作业: 振荡积分

基本习题

习题 A (Stieltjes 积分)

如果不加说明, $\mu$ 表示的是有界闭区间 $I=[a,b]$ 上的一个递增的函数. 下面题目中 A1), A3), A4), A5), A6) 是对概念的直接验证, 可以不提交作业.

A1)	对于任意两个分划 $\sigma ,{\sigma }^{\prime }\in \mathcal{S}(I)$, 我们有$${\underline{S}}_{\mu }(f;\sigma )⩽{\overline{S}}_{\mu }(f;{\sigma }^{\prime }).$$
A2)	对任意的 $\rho \in C([a,b])$, $\rho ⩾0$, $\mu (x)={\int }_a^x\rho (t)dt$. 证明, 对任意的 $f\in \mathcal{R}([a,b])$, 都有 $f\in \mathcal{R}([a,b];\mu )$ 并且$${\int }_a^{b}fd\mu ={\int }_a^{b}f(x)\rho (x)dx.$$特别地, 假设 $\mu$ 连续可微 ($\mu$ 默认是递增的) , 我们有$${\int }_a^{b}fd\mu ={\int }_a^{b}f{\mu }^{\prime }.$$
A3)	证明, $\mathcal{R}(I;\mu )$ 是 $\mathbb{R}$-线性空间并且积分算子$${\int }_a^b\cdot d\mu :\mathcal{R}(I;\mu )\to \mathbb{R},f\mapsto {\int }_a^{b}fd\mu$$是线性映射.
A4)	假设 $f_1,f_2\in \mathcal{R}(I;\mu )$. 如果对任意的 $x\in I$, 我们都有 $f_1(x)⩽f_2(x)$, 那么, $${\int }_a^b{f}_{1}d\mu ⩽{\int }_a^b{f}_{2}d\mu .$$
A5)	(区间可加性) 如果 $f\in \mathcal{R}([a,b];\mu )$, 那么对任意的 $c\in [a,b]$, $f$ 在 $[a,c]$ 和 $[c,b]$ 上的限制都是 Stieltjes 可积的并且$${\int }_a^{b}fd\mu ={\int }_a^{c}fd\mu +{\int }_c^{b}fd\mu .$$
A6)	如果 $f,g\in \mathcal{R}([a,b];\mu )$, 那么 $f\cdot g\in \mathcal{R}([a,b];\mu )$.
A7)	我们在区间 $[0,\infty )$ 定义 Stieltjes 积分: 假设 $f\in C([0,\infty )$ 是有界连续函数, 定义$${\int }_0^{\infty }fd\mu =\underset{M\to \infty }{\lim }{\int }_0^{M}fd\mu .$$假设 $\{{\alpha }_n{\}}_{n⩾1}$ 是正实数所组成的序列并且 $\sum _{n=1}^{\infty }{\alpha }_n$ 收敛, 定义递增函数 $\mu =\sum _{n=1}^{\infty }{\alpha }_n{1}_{⩾n}$. 那么, 我们有$${\int }_1^{\infty }fd\mu =\sum _{n=1}^{\infty }{\alpha }_{n}f(n).$$
A8)	(第一积分中值定理) $f,g\in \mathcal{R}([a,b];\mu )$ 是实值 Riemann 可积函数. 我们假设对任意的 $x\in [a,b]$, $g(x)⩾0$. 令$$m=\underset{x\in I}{\inf }f(x),M=\underset{x\in I}{\sup }f(x).$$那么, 存在 $\ell \in [m,M]$, 使得$${\int }_a^{b}fgd\mu =\ell {\int }_a^{b}gd\mu .$$特别地, 如果进一步要求 $f$ 是连续函数, 那么存在 $\xi \in [a,b]$, 使得$${\int }_a^{b}fgd\mu =f(\xi ){\int }_a^{b}gd\mu .$$
A9)	你是否可以构造一个 Stieltjes 积分来说明 Abel 求和法也是 Stieltjes 积分意义下的分部积分公式的特例?

习题 B (反常积分收敛的判断)

以下记号中, $b$ 可以是 $\infty$.

