma }_1\cdot {\gamma }_2)\\ & =(s\cdot {\gamma }_1)\cdot {\gamma }_2\\ & =u_{\phi ({\gamma }_1)}(s{\gamma }_2)\\ & =u_{\phi (\gamma {)}_1}{u}_{\phi ({\gamma }_2)}(s)\end{array}$$故而, $\phi :\Gamma \to G$ 是群同态. 反之任给群同态 $\phi :\Gamma \to G$, 我们就可以将 $G$ 实现为带 $\Gamma$ 右作用的的左 $G$-集合: $$g\cdot \gamma =\phi (\gamma )\cdot g.$$ 然而, 如果我们选择不同的基点 $s^{\prime }\in S$, 所得到的同态并不相同: 若 $s^{\prime }=gs$, 则$$\begin{array}{rl}{s}^{\prime }\cdot \gamma & =g\cdot s\cdot \gamma \\ & =g\cdot \phi (\gamma )\cdot g^{-1}{s}^{\prime }\end{array}$$故而 ${\phi }^{\prime }(\gamma )=g\phi (\gamma )g^{-1}$.
6.	综上所述: $\diamond$ [从属于 $E$ 的 $G$-旋子的同构类] 一一对应于 [$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\Gamma ,G)/\text{共轭作用}$]; $\diamond$ [带标记的从属于 $E$ 的 $G$-旋子的同构类] 一一对应于 [$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\Gamma ,G)$].

12.2万有覆盖

定义 12.2.1. 设 $(B,b_0)$ 为带基点的拓扑空间. 设 $(E,t_0,p)$ 为 $(B,b_0)$ 上带基点的覆盖空间, 即 $(E,p)$ 是 $B$ 的覆盖空间, $p(t_0)=b_0$. 称 $(E,t_0,p)$ 为 $(B,b_0)$ 的万有覆盖空间 (universal covering space), 如果对任何 $(B,b_0)$ 上带基点的覆盖空间 $(X,x_0,q)$, 存在唯一的保持基点的 $B$ 上的空间的态射 $f:(E,t_0)\to (X,x_0)$.

命题 12.2.2. 设 $(E,t_0,p)$ 是带基点拓扑空间 $(B,b_0)$ 上的带基点的覆盖空间. 设 $B$ 局部连通. 则 $(E,t_0,p)$ 是 $(B,b_0)$ 的万有覆盖的必要且充分条件是:

$\diamond$	$E$ 是连通拓扑空间,
$\diamond$	对任何 $B$ 上的覆盖空间 $(X,q)$, $(E{\times }_{B}X,{\mathrm{p}\mathrm{r}}_1)$ 是 $E$ 上的可平凡化的覆盖空间.

证明. 必要性. 设 $(E,t_0,p)$ 是 $(B,b_0)$ 的万有覆盖空间. 设 $F$ 为 $E$ 的包含 $t_0$ 的既开又闭的子空间. 令 $X=B\times \{0,1\}$ 为 $B$ 上的平凡覆盖. 我们来定义两个从 $(E,t_0)$ 到 $(X,(b_0,0))$ 的态射: $$\begin{array}{rl}f(t)& =(p(t),0);\\ g(t)& =\{\begin{array}{ll}(p(t),0)& t\in F,\\ (p(t),1)& t\notin F.\end{array}\end{array}$$则 $f,g$ 都将 $t_0$ 送到 $(b_0,0)$, 由于 $(E,t_0,p)$ 是万有覆盖, 必有 $f=g$. 这迫使 $E=F$. 从而 $E$ 连通.

再来证明 $E$ 可以平凡化任何 $B$ 上的覆盖空间 $(X,q)$. 为此, 只需证明对任何 $x_0\in X_{b_0}$, 存在 ${\mathrm{p}\mathrm{r}}_1$ 的截面 $s:E\to E{\times }_{B}X$, 使得 $s(t_0)=(t_0,x_0)$. 由于 $(E,t_0,p)$ 是万有覆盖, 存在唯一保持基点的态射 $f:(E,t_0,p)\to (X,x_0,q)$. 令 $s(t)=(t,f(t))$ 即可.

