原作者: 于品
本讲义是 2018 年秋季学期起随课程编写的、丘成桐数学英才班试用的数学分析讲义. 上传后的讲义仍然有很多影响观感的排版疏漏或笔误, 甚至可能有一些数学错误, 具体请参见本页面的讨论.
目录
数学分析一
目录
| 数学分析一简介 |
| 1 实数的公理化描述 |
| 2 区间套公理与确界原理, 距离空间 |
| 3 实数的构造: Dedekind 分割 |
| 作业: 可数与不可数, Schröder–Bernstein 定理 |
| 4 极限与收敛 |
| 5 收敛判别法 |
| 6 指数函数与三角函数的构造与性质 |
| 作业: Riemann 重排, Cesàro 求和, Banach–Mazur 游戏 |
| 7 乘积级数与 Riemann ζ 函数, 振荡级数的收敛判断, 完备赋范线性空间 |
| 作业: 素数的倒数和, Basel 问题的 Euler “证明” |
| 8 函数的连续性 |
| 9 连续映射, 介值定理, 初等函数的构造 |
| 10 连续函数的拓扑刻画 |
| 作业: 拓扑与连续性 |
| 11 紧性与开覆盖, 一致连续性与函数列的收敛 |
| 12 利用级数收敛来构造连续函数, 距离空间的完备化 |
| 作业: 有无穷多素数的拓扑证明 |
| 期中考试: 连续函数环的极大理想 |
| 13 导数的定义与计算 |
| 14 导数的基本性质、应用与推广 |
| 15 中值定理的应用 |
| 作业: 高木贞治函数 |
| 16 空间填充曲线, L’Hôpital 法则, Taylor 展开 |
| 17 凸函数与 Jensen 不等式 |
| 作业: Émile Borel 引理, Peano 的证明 |
| 18 Riemann 积分的定义 |
| 19 Riemann 和与 Darboux 上下和 |
| 作业: Sturm–Liouville 理论的一个例子 |
| 20 Riemann 可积函数的刻画, Newton–Leibniz 公式 |
| 作业: Dini 定理, 多项式逼近与 Weierstraß–Stone 定理 |
| 21 Lebesgue 定理 |
| 22 积分的基本性质, 积分余项, 反常积分 |
| 23 历史注记: 微分与积分的交换定理, 含参积分 |
| 作业: ζ(2) 的无理性 |
| 24 常微分方程解的存在唯一性, Kepler 三大定律的证明, 变分法 |
| 25 最速降线问题, 积分中值定理 |
| 作业: 二平方和数的密度 |
| 26 第二积分中值定理, Stieltjes 积分 |
| 27 Stieltjes 积分的中值定理 |
| 作业: 振荡积分 |
| 28 一元微积分拾遗: Baire 纲定理, Liouville 定理 |
| 29 一元微积分拾遗: 振荡与衰减 |
| 期末考试: 两个积分的计算, 整系数多项式的逼近 |
| 寒假作业 |
数学分析二
目录
| 数学分析二简介 |
| 30 高维的微分学: 高维函数的微分 |
| 31 映射的微分 |
| 作业: 齐次函数与 Euler 公式 |
| 32 微分同胚与光滑子流形 |
| 33 子流形的坐标表示, 反函数定理 |
| 习题课: 拓扑空间 |
| 作业: 反函数和隐函数定理 |
| 34 隐函数定理, 子流形的判定 |
| 35 子流形的原像定理, 切空间 |
| 作业: 隐函数定理, 经典群的子流形结构 |
| 36 子流形上的光滑映射与微分学 |
| 37 Hesse 矩阵与极值点, 凸函数 |
| 习题课: 球极投影 |
| 作业: Lagrange 乘子法, Morse 引理, 横截相交性 |
| 38 σ-代数, 可测空间与可测函数 |
| 39 测度与测度空间, Carathéodory 扩张定理 |
| 40 Lebesgue 测度及其性质 |
| 41 测度空间上的积分, Beppo Levi 定理 |
| 作业: 子流形与零测集, Stieltjes 测度, Borel–Cantelli 定理 |
