作业: 隐函数定理, 经典群的子流形结构

A. 子流形的基本习题 (课堂相关)

A1)	$M\subset {\mathbb{R}}^n$ 和 $N\subset {\mathbb{R}}^m$ 是光滑子流形. 证明, $M\times N\subset {\mathbb{R}}^{n+m}$ 也是光滑子流形.
A2)	$M\subset {\mathbb{R}}^n$ 是光滑子流形, $\phi :{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 是微分同胚. 证明, $M$ 在该映射下的像 $\phi (M)$ 也是光滑子流形.
A3)	(光滑超曲面的判定) 假设 $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 是光滑函数, 如果对于任意的 $x_0\in f^{-1}(0)$, 存在某个 $i⩽n$ (指标 $i$ 可能依赖于 $x_0$) , 使得 $\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0)\ne 0$, 那么 $f^{-1}(0)$ 是光滑超曲面.
A4)	假设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是开集, $f_1,\cdots ,f_k$ 是给定的 $k$ 个光滑函数, 其中 $k⩽n$. 令$$Z_i=\{x\in \Omega \mid f_i(x)=0\}.$$假设 $x\in \bigcap _{i⩽k}{Z}_i$ 并且 $d{f}_1(x),\cdots ,d{f}_k(x)$ 线性无关. 证明, 存在 $x$ 附近的开集 $U$, 使得对任意的 $\ell ⩽k$, $\bigcap _{i⩽\ell }{Z}_i$ 是维数为 $n-\ell$ 的子流形.
A5)	假设 $f(x,y,z)$ 和 $g(x,y,z)$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 上的光滑函数, 如果对于任意同时满足 $f(x_0,y_0,z_0)=0$ 和 $g(x_0,y_0,z_0)=0$ 的点 $(x_0,y_0,z_0)$, 如果如下两个向量线性不相关: $$\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)(x_0,y_0,z_0),\left(\frac{\partial g}{\partial x},\frac{\partial g}{\partial y},\frac{\partial g}{\partial z}\right)(x_0,y_0,z_0),$$证明, $$\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|f(x,y,z)=0,g(x,y,z)=0\}$$是光滑曲线.
A6)	$\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是开集, $f:\Omega \to {\mathbb{R}}^m$ 是光滑映射. 证明, $f$ 的图像$${\Gamma }_f=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^{n+m}|x\in {\mathbb{R}}^n,y\in {\mathbb{R}}^m,y=f(x)\}$$是 ${\mathbb{R}}^{n+m}$ 中的 $n$ 维光滑子流形.
A7)	完整证明课堂上的命题: Möbius 带 $\mathcal{M}$ 不能用一个光滑函数的零点定义 (要求函数的微分在 $\mathcal{M}$ 上非零) .
A8)	假设 $M\subset {\mathbb{R}}^n$ 是 $0$-维子流形. 证明, 对任意的 $x\in M$, 存在开集 $U\subset {\mathbb{R}}^n$, 使得 $U\cap M=\{x\}$. (零维子流形局部上就是单点集)
A9)	假设 $M\subset {\mathbb{R}}^n$ 是 $n$-维子流形. 证明, $M$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的开集.