充分性. 设 $(E,t_0,p)$ 满足题目中两条性质. 则对任何带基点的 $(B,b_0)$ 的覆盖空间 $(X,x_0,q)$, 存在 ${\mathrm{p}\mathrm{r}}_1:E{\times }_{B}X\to E$ 的截面 $s:E\to E{\times }_{B}X$, 满足 $s(t_0)=(t_0,x_0)$. 令 $f={\mathrm{p}\mathrm{r}}_2\circ s$, 则 $f$ 为保持基点的态射. $f$ 的唯一性由命题 11.1.1 保证.

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系 12.2.3. 设 $(B,b_0)$ 是带基点的局部连通拓扑空间. 若 $(E,t_0)$ 是 $(B,b_0)$ 的万有覆盖空间, 则对任意 $t_0^{\prime }\in E_{b_0}$, $(E,t_0^{\prime })$ 也是 $(B,b_0)$ 的万有覆盖空间.

系 12.2.4. 设 $(E,t_0,p)$ 是带基点局部连通拓扑空间 $(B,b_0)$ 的带基点的覆盖空间. 若 $E$ 是单连通的, 则 $(E,t_0,p)$ 是 $(B,b_0)$ 的万有覆盖空间.

证明. 由于 $E$ 单连通, 它也连通. 由于 $E$ 上的覆盖空间都是可平凡化的, 那些形如 $E{\times }_{B}X$ 的覆盖空间可平凡化. 因此 $(E,t_0,p)$ 是万有覆盖.

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若 $(B,b_0)$ 具有一个单连通的覆盖空间, 则它的所有万有覆盖空间都是单连通的. 但是除非我们对 $(B,b_0)$ 加以更强的限制, 它的万有覆盖空间可能不是单连通的.

例 12.2.5. 此处应该有个例子.

定义 12.2.6. 称拓扑空间 $B$ 为局部好的, 若 $B$ 有一个开覆盖 $\mathcal{U}$, 使得对每个 $B$ 的覆盖空间 $(X,q)$, 每个 $\mathcal{U}$ 的成员 $U$, $U{\times }_{B}X$ 是可平凡化的.

称 $B$ 为局部单连通的, 若任何 $B$ 的开集 $U$, 都有一个开覆盖, 其中的成员是单连通的.

显然, 局部单连通的拓扑空间是局部好的.

定理 12.2.7. 设拓扑空间 $B$ 连通, 局部连通, 且局部好. 则对任意 $b_0\in B$, $(B,b_0)$ 有万有覆盖.

证明. 根据命题 11.1.2, 存在一个集合 $\Lambda$, 以及由 $\Lambda$ 参数化的一族带基点连通覆盖空间 $(X_{\lambda },x_{\lambda },q_{\lambda }{)}_{\lambda \in \Lambda }$, 使得任何 $B$ 的带基点连通覆盖空间都同构于某个 $(X_{\lambda },x_{\lambda },q_{\lambda })$. 令 $(X,q)=\prod _{\lambda \in \Lambda }{}_B{X}_{\lambda }$. 一般来说, $X$ 上自然的拓扑不会令 $q:X\to B$ 是覆盖映射 (见下), 我们要对此稍加修正.

对任何 “好” 开集 $U$, 考虑拓扑空间 $U{\times }_{B}X$. 则 $U{\times }_{B}X$ 是可平凡化的覆盖空间的乘积, 因此它的 “自然拓扑” 同胚于某个积拓扑 $U\times F$, 其中 $F={\prod }_{\lambda \in \Lambda }{F}_{\lambda }$ 是离散空间的乘积. 然而, 无限个离散空间的积空间不是离散的 (积拓扑不同于箱拓扑). 为此, 我们强行赋予 $U{\times }_{B}X$ 来自于 $X\times F_{\text{discrete}}$ 的拓扑. 记这个空间为 $X_U^{\prime }$. 集合 $X_U^{\prime }$ 构成了 $X$ 的一个覆盖, 而 $X_U^{\prime }$ 的开集为子基决定了 $X$ 上比纤维积拓扑更细的拓扑. 我们记这个拓扑空间为 $X^{\prime }$. 显然, 按照定义, $q:X^{\prime }\to B$ 就是覆盖空间了. 由于 $B$ 是局部连通的, $X^{\prime }$ 也局部连通.

