作业: Dini 定理, 多项式逼近与 Weierstraß–Stone 定理

基本习题

习题 A: 积分定义的补充与扩展

我们总假设 $I=[a,b]\subset \mathbb{R}$ 是一个有界闭区间, $V$ 是一个赋范线性空间.

A1)	${\sigma }_1,{\sigma }_2\in \mathcal{S}$ 是两个分划. 证明, 对任意的 $\epsilon >0$, 总存在分划 $\sigma$, 使得 $\sigma \prec {\sigma }_1$, $\sigma \prec {\sigma }_2$ 并且它的步长 $|\sigma |<\epsilon$.
A2)	考虑在 $V$ 中取值的阶梯／简单函数的空间 $\mathcal{E}(I)$, 证明, 这是 $\mathbb{R}$-线性空间并且积分算子 ${\int }_a^b:\mathcal{E}(I)\to V$ 是良好定义的 (不依赖于分划的选取) 并且是线性映射, 其中积分的定义方式与函数在 $\mathbb{R}$ 中取值时的方式一致. 据此, 用阶梯函数逼近的方式定义在 $V$ 中取值的 Riemann 可积的函数. 你不需要写下细节但是你应该对照笔记研究原来证明的每一步.
A3)	假设 $f:I\to {\mathbb{R}}^n$, 其中 $f_i$ 是 $f$ 的每个分量. 那么 $f\in \mathcal{R}(I)$ 当且仅当对每个分量 $f_i$ 我们都有 $f_i\in \mathcal{R}(I)$. 特别地, 当 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ 时, 我们有 ${\int }_a^{b}f={\int }_a^b\Re f+i{\int }_a^b\Im f$, 其中 $\Re f$ 和 $\Im f$ 分别为 $f$ 的实部和虚部.
A4)	试证明积分的区间可加性: 假设 $a<c<b$, 那么对于任意的 $f\in \mathcal{R}(I)$, 我们有 $f$ 在 $[a,c]$ 和 $[c,b]$ 上的限制都是阶梯函数, 并且$${\int }_a^{b}f={\int }_a^{c}f+{\int }_c^{b}f.$$
A5)	证明, 对于任意两个分划 $\sigma$ 和 ${\sigma }^{\prime }$, 它们所对应的 Darboux 上下和满足$$\underline{S}(f;\sigma )⩽\overline{S}(f;{\sigma }^{\prime }).$$据此证明, 如果 $f\in \mathcal{R}(I)$, 就有 $\underset{|\sigma |\to 0}{\lim }|\underline{S}(f;\sigma )-\overline{S}(f;\sigma )|=0$, 即对任意的 $\epsilon >0$, 一定存在 $\delta >0$, 对任意的分划 $\sigma$, 只要 $|\sigma |<\delta$, 我们就有$$|\underline{S}(f;\sigma )-\overline{S}(f;\sigma )|<\epsilon .$$
A6)	$f\in \mathcal{R}(I)$. 证明, 改变 $f$ 在有限个点上的取值所得到的函数仍是 Riemann 可积的并且积分与 $f$ 的相同.
A7)	$f\in C([a,b])$. 假设对任意的 $x\in I$, 我们都有 $f(x)⩾0$ 并且存在点 $x_0\in I$ 使得 $f(x_0)>0$. 证明, ${\int }_a^{b}f>0$.
A8)	(不定积分的分部积分公式: 对计算不定积分有用) 假设 $f,g\in C^1(I)$, 那么, 我们有$$\int f^{\prime }\cdot g=f\cdot g-\int f\cdot g^{\prime }.$$
A9)	(不定积分的变量替换公式: 对计算不定积分有用) 假设 $\Phi :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 可微, $f$ 是连续函数, 那么$$\int (f\circ \Phi ){\Phi }^{\prime }=\int f.$$

