作业: 拓扑与连续性

基本习题

习题 A: 距离空间上的拓扑与连续性

A1)	(距离空间上的 Heine 定理) 假设 $(X,d_X)$ 和 $(Y,d_Y)$ 是距离空间, $f:X\to Y$ 是映射. 我们有两种方式来定义连续映射 (参见第 3 次作业题的 A3) 和第 9 次课) ∘ 假设 $x_0\in X$, 如果对任意 $X$ 中的点列 $\{x_n{\}}_{n⩾1}$, $x_n\stackrel{d_X}{⟶}{x}_0$, 我们都有 $f(x_n)\stackrel{d_Y}{⟶}f(x_0)$, 我们就称 $f$ 在 $x_0$ 处是连续的. 如果 $f$ 在一切 $x\in X$ 处均连续, 那么我们就称 $f$ 是距离空间之间的连续映射. ∘ 假设 $x_0\in X$, $y_0=f(x_0)\in Y$. 如果对任意的 $\epsilon >0$, 总存在 $\delta >0$, 使得对任意满足 $d_X(x,x_0)<\delta$ 的 $x\in X$, 都有 $d_Y(f(x),f(x_0))<\epsilon$, 我们就称 $f$ 在 $x_0$ 处连续. 如果 $f$ 在 $X$ 的每个点处都连续, 那么我们就称 $f$ 是连续映射. 证明, 上面两个对连续映射的定义是等价的.
A2)	$(X,d)$ 是距离空间. 对任意的点 $x\in X$, $r>0$, 我们称 $B(x,r)=\{y\in X\mid d(y,x)<r\}$ 为以 $x$ 为中心以 $r$ 为半径的开球. 证明, 对任意的点 $x\in X$, $r>0$, 如果 $x^{\prime }\in B(x,r)$, 那么存在 $r^{\prime }>0$, 使得 $B(x^{\prime },r^{\prime })\subset B(x,r)$. 如果 $U\subset X$ 是若干开球的并, 即 $U=\bigcup _{\alpha \in \mathcal{A}}B(x_{\alpha },r_{\alpha })$ (指标集 $\mathcal{A}$ 是任意的) , 就称 $X$ 是距离空间 $(X,d)$ 中的开集. 证明, $U\subset X$ 是开集当且仅当对任意的 $x\in U$, 存在 ${\delta }_x>0$, 使得 $B(x,{\delta }_x)\subset U$.
A3)	(距离空间上的标准拓扑) 我们用 $\mathcal{T}$ 表示距离空间 $(X,d)$ 上的开集的全体, 其中, 我们规定 $\varnothing$ 和 $X$ 都是开集. 证明, 它们满足 1) $\varnothing \in \mathcal{T}$, $X\in \mathcal{T}$. 2) 对任意开集的集合 $\{U_{\alpha }{\}}_{\alpha \in \mathcal{A}}$, 其中 $\mathcal{A}$ 为指标集合, 我们有 $\bigcup _{\alpha \in \mathcal{A}}{U}_{\alpha }\in \mathcal{T}$. 3) 对任意有限个开集 $U_1,U_2,\cdots ,U_m\in \mathcal{T}$, 我们有 $\bigcap _{1⩽i⩽m}{U}_i\in \mathcal{T}$.
A4)	$(X,d)$ 是距离空间. 如果 $F\subset X$ 的补集是开集, 我们就称 $F$ 是闭集. 证明, $F$ 是闭集当且仅当对任意点列 $\{x_n{\}}_{n⩾1}\in F$, 如果 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x$, 那么 $x\in F$.
A5)	证明, 距离空间 $(X,d)$ 上的闭集, 1) $\varnothing$ 和 $X$ 都是闭集. 2) 任意多闭集的交集还是闭集. 3) 有限个闭集的并集还是闭集.
A6)	假设 $(X,d_X)$ 和 $(Y,d_Y)$ 是距离空间, $f:X\to Y$ 是映射. 那么, 如下三个叙述是等价的: 1) $f$ 是连续映射. 2) 对任意 $Y$ 中的开集 $U$, 其逆像 $f^{-1}(U)$ 为 $X$ 中的开集. 2) 对任意 $Y$ 中的闭集 $F$, 其逆像 $f^{-1}(F)$ 为 $X$ 中的闭集.