令 $E$ 为 $X$ 包含点 $t_0=(x_{\lambda })$ 的连通分支, $p$ 为 $q$ 在 $E$ 上的限制. 则 $(E,p)$ 为 $B$ 的覆盖空间 (命题 11.2.4). 我们断言 $(E,t_0,p)$ 是 $(B,b_0)$ 的一个万有覆盖. 事实上, 投影映射 $X^{\prime }\to X_{\lambda }$ 在 $E$ 上的限制给出了 $B$ 上带基点覆盖空间的态射 $(E,t_0,p)\to (X_{\lambda },x_{\lambda },q_{\lambda })$.

令 $(Y,y,r)$ 为 $(B,b_0)$ 的任何带基点的覆盖空间. 则包含 $y$ 的 $Y$ 的连通分支 $Y^{\prime }$ 是 $B$ 的覆盖空间 (命题 11.2.4). 因此存在 $\lambda \in \Lambda$, 以及唯一的同构 $(Y^{\prime },y,r)\cong (X_{\lambda },x_{\lambda },q_{\lambda })$. 复合态射$$(E,t_0,p)\to (X_{\lambda },x_{\lambda },q_{\lambda })\to (Y^{\prime },y,r)\to (Y,y,r)$$就给出万有覆盖所需的映射 [这样的映射一定唯一 (命题 11.1.1)]. 这就说明了 $(E,t_0,p)$ 是万有覆盖.

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命题 12.2.8. 任何连通, 局部单连通空间 $(B,b_0)$ 的万有覆盖是单连通的.

证明. 令 $r:E^{\prime }\to E$ 为 $(B,b_0)$ 的万有覆盖 $(E,t_0,p)$ 的覆盖空间. 令 $U$ 为 $B$ 的单连通开集, 那么 $p^{-1}(U)$ 作为 $B$-空间同构于平凡 $B$-覆盖 $U\times F$. 令 $U_v$ 为在这个同构下 $U\times \{v\}$ 的原像, 这里 $v\in F$. 由于 $r$ 是覆盖映射, $U_v$ 单连通, $E^{\prime }{\times }_E{U}_v$ 可平凡化, 因此它同构于 $U_v\times G$, 其中 $G$ 离散. 综上所述, $r^{-1}{p}^{-1}(U)\cong U\times F\times G$. 因此 $E^{\prime }$ 也是 $B$ 的覆盖空间. 对任何 $t^{\prime }\in r^{-1}(t_0)$, 根据万有覆盖的泛性质, 存在 $s:E\to E^{\prime }$ 满足 $s(t_0)=t^{\prime }$, $p\circ r\circ s=p$. 由于 $r\circ s$ 与 ${\mathrm{I}\mathrm{d}}_E$ 在 $t_0$ 上取值相等, 命题 11.1.1 推出 $r\circ s={\mathrm{I}\mathrm{d}}_E$. 因此 $s$ 是经过 $t^{\prime }$ 的截面. 从而 $(E^{\prime },r)$ 是 $E$ 上可平凡化覆盖空间 (命题 11.2.2(2)).

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用覆盖空间定义基本群

定义 12.2.9. 设 $(B,b)$ 是带基点的局部连通拓扑空间. 设 $(E,t)$ 为 $(B,b)$ 的一个万有覆盖. 定义 $(B,b)$ 的覆盖基本群为$${\pi }_1^{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}}(B,b)={\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}}_B(E)=\{\sigma :E\to E\mid p\circ \sigma =p\}.$$