B. 隐函数与反函数定理的习题

B1)	实值函数 $f\in C^{\infty }(\mathbb{R})$ 满足下面的的性质: 存在 $\delta >0$, 使得对任意 $x\in \mathbb{R}$, 都有$$f^{\prime }(x)⩾\delta$$证明, $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是微分同胚. 如果 $\delta =0$, 试举一个反例.
B2)	$a$ 和 $b$ 是实数, 我们定义映射$$f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2,(x,y)\mapsto (x+a\sin y,y+b\sin x).$$证明: $f$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 到自身的微分同胚当且仅当 $ab\in (-1,1)$.
B3)	(隐函数定理的经典练习) 假设 $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 是光滑映射, $0$ 是 $f$ 的不动点, 即 $f(0)=0$. 假设 $1$ 不是 $f$ 在 $0$ 处的微分$$df(0):\underset{{\mathbb{R}}^n}{\underbrace{T_0{\mathbb{R}}^n}}⟶\underset{{\mathbb{R}}^n}{\underbrace{T_0{\mathbb{R}}^n}}$$的特征值. ∘ 证明, $0$ 是一个孤立的不动点, 即存在开集 $U$, 使得 $0\in U$, $f$ 在 $U$ 有且仅有 $0$ 为其不动点. ∘ 任意给定 $g\in C^1({\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^n)$. 对任意的 $\lambda \in \mathbb{R}$, 我们定义映射$$f_{\lambda }:{\mathbb{R}}^n⟶{\mathbb{R}}^n,x\mapsto f(x)+\lambda g(x),$$证明, 存在 $\epsilon >0$, 存在 $0$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ 的开邻域 $U$ 以及 $C^1$ 的映射$$\omega :(-\epsilon ,\epsilon )\to U,\lambda \mapsto \omega (\lambda ),$$使得对任意的 $\lambda \in (-\epsilon ,\epsilon )$, $f_{\lambda }$ 在 $U$ 中恰好有一个不动点 $\omega (\lambda )$.
B4)	证明, 对任意的 $t\in (-0.5,0,5)$, 方程$$\sin (tx)+\cos (tx)=x$$存在唯一一个解 $x=\phi (t)\in \mathbb{R}$. 进一步证明 $\phi (t)$ 是 $t$ 的光滑函数并计算 ${\phi }^{\prime \prime }(0)$.
B5)	证明, 如下两个方程定义出 ${\mathbb{R}}^3$ 中的一条光滑曲线: $$x^2+y^2+z^2=14,x^3+y^3+z^3=36.$$对于曲线上的每一点, 计算它的切空间.
B6)	在 ${\mathbb{R}}^2$ 中考虑如下的集合$$M=\{(x,y)|x^3+y^3-3xy=1\}.$$ ∘ 证明, 在 $(0,1)\in M$ 附近, 存在 $\mathbb{R}$ 上 $0$ 的邻域 $\Omega$ 以及 $\Omega$ 上的光滑函数 $\varphi \in C^{\infty }(\Omega )$, 使得 $M$ 是 $\varphi$ 的图像并且 $\varphi (0)=1$. ∘ 试计算 ${\varphi }^{\prime }(0)$ 和 ${\varphi }^{\prime \prime }(0)$. ∘ 证明, $M$ 是光滑曲线. ∘ 任意给定 $(x_0,y_0)\in M$, 试计算 $M$ 在此点处的切空间.
B7)	证明, 如下两个方程定义的集合 $\Sigma$$$\{\begin{array}{ll}& x^2+2y^2+3z^2+4t^2=4\\ & x+y=z+t\end{array}$$是 ${\mathbb{R}}^4$ 中的光滑曲面.
B8)	(承接上一问题) 对那一些 $t$ ($t$ 固定) , 如下集合$${\Sigma }_t=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|x^2+2y^2+3z^2+4t^2=4,x+y=z+t\}$$是 ${\mathbb{R}}^3$ 中的光滑曲线? (我们用时间把 $\Sigma$ 切成曲线 “片”)

C. 子流形上生活着很多曲线

C1)	假设 $M\subset {\mathbb{R}}^n$ 是子流形并且 $\dim M⩾1$, $p\in M$. 那么, 存在光滑曲线 (作为映射) $$\gamma :(-1,1)\to {\mathbb{R}}^n,$$使得 $\gamma (0)=p$, ${\gamma }^{\prime }(0)\ne 0$ 并且 $\gamma ((-1,1))\subset M$.
C2)	令 $V=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|y=|x|\}$ 为 ${\mathbb{R}}^2$ 中的 $V$-型, 它在原点处有一个尖, 看起来不光滑. 证明, $V$ 不是 ${\mathbb{R}}^2$ 的光滑子流形. 注记. 实际上我们是利用切空间的概念证明 $V$ 不是子流形.
C3)	考虑 ${\mathbb{R}}^3$ 中的锥$$C=\{(x_0,x_1,x_2)|-x_0^2+x_1^2+x_2^2=0\}.$$令 $O=(0,0,0)$, 证明, $C-\{O\}$ 是子流形.
C4)	证明, $C$ 不是 (光滑) 子流形.

