作业: 齐次分布, Hadamard 有限部分

分布的定义、例子与操作

习题 A. 我们总假设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是非空的开集.

A1)	假设 $\psi (x)\in C^{\infty }(\mathbb{R})$ 并且 $\psi (0)=0$, 那么, $\frac{\psi (x)}{x}$ 也是光滑函数.
A2)	对任意给定的分布 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$, 对任意的试验函数序列 $\{{\phi }_p{\}}_{p⩾1}\subset \mathcal{D}(\Omega )$, 如果 ${\phi }_p\stackrel{\mathcal{D}}{⟶}0$, 试证明, $$\underset{p\to \infty }{\lim }⟨u,{\phi }_p⟩=0.$$
A3)	对任意整数 $k⩾0$, 我们定义 $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ 上的线性泛函: $$⟨{\delta }^{(k)},\phi ⟩=(-1{)}^k{\phi }^{(k)}(0),$$其中, ${\phi }^{(k)}$ 指的是求 $k$ 次导数. 证明, 这定义了 $\mathbb{R}$ 上的分布并且其阶恰好为 $k$.
A4)	我们定义 $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ 上的线性泛函: $$⟨u,\phi ⟩=\sum _{k=0}^{\infty }{\phi }^{(k)}(k).$$证明, 这定义了 $\mathbb{R}$ 上的分布然而我们不能定义它的阶.
A5)	证明, $\mathrm{vp}\frac{1}{x}$ 的阶恰为 $1$.
A6)	证明, 如果试验函数 $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ 满足 $\phi (0)=0$, 那么$$⟨\mathrm{vp}\frac{1}{x},\phi ⟩={\int }_{\mathbb{R}}\frac{\phi (x)}{x}dx.$$
A7)	证明, ${\mathbb{R}}_{>0}$ 上的函数$$f(x)=e^{\frac{1}{x}}{1}_{(0,+\infty )}(x)$$不能延拓为 $\mathbb{R}$ 上的一个分布, 即不存在 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$, 使得对任意的 $\phi \in \mathcal{D}((0,\infty ))$, 我们都有$$⟨u,\phi ⟩={\int }_0^{\infty }{e}^{\frac{1}{x}}\phi (x)dx.$$
A8)	对任意的 $\epsilon >0$, 我们令$$f_{\epsilon }(x)=\frac{1}{x}{1}_{(-\infty ,-\epsilon )\cup (2\epsilon ,+\infty )}(x).$$证明, 当 $\epsilon \to 0$ 时, $f_{\epsilon }$ 在分布 (${\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$) 的意义下有极限并计算该极限.
A9)	对任意的 $\epsilon >0$, 我们定义$$g_{\epsilon }(x)=\frac{1}{x}{1}_{(-\infty ,-\epsilon )\cup ({\epsilon }^2,+\infty )}(x).$$我们把它们看作是 ${\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$ 中的一族分布. 证明, 当 $\epsilon \to 0$ 时, $g_{\epsilon }$ 在分布的意义下是没有极限的.

习题 B ($\mathbb{R}$ 上的概率分布函数) .

B1)	假设 $\mu$ 是 $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ 上的概率测度, 即 $\mu (\mathbb{R})=1$, 其中 $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ 是 Borel 代数. 证明, 函数$$f(x)=\mu ((-\infty ,x])$$是递增的、右连续的函数并且满足$$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=0,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=1.$$
B2)	假设 $\mu$ 是 $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ 上的概率测度, $f(x)=\mu ((-\infty ,x))$, 证明, 在分布的意义下$$f^{\prime }\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})}{=}\mu .$$
B3)	任给定 $\mathbb{R}$ 上的单调递增的函数 $f(x)$, 满足$$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=0,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=1.$$证明, 其分布意义下的导数 $f^{\prime }$ 可以被视为是 $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ 上的概率测度, 即存在概率测度 $\mu$, 使得对任意的 $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$, 我们有$$⟨f^{\prime },\phi ⟩={\int }_{\mathbb{R}}\phi d\mu .$$

习题 C (Hadamard 的有限部分 (parties finies) $\mathrm{pf}{\mathbf{x}}_{+}^{\mathbf{\alpha }}$) .

C1)	给定参数 $\alpha \in (-1,0)$, 证明, 函数 $x^{\alpha }$ 是 $[0,1)$ 上的可积函数.
C2)	给定参数 $\alpha \in (-2,-1)$. 证明, 对任意 $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$, 对任意的 $\epsilon >0$, 我们都可以把积分 ${\int }_{\epsilon }^{\infty }{x}^{\alpha }\phi (x)dx$ 写成下面的形式: $${\int }_{\epsilon }^{\infty }{x}^{\alpha }\phi (x)dx=A{\epsilon }^{\alpha +1}+R_{\phi }(\epsilon ),$$其中, $A$ 是由 $\phi$ 决定的常数并且当 $\epsilon \to 0^{+}$ 时, $R_{\phi }(\epsilon )$ 有极限.
C3)	证明, 下述公式定义出 ${\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$ 中的分布: $$⟨\mathrm{pf}{x}_{+}^{\alpha },\phi ⟩=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{R}_{\phi }(\epsilon ).$$
C4)	给定参数 $\alpha \in (-\infty ,-1)-\mathbb{Z}$ ($\alpha$ 不是整数) . 证明, 对任意 $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$, 对任意的 $\epsilon >0$, 我们都可以把积分 ${\int }_{\epsilon }^{\infty }{x}^{\alpha }\phi (x)dx$ 写成下面的形式: $${\int }_{\epsilon }^{\infty }{x}^{\alpha }\phi (x)=P_{\phi }(\epsilon )+R_{\phi }(\epsilon ),$$其中, $P_{\phi }(\epsilon )$ 是有限个 $\epsilon$ 的负次方的常数系数 (依赖于 $\phi$) 线性组合, 而当 $\epsilon \to 0^{+}$ 时, $R_{\phi }(\epsilon )$ 有极限.
C5)	证明, 下述公式定义出 ${\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$ 中的分布: $$⟨\mathrm{pf}{x}_{+}^{\alpha },\phi ⟩=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{R}_{\phi }(\epsilon ).$$
C6)	计算如下的分布$$x\cdot \mathrm{pf}{x}_{+}^{\alpha },\frac{d}{dx}\left(\mathrm{pf}{x}_{+}^{\alpha }\right),$$其中 $\alpha \in (-\infty ,0)-\mathbb{Z}$.
C7)	如果 $\alpha =-2$, 你是否可以定义出 $\mathrm{pf}{x}_{+}^{-2}$?
C8)	(选做) 如果 $\alpha =-2,-3,-4,\cdots$, 你能否对上述问题做出相应的改动和回答?