设 $f:(B_1,b_1)\to (B,b)$ 为连续映射. 则对任何带基点的 $(B,b)$ 上覆盖空间 $(X,x,q)$, 我们可以得到诱导的覆盖空间 $(X_1,x_1,q_1)$, 其中 $X_1=B_1{\times }_{B}X$, $x_1=(b_1,x)$, $q_1={\mathrm{p}\mathrm{r}}_1$. 如果 $(X,q)$ 是 $G$-旋子, 那么 $(X_1,q_1)$ 也是 $G$-旋子. 若 $(E_1,e_1,p_1)$ 为 $(B_1,b_1)$ 的万有覆盖, 那么根据第 12.1 节的讨论, 存在唯一的 $B_1$-空间态射 $s:E_1\to X_1$, 满足 $s(e_1)=b_1$. 因此, ${\pi }_1(B_1,b_1)$-集合 $\Phi (X_1,q_1)$ 获得了基点 $s$. 利用第 12.1 节的讨论, 我们得到了群同态 $\phi :{\pi }_1(B_1,b_1)\to G$. 特别地, 如果取 $(X,x,q)$ 为 $(B,b)$ 的万有覆盖, 那么我们就得到了覆盖基本群之间的同态$$f_{\ast }:{\pi }_1^{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}}(B_1,b_1)\to {\pi }_1^{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}}(B,b).$$

12.3Van Kampen

在这一节, 为打字方便计, 我省略覆盖基本群的上标 cov. 请诸位不要心生疑惑.

1.	由于万有覆盖 $(E,e)$ 是 Galois 覆盖, 前述 (§12.1) 关于旋子的讨论可以应用于万有覆盖. 因此, 我们有如下一一对应 ($G$ 为离散群, 注意到任何 $G$-旋子都从属于万有覆盖): [$(B,b)$ 上带基点的 $G$-旋子]/同构 $⟷$ [同态 ${\pi }_1(B,b)\to G$] 这个对应的依据是: 一旦我们选取了万有覆盖的基点, 那么任何标记 $s:E\to X$ 就会给出 $X$ 的基点 $s(e)$; 反之, 如果在 $X$ 上选定了基点, 根据万有覆盖的泛性质, 存在唯一的标记 $s:E\to X$ 满足 $s(e)=x$.
2.	若 $f:(B_1,b_1)\to (B,b)$ 是保持基点的连续映射, $f_{\ast }:{\pi }_1(B_1,b_1)\to {\pi }_1(B,b)$ 为基本群之间诱导的映射. 请读者验证, 若群同态 $\phi :{\pi }_1(B,b)\to G$ 对应于 $(B,b)$ 上带基点的旋子 $(X,x,q)$, 那么复合同态 $f_{\ast }\circ \phi$ 对应于 $(B_1,b_1)$ 上带基点的旋子 $(B_1{\times }_{B}X,(b_1,x),{\mathrm{p}\mathrm{r}}_1)$. 现在考虑连通, 局部连通, 局部好拓扑空间 $B$. 设存在开集 $U,V$, 使得 $U\cap V$ 连通, $B=U\cup V$. 取定 $b\in U\cap V$. 我们来考虑如下问题: 对离散群 $G$, 如何构造 $(B,b)$ 上带基点的 $G$-旋子.
3.	如果 $(X,x,q)$ 是 $(B,b)$ 上的带基点的旋子, 那么通过考虑 $X$ 的 $U$, $V$ 上的原像, 我们可以得到旋子 $X_U=(U{\times }_{B}X,x,q_U)$ 和 $X_V=(V{\times }_{B}X,x,q_V)$. 并且它们进一步限制到 $U\cap V$ 上得到了同构的旋子, 即存在典则同构 $(U\cap V){\times }_U{X}_U\simeq (U\cap V){\times }_V{X}_V$ (为了省事, 没写基点, 但是这里一切的对象都要带基点). 反过来, 若给定了 $X_U$, $X_V$, 分别为 $U$ 和 $V$ 上带基点的旋子, 并且给定保持基点的同构 $u:(U\cap V){\times }_U{X}_U\stackrel{\sim }{\to }(U\cap V){\times }_V{X}_V$ 注意, 这样的同构 $u$ 如果存在, 那么一定唯一 (利用连通性, 局部连通性, 和局部平凡化). 那么通过利用 $u$ 粘贴, 我们可以得到 $B$ 上带基点的旋子 $X$. 综上所述, 我们得到了如下一一对应: [$(B,b)$ 上带基点的 $G$-旋子的同构类] $⟷$ [三元组 $(X_U,X_V,u)$ 的同构类]
4.	结合第 3 项和旋子与群的关系 (第 1 项), 我们有: [三元组 $(X_U,X_V,u)$ 的同构类] $\{({\phi }_U,{\phi }_V)\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}({\pi }_1(U,b),G)\times \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}({\pi }_1(V,b),G):{\phi }_U\circ {\rho }_U={\phi }_V\circ {\rho }_V\}$ 这里, ${\rho }_U$ 是包含映射 $U\cap V\to B$ 诱导的基本群之间的同态. 再度利用第 1 项, 我们得到一一对应根据前推的泛性质, 这就说明了 ${\pi }_1(B,b)\cong {\pi }_1(U,b){\ast }_{{\pi }_1(U\cap V,b)}{\pi }_1(V,b)$. 即覆盖空间版本的 van Kampen 定理成立.