D. 隐函数定理在多项式和矩阵上的一个重要应用 (熟记)

D1)	对任意的 $c\in {\mathbb{R}}^n$, 我们可以定义一个为 $n$ 的实系数多项式 $P_c$, 即我们有映射$${\mathbb{R}}^{n+1}\to \mathbb{R}[X],c\mapsto X^n+c_1{X}^{n-1}+\cdots +c_n.$$给定 $b\in {\mathbb{R}}^n$, 我们假设 $P_b$ 有一个实数根 $x_b\in \mathbb{R}$ 并且这个根的重数是 $1$. 证明, 存在 $b$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ 中的开邻域 $U$ 和 $x_b$ 在 $\mathbb{R}$ 中的开邻域 $V$, 使得对任意的 $c\in U$, $P_c$ 在 $V$ 中恰有一个根 $z(c)$ 并且重数是 $1$. 进一步证明映射$$V\to \mathbb{R},c\mapsto z(c)$$是光滑的.
D2)	(根对系数的光滑依赖性) 考虑实系数多项式 $P(X)=X^n+c_1{X}^{n-1}+\cdots +c_n=0$. 如果对 $(c_1^{\ast },\cdots ,c_n^{\ast })\in {\mathbb{R}}^n$, $P(X)$ 恰好有 $n$ 个两两不同的实根 $z_1(c_1^{\ast },\cdots ,c_n^{\ast })<\cdots <z_n(c_1^{\ast },\cdots ,c_n^{\ast })$. 证明, 存在 $(c_1^{\ast },\cdots ,c_n^{\ast })\in {\mathbb{R}}^n$ 的开邻域 $\Omega$ 和 $\Omega$ 上的光滑函数 $z_1,\cdots ,z_n$, 使得对任意的 $(c_1,\cdots ,c_n)\in \Omega$, 我们有$$z_1(c_1,\cdots ,c_n)<z_2(c_1,\cdots ,c_n)<\cdots <z_n(c_1,\cdots ,c_n)$$并且$$P_c(z_1(c_1,\cdots ,c_n))=P_c(z_2(c_1,\cdots ,c_n))=\cdots =P_c(z_n(c_1,\cdots ,c_n))=0.$$
D3)	你是否能将上面的结论推广到复系数的多项式上去?
D4)	考虑 $n\times n$ 的实矩阵 $A=(A_{ij}{)}_{i,j⩽n}$, 假设 $A$ 有 $n$ 个不同的实特征值 ${\lambda }_1<{\lambda }_2<\cdots <{\lambda }_n$. 证明, 存在 $\epsilon >0$, 使得对任意的 $n\times n$ 的实矩阵 $B=(B_{ij}{)}_{i,j⩽n}$, 如果对每对指标 $(i,j)$, $|A_{ij}-B_{ij}|<\epsilon$, 那么 $B$ 有 $n$ 个不同的实特征值 ${\lambda }_1(B)<{\lambda }_2(B)<\cdots <{\lambda }_n(B)$. 进一步证明, 如果将每个 ${\lambda }_i$ 看做是 $B$ 的系数 $B_{ij}$ 的函数, 这些函数在区域 $|B_{ij}-A_{ij}|<\epsilon$ (其中 $i,j⩽n$) 中是光滑函数.
D5)	你是否能将上面的结论推广到复系数的矩阵上去?