B1)	(Cauchy 判别法) 假设 $f:[a,b)\to \mathbb{R}$, 对任意 $b^{-}<b$, $f$ 在 $[a,b^{-}]$ 上可积. 证明, 反常积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 存在的充要条件是: 对任意 $\epsilon >0$, 存在 $b(\epsilon )\in (a,b)$, 使得对任意 $b^{\prime },b^{\prime \prime }>b(\epsilon )$, $|{\int }_{b^{\prime }}^{b^{\prime \prime }}f(x)dx|<\epsilon$.
B2)	(比较判别法, 已经证明, 可不交作业) 如果 $|f|$ 在 $[a,b)$ 上反常可积, 就称积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 绝对收敛. 证明, 如果 $|f(x)|⩽F(x),x\in [a,b)$ 并且 ${\int }_a^{b}F(x)dx$ 收敛, 那么积分 ${\int }_a^b|f(x)|dx$ 收敛.
B3)	证明 Dirichlet 判别法: 假设 $f,g:[a,\infty )\to \mathbb{R}$ 满足 ∘ $f$ 是连续函数并且存在 $A>0$, 使得对任意的 $M⩾a$, 我们都有$$|{\int }_a^{M}f(x)dx|⩽A.$$ ∘ $g$ 是单调函数并且 $\underset{x\to \infty }{\lim }g(x)=0$. 那么反常积分 ${\int }_a^{\infty }f(x)g(x)dx$ 收敛. (你可以查阅文献来证明这个判别法, 一个好的开始是先假设 $f$ 和 $g$ 都是连续可微的, 一般的情形可以考虑 Stieltjes 积分. 请对比级数收敛的 Dirichlet 判别法以及相应的证明, 你可以看到 Abel 求和法和分部积分之间的相似性)
B4)	证明 Abel 判别法: 假设 $f,g:[a,\infty )\to \mathbb{R}$ 满足 ∘ 反常积分 ${\int }_a^{\infty }f(x)dx$ 存在. ∘ $g$ 是单调函数并且 $g$ 有界. 那么反常积分 ${\int }_a^{\infty }f(x)g(x)dx$ 收敛. (请对比级数收敛的 Abel 判别法以及相应的证明)
B5)	判断下列积分的收敛性 (绝对收敛、条件收敛、发散) $$\begin{array}{rlrlrl}& (1){\int }_0^{+\infty }\frac{\log (1+x)}{x^p}dx& & (2){\int }_1^{+\infty }\frac{\sin x}{x^p}dx& & (3){\int }_1^{+\infty }\sin x^{2}dx\\ & (4){\int }_0^{+\infty }\frac{{\sin }^{2}x}{x}dx& & (5){\int }_0^{2\pi }\frac{dx}{{\sin }^{p}x{\cos }^{q}x},p,q>0& & (6){\int }_0^{+\infty }{x}^p\sin (x^q)dx\\ & (7){\int }_0^{+\infty }\frac{x^p\sin x}{1+x^q},q\ge 0& & (8){\int }_0^{\pi /2}\frac{\log \sin x}{\sqrt{x}}dx& & (9){\int }_e^{+\infty }\frac{\log \log x}{\log x}\sin xdx\end{array}$$

题目 C (振荡积分) (8 字班的考试题之一, 不交作业, 鼓励讨论)

我们采取下面的约定: $F(t)$ 和 $G(t)$ 是 $[1,+\infty )$ 上定义的两个函数, $\underset{t\to \infty }{\lim }G(t)=0$. 我们假设对任意的 $t⩾1$, $G(t)\ne 0$. 如果$$\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{F(t)}{G(t)}=1,$$我们就说 $F(t)$ 和 $G(t)$ 是均阶的 (即收敛到 $0$ 的速度是一样的) 并记作 $F(t)\sim G(t)$.