上面描述的 van Kampen 定理的证明相当一般, 不限于两个开集覆盖. 它的证明大意甚至在 $U\cap V$ 不连通时也能运行. 为此, 我们来证明如下结果:

命题 12.3.1. 设 $B$ 局部单连通且连通, $B=U\cup V$, $U,V$ 单连通, $U\cap V$ 有 $n+1$ 个连通分支, 那么 ${\pi }_1(B)\cong {\mathbb{Z}}^{\ast n}$.

证明. 取 $b\in U\cap V$. 设 $U\cap V=M_0\cup \cdots \cup M_n$, $b\in M_0$. 由于 $U$, $V$ 单连通, 任何 $G$-旋子在 $U$, $V$ 上都是可平凡化的. 因此, 为了粘贴得到 $B$ 上的 $G$-旋子, 需要指定平凡旋子在 $M_i$ 上的同构. 由于基点在 $M_0$ 里, 在 $M_0$ 的同构定下来了; 然而在每个 $M_i$ 指定同构相当于在 $G$ 中取一个元素. 因此 $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}({\pi }_1(B),G)=G^n$. 根据泛性质, ${\pi }_1(B)$ 是 $n$ 个文字的自由群.

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12.4基本群与基本群

道路单连通可以推出单连通性.

命题 12.4.1. 局部道路连通且道路单连通的拓扑空间是单连通的.

证明. 令 $B$ 为局部道路连通且道路单连通的拓扑空间. 只需证明任何 $B$ 的连通覆盖都是平凡的. 设 $(X,p)$ 是 $B$ 的连通覆盖. 对任何 $b\in B$, 任何 $x,y\in X_b$, 令 $\gamma$ 为连结 $x,y$ 的 $X$ 中道路. 则 $p\circ \gamma$ 是基于 $b$ 的回路. 由于 $B$ 道路单连通, $\gamma$ 是零伦的. 利用同伦提升引理, $\gamma$ 必然也是回路. 从而 $x=y$, 于是 $E_b$ 是单点集合, 从而 $p$ 是同胚.

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在先前的章节中, 我们已经证明过如下结果 (定理 9.1.6): 若 $(E,t_0,p)$ 是局部道路连通拓扑空间 $(B,b)$ 的道路单连通覆盖空间, 那么 ${\pi }_1(B,b)$ 同构于 ${\pi }_1^{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}}(B,b)$. 在这一段里, 我们要解释 “具有良好局部性质” 的拓扑空间 (比如流形) 的万有覆盖空间必然是道路单连通的. 证明完成后, 我们关于覆盖空间的故事就讲完了.

定义 12.4.2. 我们称拓扑空间 $B$ 为半局部道路单连通 (semi-locally simply connected by paths) 空间, 如果任何一点 $b\in B$ 都有邻域 $U$, 使得 ${\pi }_1(U,b)\to {\pi }_1(B,b)$ 为零映射.

定理 12.4.3. 设 $B$ 为道路连通, 局部道路连通, 半局部道路单连通的拓扑空间, 则 $B$ 上存在道路单连通的覆盖空间.

证明. 回忆: ${\varpi }_{x,y}(X)$ 代表了空间 $X$ 上两点 $x,y$ 之间的道路的严格同伦类.