A7)	$(X,d)$ 是距离空间, $A\subset X$ 是子集, 我们将包含 $A$ 的所有闭集交 $\overline{A}$ 为 $A$ 的闭包, 根据上题, 这是闭集, 所以是包含 $A$ 的最小闭集. 对于 $x\in X$, 如果存在点列 $\{a_k{\}}_{k⩾1}\subset A$, 使得 $\underset{k\to \infty }{\lim }{a}_k=x$, 并且其中 $a_k\ne x$, 我们就称 $x$ 是 $A$ 的一个聚点. $A$ 的聚点不一定都在 $A$ 中, $A$ 中的点也不一定都是 $A$ 的聚点. $A$ 中不是 $A$ 的聚点的点被称为 $A$ 的孤立点. $A$ 的聚点组成的集合被称为 $A$ 的导集, 记作 $A^{\prime }$. 如果 $X=X^{\prime }$, 我们称 $X$ 为完美集. 证明, $\overline{A}=A^{\prime }\cup A$. 特别地, $F$ 是闭集当且仅当 $F$ 的聚点都在 $F$ 中, 即 $F=F^{\prime }\cup F=\overline{F}$.
A8)	(距离空间的乘积与连续映射) 假设 $(Y,d_Y)$ 和 $(Z,d_Z)$ 是距离空间, 我们定义 $Y\times Z$ 上的距离函数$$d_{Y\times Z}:(Y\times Z)\times (Y\times Z)\to {\mathbb{R}}_{⩾0},((y_1,z_1),(y_2,z_2))\mapsto \sqrt{d_Y(y_1,y_2{)}^2+d_Z(z_1,z_2{)}^2}.$$证明, $d_{Y\times Z}$ 是 $Y\times Z$ 上的距离函数. 证明, 两个自然的投影映射是连续的: $${\pi }_Y:Y\times Z\to Y,(y,z)\mapsto y;{\pi }_Z:Y\times Z\to Z,(y,z)\mapsto z.$$证明, 给定距离空间 $(X,d)$ 和 $(Y\times Z,d_{Y\times Z})$ 之间的映射 $F:X\to Y\times Z$, 那么, $F$ 连续当且仅当两个复合映射 ${\pi }_Y\circ F:X\to Y$ 和 ${\pi }_Z\circ F:X\to Z$ 都连续.
A9)	证明, 加法映射 $+$ 和乘法映射 $\times$ 都是连续映射, 其中$$+:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R},(x,y)\mapsto x+y;\times :{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R},(x,y)\mapsto x\cdot y.$$
A10)	证明, 矩阵上的加法映射 $+$ 和乘法映射 $\bullet$ 都是连续映射, 其中$$+:{\mathbf{M}}_n(\mathbb{R})\times {\mathbf{M}}_n(\mathbb{R})\to {\mathbf{M}}_n(\mathbb{R}),(A,B)\mapsto A+B;\bullet :{\mathbf{M}}_n(\mathbb{R})\times {\mathbf{M}}_n(\mathbb{R})\to {\mathbf{M}}_n(\mathbb{R}),(A,B)\mapsto A\cdot B.$$
A11)	证明, ${\mathbf{M}}_n(\mathbb{R})$ 上的可逆矩阵的全体 ${\mathbf{GL}}_n(\mathbb{R})$ 是 ${\mathbf{M}}_n(\mathbb{R})$ 中的开集. (提示: 构造一个连续映射使得该集合是连续映射的逆像)
A12)	证明, 取逆映射 $\mathrm{Inv}:{\mathbf{GL}}_n(\mathbb{R})\to {\mathbf{GL}}_n(\mathbb{R}),A\mapsto A^{-1}$ 是连续映射.