第一部分: 相函数是实值的情形

C1)	$d>0$ 是给定的实数. 假设 $g\in C^1([0,d])$. 证明, 存在常数 $C$ (可能依赖于 $g$ 和 $d$) , 使得$$|{\int }_0^d{e}^{-tx}g(x)dx|⩽\frac{C}{t}.$$
C2)	$d>0$ 是给定的实数. 假设 $g\in C([0,d])$ 并且 $g(0)\ne 0$. 证明, $${\int }_0^d{e}^{-tx}g(x)dx\sim \frac{g(0)}{t}.$$(提示: 利用积分换元 $y=tx$)
C3)	$d>0$ 是给定的实数. 假设 $g\in C([0,d])$ 并且 $g(0)\ne 0$. 证明, $${\int }_0^d{e}^{-t{x}^2}g(x)dx\sim \frac{\sqrt{\pi }\cdot g(0)}{2\sqrt{t}}.$$(提示: 我们课堂上已经证明了 ${\int }_0^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$)

对于 $t⩾1$, $f\in C([a,b])$ 和 $\phi \in C([a,b])$, 我们定义函数$$F(t)={\int }_a^b{e}^{-t\phi (x)}f(x)dx,$$我们的目标是研究当 $t\to +\infty$ 时, $F(t)$ 的行为.

C4)	假设 $\phi \in C^1([a,b])$, 并且对任意 $x\in [a,b]$, ${\phi }^{\prime }(x)\ne 0$. 为了简单起见, 我们进一步假设 ${\phi }^{\prime }(x)>0$. 令 $d=\phi (b)-\phi (a)$. 证明, 映射$$\Phi :[a,b]\to [0,d],x\mapsto \phi (x)-\phi (a),$$在 $[a,b]$ 上连续可微的并且是双射.
C5)	假设 $\phi \in C^1([a,b])$, 并且对任意 $x\in [a,b]$, ${\phi }^{\prime }(x)\ne 0$. 证明, 如果 $f(a)\ne 0$, 当 $t\to +\infty$ 时, $$F(t)\sim \frac{f(a)}{{\phi }^{\prime }(a)}\frac{e^{-t\phi (a)}}{t}.$$(提示: 利用 C4) 中的函数做积分换元)
C6)	假设 $\phi \in C^2([a,b])$, ${\phi }^{\prime }(a)=0$, ${\phi }^{\prime \prime }(a)>0$ 并且对任意 $x\in (a,b]$, ${\phi }^{\prime }(x)>0$. 令 $d=\sqrt{\phi (b)-\phi (a)}$. 证明, 映射$$\Psi :[a,b]\to [0,d],x\mapsto \sqrt{\phi (x)-\phi (a)},$$在 $[a,b]$ 上连续可微的并且是双射. 特别地, 试计算 ${\Psi }^{\prime }(a)$. (提示: 考虑 $\phi$ 的二阶的 Taylor 展开. )
C7)	假设 $\phi \in C^2([a,b])$, ${\phi }^{\prime }(a)=0$, ${\phi }^{\prime \prime }(a)>0$ 并且对任意 $x\in (a,b]$, ${\phi }^{\prime }(x)>0$. 证明, 如果 $f(a)\ne 0$, 当 $t\to +\infty$ 时, $$F(t)\sim \frac{\sqrt{\pi }f(a)}{\sqrt{2{\phi }^{\prime \prime }(a)}}\frac{e^{-t\phi (a)}}{\sqrt{t}}.$$(提示: 利用 C6) 中的函数做积分换元)
C8)	给定两个函数 $f\in C((0,+\infty ))$, $\phi \in C^2((0,+\infty ))$. 我们假设 ∘ 存在唯一的 $a\in (0,\infty )$, 使得 ${\phi }^{\prime }(a)=0$; ∘ ${\phi }^{\prime \prime }(a)>0$, $f(a)\ne 0$; ∘ 反常积分 ${\int }_0^{\infty }{e}^{-\phi (x)}|f(x)|dx$ 收敛. 证明, 当 $t\to +\infty$ 时, 函数 $G(t)={\int }_0^{\infty }{e}^{-t\phi (x)}f(x)dx$ 满足$$G(t)\sim \frac{\sqrt{2\pi }f(a)}{\sqrt{{\phi }^{\prime \prime }(a)}}\frac{e^{-t\phi (a)}}{\sqrt{t}}.$$
C9)	对于 $x>0$, 定义函数$$\Gamma (x)={\int }_0^{\infty }{t}^{x-1}{e}^{-t}dt.$$对于正整数 $n$, 试计算 $\Gamma (n)$.
C10)	证明 Stirling 公式: $$n!\sim \sqrt{2\pi }\frac{n^{n+\frac{1}{2}}}{e^n}.$$(提示: 我们有 $\Gamma (n+1)=n^{n+1}{\int }_0^{\infty }{e}^{-n(x-\log x)}dx$. )