1.	集合 $E$ 的定义. 取定 $b\in B$. 令 $E$ 为所有从 $b$ 出发的道路的严格同伦类. 即 $E={\bigcup }_{b^{\prime }\in B}{\varpi }_{b,b^{\prime }}(B)$. 中的元素. 令 $p:E\to B$ 为 $p(\alpha )=b^{\prime }$, 其中 $b^{\prime }$ 是严格同伦类 $\alpha$ 的终点.
2.	定义 $E$ 上的拓扑. 设 $\alpha \in E$, $U$ 为 $b^{\prime }=p(\alpha )$ 的邻域, 定义 $[\alpha ,U]$ 为$$\bigcup _{b^{\prime \prime }\in U}\left\{\alpha \cdot \gamma :\gamma \in {\varpi }_{b^{\prime },b^{\prime \prime }}(B)\right\}.$$若 $U$ 是满足 ${\pi }_1(U)\to {\pi }_1(B)$ 为平凡的连通开集, 那么 $[\alpha ,U]$ 中的点就一一对应于 $U$ 了: 此时 ${\varpi }_{b^{\prime },b^{\prime \prime }}(B)$ 是单点集合.
3.	$p:E\to B$ 是覆盖映射. 在上述拓扑下, $p:E\to B$ 为局部同胚. 设 $U$ 是 $B$ 的开集, $b^{\prime }\in U$. 则我们有 $p^{-1}(U)={\bigcup }_{\alpha \in {\varpi }_{b,b^{\prime }}(B)}[\alpha ,U]$. 显然右侧包含于左侧. 而对任何终点在 $U$ 中的道路 $c$, 令 $d$ 为 $U$ 中连结 $c(1)$ 与 $b^{\prime }$ 的道路. 因此 $[c]=([c\ast d])\cdot [d{]}^{-1}$ 属于右侧. 因此 $p$ 是连续映射. 设 $U$ 是满足 ${\pi }_1(U)\to {\pi }_1(B)$ 为平凡的连通开集. 那么 $p:[\alpha ,U]\to B$ 的像是 $U$. 由于这样的 $U$ 构成 $B$ 的拓扑基, $p$ 是开映射. 由于 $p{|}_{[\alpha ,U]}:[\alpha ,U]\to U$ 是双射, 它必然是同胚. 设 $\gamma \in [\alpha ,U]\cap [\beta ,U]$. 则 $\gamma =\alpha \cdot {\alpha }^{\prime }=\beta \cdot {\beta }^{\prime }$. 从而 ${\alpha }^{-1}\beta ={\alpha }^{\prime }\cdot {\beta }^{\prime -1}$. 然而右侧的同伦类是零, 因为它由 $U$ 中的回路代表. 因此 $\alpha =\beta$. 从而在我们对 $U$ 的假设之下, $([\alpha ,U]{)}_{\alpha \in {\varpi }_{b,b^{\prime }}(B)}$ 是两两不交的同胚于 $U$ 的 $E$ 的开集. 从而 $p$ 是覆盖映射.
4.	$E$ 道路连通. 设 $\alpha =[c]\in {\varpi }_{b,b^{\prime }}(B)$. 令 $\tilde{c}:[0,1]\to E$, $\tilde{c}(s)=[c(st)]$. 我们留给读者验证 $\tilde{c}$ 是连续映射. 则 $\tilde{c}(0)$ 为基于 $b$ 的常值道路的同伦类, 而 $\tilde{c}(1)=[c]$. 从而 $E$ 道路连通.
5.	$E$ 道路单连通. 设 $u:[0,1]\to E$ 为基于 $(b,[1_b])$ 的回路. 则 $p\circ u$ 是 $B$ 上基于 $b$ 的零伦的回路. 它是 $u(t)$ 所代表的道路的终点在 $B$ 上所扫出的轨迹. 令 $F:[0,1{]}_s\times [0,1{]}_t\to B$ 为 $p\circ u$ 与 $1_b$ 之间的严格同伦. 则对任何 $t\in [0,1]$, ${\gamma }_t(s)=F(s,t_0)$ 是一个连结 $b$ 与 $p(u(t))$ 的道路. 当 $t$ 变化的时候, $[{\gamma }_t]$ 是 $E$ 上的道路, 满足 $[{\gamma }_0]=[1_b]=[{\gamma }_1]$, 且 $[{\gamma }_t]$ 的终点就是 $p(u(t))$. 根据道路提升的唯一性, 必然有 $u(t)=[{\gamma }_t]$. 于是 $u$ 的一个零伦由 $(s,t)\mapsto [{\gamma }_{st}]$ 给出.