习题 B: 极限的 $\epsilon -\delta$ 语言描述

用 $\epsilon -\delta$ 语言证明以下极限等式, 其中 $n$ 是正整数:

B1)	$\lambda >0$, $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^n}{e^{\lambda x}}=0$.
B2)	给定 $\alpha >0$, 我们有$$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^{\alpha }\log \left(1+\frac{1}{x}\right)=\{\begin{array}{ll}\infty ,& \text{如果}\alpha >1\\ 1,& \text{如果}\alpha =1\\ 0,& \text{如果}0<\alpha <1\end{array}$$
B3)	右极限 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x^n}{e}^{-\frac{1}{x^2}}=0$.
B4)	在第九次讲义中我们证明了 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$, 据此计算并用 $\epsilon -\delta$ 语言证明这两个结果: $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x-1}{x}\text{和}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x-1}{x^2/2}.$$

习题 C: 函数的零点

C1)	证明, $x^3+2x-1=0$ 恰有一个根并且落在 $(0,1)$ 内.
C2)	设 $0⩽\lambda <1$, $b>0$, 判断方程 $x-\lambda \sin x=b$ 是否有根.
C3)	证明, $\sin x=\frac{1}{x}$ 有无穷多个根.
C4)	假设 $f\in C([0,2])$ 并且 $f(0)=f(2)$. 证明, $f(x)-f(x+1)=0$ 在 $[0,1]$ 上有根.
C5)	证明, 方程 $x^3+3=e^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上一定有解.
C6)	假设 $f:[0,2]\to \mathbb{R}$ 是连续函数并且 $f(0)=f(2)$, 那么存在 $x\in [1,2]$, 使得 $f(x)=f(x-1)$.
C7)	$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是函数, 对 $c\in \mathbb{R}$, 我们定义 $f^{-1}(c)=\{x\in \mathbb{R}\mid f(x)=c\}$. 证明, 如果对任意 $c\in \mathbb{R}$, 我们都有 $|f^{-1}(c)|=2$, 那么 $f$ 不是连续函数.
C8)	假设连续函数 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 是单射. 如果 $f(a)<f(b)$, 证明, $f$ 是严格递增的.

习题 D: 极限计算

试计算下面函数的极限, 其中 $m$ 和 $n$ 是正整数 (题号除以 5 余 1 的请写出解答过程, 其余可以只给答案) : $$\begin{array}{rlrl}& (1)\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_n}{b_0{x}^m+b_1{x}^{m-1}+\cdots +b_m},a_0\ne 0,b_0\ne 0& & \\ & (2)\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^b}{a^x},a>1,b>0& & (3)\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\log x}{x^a},a>0\\ & (4)\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^a\log x,a>0& & (5)\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{x^2+1}{x^2-2}\right)}^{x^2}\\ & (6)\underset{x\to +\infty }{\lim }(x-\sqrt{x^2-a})& & (7)\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}\\ & (8)\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)-1}{x}& & (9)\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x+x^2+\cdots +x^n-n}{x-1}\\ & (10)\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}& & (11)\underset{x\to 1}{\lim }\left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}\right),\\ & (12)\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^a-1}{x}& & (13)\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^a-1}{x^b-1}\\ & (14)\underset{x\to +\infty }{\lim }(\log x{)}^{1/x}& & (15)\underset{x\to 0}{\lim }{\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)}^{1/x},a>0,b>0\\ & (16)\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt[k]{(x+a_1)(x+a_2)\cdots (x+a_k)}-x\right)& & (17)\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\sqrt{1+x^2}+x{)}^n-(\sqrt{1+x^2}-x{)}^n}{x}\\ & (18)\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\lim }{\left(\sin x\right)}^{\tan x}& & (19)\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\sin \frac{1}{x}+\cos \frac{1}{x}\right)}^x\\ & (20)\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{x^{\alpha }},\alpha >0& & (21)\underset{x\to 0+}{\lim }\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{x^{\alpha }},\alpha >0.\end{array}$$

思考题 (不交作业)

问题 E

假设 $A\subset \mathbb{R}$ 是一个可数集. 证明, 存在单调函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, 使得 $f$ 的不连续点的集合恰好是 $A$.

问题 F

函数 $f:[0,1]\to [0,1]$ 是递增的函数, 证明, $f$ 有不动点.

问题 G: 关于 $[0,1]$ 上同胚的共轭问题

考虑 $[0,1]$ 到自身的自同胚, 即$$\mathrm{Homeo}([0,1])=\{f:[0,1]\to [0,1]|\text{f 为连续的双射}\}$$我们知道对于任意的 $f\in \mathrm{Homeo}([0,1])$, $f^{-1}\in \mathrm{Homeo}([0,1])$. 假设 $f\in \mathrm{Homeo}([0,1])$ 并且 $0$ 和 $1$ 是它仅有的不动点, $g\in \mathrm{Homeo}([0,1])$ 并且 $0$ 和 $1$ 也是它仅有的不动点, 证明, 存在 $h\in \mathrm{Homeo}([0,1])$, 使得$$h^{-1}\circ f\circ h=g.$$