第二部分: 振荡积分

对于 $\lambda ⩾1$, $f\in C^{\infty }([a,b])$ 和 $\phi \in C^{\infty }([a,b])$, 我们定义函数$$I(\lambda )={\int }_a^b{e}^{i\lambda \phi (x)}f(x)dx,$$我们的目标是研究当 $\lambda \to +\infty$ 时, $I(\lambda )$ 的行为.

C11)	假设对任意 $x\in [a,b]$, ${\phi }^{\prime }(x)\ne 0$. 我们定义映射$$\begin{array}{rl}L:C^{\infty }([a,b])\to C^{\infty }([a,b]),h& \mapsto \frac{1}{i\lambda {\phi }^{\prime }(x)}{h}^{\prime }(x),\\ M:C^{\infty }([a,b])\to C^{\infty }([a,b]),h& \mapsto -(\frac{h}{i{\phi }^{\prime }}{)}^{\prime }(x),\end{array}$$假设 $g,h\in C^{\infty }([a,b])$. 证明, 如果 $h$ 在 $a$ 和 $b$ 附近恒为 $0$ (即存在 $c>0$, 使得当 $x\in [a,a+c]\cup [b-c,b]$ 时, $h(x)=0$) , 那么$${\int }_a^{b}h\cdot Lg=\frac{1}{\lambda }{\int }_a^{b}g\cdot Mh.$$
C12)	假设对任意 $x\in [a,b]$, ${\phi }^{\prime }(x)\ne 0$ 并且 $f$ 在 $a$ 和 $b$ 附近恒为 $0$. 证明, 对任意的 $n\in {\mathbb{Z}}_{⩾1}$, 都存在不依赖于 $\lambda$ 的常数 $c_n$, 使得$$|I(\lambda )|⩽\frac{c_n}{{\lambda }^n}.$$(提示: 注意到 $L{e}^{i\lambda \phi (x)}=e^{i\lambda \phi (x)}$. )
C13)	假设存在 $\delta >0$, 使得对任意 $x\in [a,b]$, $|{\phi }^{\prime }(x)|⩾\delta$ 并且 ${\phi }^{\prime }(x)$ 是 $[a,b]$ 上的单调函数. 证明, 存在不依赖于 $\lambda$, $\phi$, $a$ 和 $b$ 的常数 $C_1$, 使得$$\left|{\int }_a^b{e}^{i\lambda \cdot \phi (x)}dx\right|⩽\frac{C_1}{\lambda \delta }.$$
C14)	假设对任意 $x\in [a,b]$, $|{\phi }^{\prime \prime }(x)|⩾1$. 证明, 存在唯一的 $c\in [a,b]$, 使得$$|{\phi }^{\prime }(c)|=\underset{x\in [a,b]}{\inf }|{\phi }^{\prime }(x)|.$$进一步证明, 对任意的 $x\in [a,b]$, 我们的都有$$|{\phi }^{\prime }(x)|⩾|x-c|.$$
*C15)	假设对任意 $x\in [a,b]$, $|{\phi }^{\prime \prime }(x)|⩾1$. 证明, 存在不依赖于 $\lambda$, $\phi$, $a$ 和 $b$ 的常数 $C_2$, 使得$$\left|{\int }_a^b{e}^{i\lambda \cdot \phi (x)}dx\right|⩽\frac{C_2}{\sqrt{\lambda }}.$$
**C16)	假设对任意 $x\in [a,b]$, $|{\phi }^{\prime \prime }(x)|⩾1$. 证明, 存在不依赖于 $\lambda$, $\phi$, $f$, $a$ 和 $b$ 的常数 $C_2$, 使得$$|{\int }_a^b{e}^{i\lambda \cdot \phi (x)}f(x)dx|⩽\frac{C_2}{\sqrt{\lambda }}(|f(a)|+{\int }_a^b|f^{\prime }(x)|dx).$$