证明就这样完成了.

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12.5习题

令 $(B,b)$ 为连通, 局部道路连通, 局部道路单连通 (比如, 局部可缩) 的带基点的拓扑空间 (比如, 连通流形). $(X,x,q)$ 为 $(B,b)$ 上的带基点的覆盖空间. 令 $X_b=q^{-1}(b)$. 则 ${\pi }_1(B,b)$ 在 $X_b$ 上的作用给出了群同态 $\rho :{\pi }_1(B,b)\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(X_b)$. 它叫做 “单径表示”, $\rho ({\pi }_1(B,b))$ 叫做单径群.

回忆: 设 $(E,e)$ 是 $(B,b)$ 的万有覆盖空间, 则 $E$ 道路单连通. 此时有同构 $u_{b,e}:{\pi }_1(B,b)\cong {\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}}_B(E)$, 以及如下图景:即在上述一一对应之下, 这两个群, 通过同构 $u_{b,e}$, 的作用是一致的.

12.5.1. 记号与假设如上. 设 $G=\rho ({\pi }_1(B,b))$ 为单径群, 赋予离散拓扑. 令 $(\tilde{X},\tilde{x},\tilde{q})$ 为由满同态 $\rho :{\pi }_1(X,b)\to G$ 证明下列断言.

1.	$(\tilde{X},\tilde{q})$ 是 $B$ 的以 $G$ 为 Galois 群的 Galois 覆盖. [提示: 连通性在 Galois 对应下对应于 “只有一个 ${\pi }_1$ 的轨道”.]
2.	设 $X$ 连通. 则 $(X,q)$ 为从属于 $(\tilde{X},\tilde{q})$, 即$$(\tilde{X}{\times }_{B}X,{\mathrm{p}\mathrm{r}}_1)$$可平凡化. [提示: 由于 $X$ 连通, 它只有一个 ${\pi }_1$-轨道, 因而只有一个 $G$-轨道. 通过 Galois 对应, 任何满射 $G\to X_b$ 给出了态射 $\tilde{X}\to X$.]

12.5.2. 记号与假设如上. 定义$$X(m)=\left\{(x_1,\dots ,x_m)\in \underset{m\text{-重纤维积}}{\underbrace{X{\times }_B\cdots {\times }_{B}X}}:\forall i\ne j,x_i\ne x_j\right\}.$$约定 $X(0)=B$, 则我们有一系列 $B$ 上覆盖空间之间的态射: 设 $n=\mathrm{Card}{X}_b<\infty$.

1.	证明 $X(n-1){\times }_{X(0)}X(1)$ 是 $X(n-1)$ 上可平凡化的覆盖空间.
2.	证明 $\rho$ 是满射的必要且充分条件是 $X(n)$ 连通.

12.5.3. 令 $a\in \mathbb{C}$ 为复数. 对 $B\subset \mathbb{C}$, 定义$$\begin{array}{r}{X}_a=\{(x,ϵ)\in \mathbb{C}\times B:x^3+ax=ϵ\}.\end{array}$$定义 $q_a:X_a\to B$ 为 $q_a(x,ϵ)=ϵ$.

1.	对固定的 $a$, 找出最大的 $B=B_a$, 使得 $q_a$ 为覆盖映射.
2.	对上述 $B_a$, 计算覆盖 $(X_a,q_a)$ 的单径群.

12.5.4. 令 $a\in \mathbb{C}$ 为复数. 对 $B\subset \mathbb{C}$, 定义$$Y_a=\{(x,ϵ)\in \mathbb{C}\times B:x^4+a{x}^2=ϵ\}.$$定义 $r_a:Y_a\to B$ 为 $r_a(x,ϵ)=ϵ$.

1.	对固定的 $a$, 找出最大的 $B=B_a$, 使得 $r_a$ 为覆盖映射.
2.	对上述 $B_a$, 计算覆盖 $(X_a,r_a)$ 的单径群.