习题 D (关于分布的一个除法问题, $÷\mathbf{x}$) .

D1)	任意给定试验函数 $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$, 证明, 如果 $\phi (0)=0$, 那么函数$$\frac{\phi (x)}{x}\in \mathcal{D}(\mathbb{R}).$$
D2)	证明, 对每个 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$, 存在 $\tilde{u}\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$, 使得在分布的意义下$$x\cdot \tilde{u}=u.$$
D3)	试找出一切 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$, 使得在分布的意义下$$x\cdot u=0.$$
D4)	试在分布的意义下找出如下四个方程的所有解: $$x\cdot u=1,x\cdot u={\delta }_0,x\cdot u=\mathrm{pv}\frac{1}{x},$$和$$x\cdot u=\mathrm{pf}{x}_{+}^{\alpha },$$其中 $\alpha <-1$ 且不是整数.
D5)	试找出所有的 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$, 使得在分布的意义下, 我们有$$u+x\cdot u^{\prime }=0.$$

习题 E (一个 ${\mathbb{R}}^2$ 上的微分方程) .

现在在 ${\mathbb{R}}^2$ 上面研究问题, 我们用 $(x,y)$ 作为标准的坐标函数.

E1)	假设分布 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^2)$ 满足$${\partial }_{x}u\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}0.$$证明, 存在 $v\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$, 使得对任意的 $\phi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^2)$, 我们都有$$⟨u,\phi ⟩=⟨v,{\int }_{\mathbb{R}}\phi (x,y)dx⟩.$$
E2)	(正则性) 假设分布 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^2)$ 满足$${\partial }_{x}u\in C^0({\mathbb{R}}^2),{\partial }_{y}u\in C^0({\mathbb{R}}^2).$$也就是说, ${\partial }_{x}u$ 和 ${\partial }_{y}u$ 分别对应着连续函数所定义的分布. 证明, $u\in C^1({\mathbb{R}}^2)$.

习题 F (齐次分布) .

给定试验函数 $\phi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$, 对任意的实数 $\lambda \ne 0$, 我们定义$${\phi }_{\lambda }(x)=\phi \left(\frac{x}{\lambda }\right).$$对于 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$, 我们定义分布 $u_{\lambda }$ 如下: $$⟨u_{\lambda },\phi ⟩=⟨u,|\lambda {|}^{-n}{\phi }_{\frac{1}{\lambda }}⟩.$$如果对每个 $\lambda >0$, 下面的等式成立: $$u_{\lambda }\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}{\lambda }^{-d}u,$$我们就称 $u$ 为次数是 $d$ 的齐次分布, 其中 $d\in \mathbb{R}$.

F1)	假设分布 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$ 是由某个局部可积的函数 $f$ 定义. 证明, $u$ 是 $d$ 次齐次分布当且仅当对几乎处处的 $x$, 我们有$$f(\lambda x)={\lambda }^{d}f(x),\lambda >0.$$
F2)	证明, $\mathrm{vp}\frac{1}{x}$ 和 $\mathrm{pf}{x}_{+}^{\alpha }$ (其中 $\alpha <-1$ 且非整数) 是 ${\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$ 上的齐次分布并确定它们的次数.
F3)	证明, ${\delta }_0$ 是 ${\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$ 上的齐次分布并确定其次数.
F4)	假设 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$ 上的 $d$ 次齐次分布, 证明. ${\partial }_{x_1}u\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$ 是 $d-1$ 次的齐次分布.
F5)	任意给定 $u_1,u_2,\cdots ,u_N\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$ 上 $N$ 个齐次分布, 如果它们的次数互不相同, 证明, 它们在 ${\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$ 中是 $\mathbb{C}$-线性无关的.
F6)	任意给定试验函数 $\phi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$, 任意给定正实数 $\lambda$ 和 ${\lambda }_0$, 假设 $\lambda \ne {\lambda }_0$. 我们定义$${\psi }_{\lambda }(x)=\frac{{\phi }_{\frac{1}{\lambda }}(x)-{\phi }_{\frac{1}{{\lambda }_0}}(x)}{\lambda -{\lambda }_0}$$证明, 当 $\lambda \to {\lambda }_0$ 时, 上述函数在 $\mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$ 中有极限并计算该极限.
F7)	(齐次分布的 Euler 公式) 任意给定 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$, $d\in \mathbb{R}$. 证明, $u$ 是 $d$ 次齐次分布当且仅当$$\sum _{k=1}^n{x}_k\cdot \frac{\partial u}{\partial x_k}\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}d\cdot u.$$
F8)	试找出 ${\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^1)$ 中所有次数为 $0$ 和 $1$ 的次齐次分布.

寄语. Je suis mathématicien. Les mathématiques ont rempli ma vie.

—— Laurent Schwartz