| 42 可积函数空间, Fatou 引理和 Lebesgue 控制收敛定理 |
| 43 积分与求导的交换性, 乘积空间 |
| 习题课: 硬币空间的测度理论 |
| 作业: Lebesgue 控制收敛, 十进制小数的研究 |
| 44 乘积测度与 Fubini 定理 |
| 作业: Archimedes 对抛物线面积的计算, Gauss 积分 |
| 45 抽象换元积分, Borel 测度的正则性 |
| 46 常用的换元积分, 子流形上的积分 |
| 期中考试: 非 Borel 集的构造 |
| 47 子流形上的积分计算, Stokes 定理 |
| 48 Sard 型引理, Stokes 定理的微分拓扑证明 |
| 作业: 曲线曲面积分的计算 |
| 习题课: Riemann 积分的定义 1 |
| 49 子流形上的积分计算, 散度定理与 Green 公式 |
| 50 二维的 Brouwer 不动点定理, Hilbert 空间 |
| 51 L2 与 L∞ 的完备性, 卷积与逼近 |
| 作业: Stokes 定理的应用 |
| 习题课: Riemann 积分的定义 2 |
| 52 L1 函数的光滑逼近, Fourier 级数 |
| 53 Fourier 的 L2 理论 |
| 作业: 波动方程的局部能量估计 |
| 习题课: Riemann 积分的定义 3 |
| 54 光滑性–衰减速率关系, 积分核, 局部化引理 |
| 55 Fourier 级数的收敛理论 |
| 作业: Fourier 级数的计算, 三角函数与球谐函数 |
| 56 Bernstein 定理, 等分布定理 |
| 57 Roth 三项等差数列定理 |
| 作业: Fourier 级数几乎处处发散的 L1 函数 |
| 期末考试: Maaß 波函数的展开 |
数学分析三
目录
| 数学分析三简介 |
| 58 分布的定义和例子 |
| 59 分布的操作: 限制, 求导及复合 |
| 60 分布的简单应用: Cauchy 积分公式 |
| 61 分布的局部刻画与支集 |
| 作业: 齐次分布, Hadamard 有限部分 |
| 62 分布的卷积 |
| 63 微分方程的基本解 |
| 作业: 分布的例子, 位势方程 |
| 64 可卷集, 波动算子的基本解 |
| 65 选读: 复分析相关知识简介 |
| 66 Fourier 分析, L1 上的 Fourier 变换 |
| 67 L2 上的 Fourier 变换, Schwartz 空间 |
| 作业: Fourier 逆变换, 分布的扩张与张量积 |
| 68 缓增分布的 Fourier 变换: 定义和基本例子 |
| 69 缓增分布的 Fourier 变换与卷积 |
| 70 波动方程和热方程的基本解 |
| 71 Sobolev 空间的基本性质, Sobolev 嵌入定理 |
| 作业: Heisenberg 测不准原理, Sobolev 空间的物理刻画 |
| 72 Sobolev 空间的对偶性, Sobolev 空间的限制定理 |
| 73 有界区域上的 Sobolev 空间, 位势方程的初步研究 |
| 期中测验 |
| 74 半空间上的 Sobolev 空间的限制与扩张 |
| 75 有界区域上 Sobolev 空间的扩张与限制至子流形 |
| 作业: 二维波动方程的基本解, Airy 函数与 KdV 方程 |
| 76 位势方程的解与椭圆正则性 |
| 习题: 一个弹性力学的模型 |
| 77 紧算子、自伴算子、弱收敛与谱理论 |
| 78 Laplace 算子的谱分解与特征函数 |
| 79 利用特征函数刻画函数空间 |
| 80 热核与热方程的基本性质 |
| 81 热核的估计、Weyl 渐近公式 |
| 82 波前集的定义与基本性质 |
| 83 非驻相法与微局部椭圆正则性 |
| 84 奇性传播定理 |
| 分布理论期末复习题一 |
| 分布理论期末复习题二 |
| 分布理论期末复习题三 |