E. 经典群的子流形结构

${\mathbf{M}}_n(\mathbb{R})$ 是全体 $n\times n$ 的实系数矩阵. 我们定义特殊线性群$${\mathbf{SL}}_n(\mathbb{R})=\{A\in {\mathbf{M}}_n(\mathbb{R})|\det A=1\},$$和正交群\mathbf{O}(n)=\bigl\{A \in\mathbf{M}_n(\mathbb{R})\bigm| A\cdot\,^t A=\mathbf{I}_{n}\bigr\},其中 ${\mathbf{I}}_n$ 是单位矩阵.

E1)	证明, 在矩阵乘法下, 上面两个对象都是群.
E2)	证明, ${\mathbf{SL}}_n(\mathbb{R})$ 是 ${\mathbf{M}}_n(\mathbb{R})={\mathbb{R}}^{n^2}$ 中的光滑子流形并计算它的维数. (提示: 将行列式映射 $A\mapsto \det A$ 视作是 ${\mathbb{R}}^{n^2}$ 上的光滑函数)
E3)	证明, ${\mathbf{SL}}_n(\mathbb{R})$ 在 ${\mathbf{I}}_n$ 处的切空间是$${\mathfrak{sl}}_n(\mathbb{R}):=\{a\in {\mathbf{M}}_n(\mathbb{R})|\mathrm{tr}a=0\}.$$
E4)	证明, $\mathbf{O}(n)$ 是 ${\mathbf{M}}_n(\mathbb{R})={\mathbb{R}}^{n^2}$ 中的光滑子流形并计算它的维数 (提示: 令 ${\mathrm{Sym}}_n(\mathbb{R})$ 是全体对称的 $n\times n$ 的实系数矩阵, 考虑映射 f:\mathbf{M}_n(\mathbb{R})\rightarrow{\rm Sym}_n(\mathbb{R}), \ A\mapsto A\cdot\,^t A-\mathbf{I}_n) .
E5)	证明, ${\mathbf{O}}_n(\mathbb{R})$ 在 ${\mathbf{I}}_n$ 处的切空间是\mathfrak{o}(n)\coloneqq\bigl\{a \in\mathbf{M}_n(\mathbb{R})\bigm| a+\,^t a=0\bigr\}.
E6)	令 $G={\mathbf{SL}}_n(\mathbb{R})$ 或者 $\mathbf{O}(n)$. 证明, 映射$$G\to G,g\mapsto g^{-1}$$是光滑的.
E7)	回忆一下, $G\times G$ 可以被视作是 ${\mathbf{M}}_n(\mathbb{R})\times {\mathbf{M}}_n(\mathbb{R})$ 的子流形. 证明, 映射$$G\times G\to G,(g_1,g_2)\mapsto g_1\cdot g_2$$也是光滑的. (至此, 证明了 ${\mathbf{SL}}_n(\mathbb{R})$ 和 $\mathbf{O}(n)$ 是 Lie 群)
E8)	令 $G={\mathbf{SL}}_n(\mathbb{R})$ (或 $\mathbf{O}(n)$) , $\mathfrak{g}={\mathfrak{sl}}_n(\mathbb{R})$ (或 $\mathfrak{o}(n)$) , 证明, 指数映射 $\exp$ 把 $\mathfrak{g}$ 映射到 $G$ 中去.

寄语.

Ὡς τοῦ ἀεὶ ὄντος γνώσεος ἀλλὰ οὐ τοῦ ποτέ τι γιγνομένου καὶ ἀπολλυμένου.

Εὐομολόγητον, ἔφη τοῦ γὰρ ἀεὶ ὄντος ἡ γεωμετρικὴ γνῶσίς ἐστιν.

(“这是, 人们的目的是在于对那永恒的 ‘是’ 的认识, 而不是对那一时生长一时消灭的东西”

“完全地同意; ” 他说, “因为几何学, 它是关于那永恒的 ‘是’ 的认识” )

— πλάτων, πολιτεία