习题 B: 不定积分的计算

试计算下列不定积分$$\begin{array}{rlrlrl}& (1)\int \frac{x^5}{1+x}& & (2)\int \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}& & (3)\int \left(\frac{1+x}{1-x}+\frac{1-x}{1+x}\right)\\ & (4)\int \frac{e^{3x}+1}{1+e^x}& & (5)\int \sqrt{1-\sin (2x)}& & (6)\int \frac{\cos (2x)}{\cos x-\sin x}\\ & (7)\int {\tan }^{2}x& & (8)\int |x|& & (9)\int e^{-|x|}\\ & (10)\int \frac{x^2}{(1-x{)}^{2018}}& & (11)\int |x-1|& & (12)\int \frac{1}{\sqrt{b^2+x^2}}\\ & (13)\int \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}& & (14)\int \frac{x^4}{(1-x^5{)}^4}& & (15)\int \left(\frac{1}{\sqrt{3-x^2}}+\frac{1}{1-3x^2}\right)\\ & (16)\int \frac{2x-3}{x^2-3x+8}& & (17)\int \frac{1}{{\sin }^2(2x+\frac{\pi }{4})}& & (18)\int \frac{1}{1+\cos x}\\ & (19)\int \frac{1}{x^2}\sin \frac{1}{x}& & (20)\int {\cos }^{5}x& & (21)\int \cos (ax)\sin (bx)\\ & (22)\int \frac{1}{a\cos x+b\sin x}& & (23)\int \frac{\sin (2x)}{a^2{\cos }^{2}x+b^2{\sin }^{2}x}& & (24)\int \frac{1}{2-{\sin }^{2}x}\\ & (25)\int \frac{1}{x(\ln x)(\ln \ln x)}& & (26)\int \frac{\ln x}{x\sqrt{1+\ln x}}& & (27)\int \frac{\cos x+\sin x}{\sqrt[3]{\sin x-\cos x}}\\ & (28)\int e^{\sqrt{x}}& & (29)\int \frac{x^{\frac{n}{2}}}{1+x^{n+2}}& & (30)\int \frac{\sqrt{x}}{1-\sqrt[3]{x}}\\ & (31)\int \frac{1}{(x^2+a^2{)}^{\frac{3}{2}}}& & (32)\int \frac{1}{{\cos }^{4}x}& & (33)\int (\arcsin x{)}^2\\ & (34)\int x\arcsin x& & (35)\int x\arctan x& & (36)\int \frac{\arctan x}{x^2}\\ & (37)\int x^2\sin x& & (38)\int \frac{x}{{\cos }^{2}x}& & (39)\int \ln (x+\sqrt{1+x^2})\\ & (40)\int \sin (\ln x)& & (41)\int \sqrt{x^2+a^2}& & (42)\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2-a^2}}\\ & (43)\int \frac{x\ln (x+\sqrt{1+x^2})}{\sqrt{1+x^2}}& & (44)\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}& & (45)\int \frac{x{e}^x}{(1+x{)}^2}\\ & (46)\int \arctan (1+\sqrt{x})& & (47)\int {\left(1-\frac{2}{x}\right)}^2{e}^x& & (48)\int \sqrt{2+{\tan }^{2}x}\\ & (49)\int \frac{1}{1+x^3}& & (50)\int \frac{x^7}{x^4+2}& & (51)\int \frac{2x^2+1}{(x+3)(x-1)(x-4)}\\ & (52)\int \frac{1+x^2}{1+x^4}& & (53)\int \frac{x}{\sqrt{x+1}+\sqrt[3]{x+1}}& & (54)\int \frac{1}{\sqrt{x+x^2}}\\ & (55)\int \frac{1-r^2}{1-2r\cos x+r^2},r\in (0,1)& & (56)\int \frac{1}{x\sqrt{1+x^2}}& & (57)\int \frac{1}{5-3\cos x}\\ & (58)\int \frac{1}{2+{\sin }^{2}x}& & (59)\int \frac{{\sin }^{3}x}{{\cos }^{4}x}& & (60)\int \frac{1}{\sin x{\cos }^{4}x}.\end{array}$$

思考题 W (重要结论, 不交作业, 鼓励讨论! ) : 多项式逼近和 Weierstrass–Stone 定理

我们要证明如下著名的定理: 任意给定有界闭区间 $I=[a,b]$ 上的连续函数, 我们总是可以用一个多项式来足够好地逼近它. 更精确地说, 给定 $f\in C([a,b])$, 对任意的 $\epsilon >0$, 存在多项式 $P_{\epsilon }$, 使得 $\underset{x\in [a,b]}{\sup }|f(x)-P_{\epsilon }(x)|<\epsilon$, 即若用 $P([a,b])$ 表示 $[a,b]$ 上多项式函数组成的空间, 则 $P([a,b])$ 在度量空间 $C([a,b])$ 中稠密 ($C([a,b])$ 上用的范数是 $\Vert f{\Vert }_{\infty }=\underset{x\in [a,b]}{\sup }|f(x)|$) .

第一部分: Dini 定理及应用

W1)	(Dini 定理) 假设 $K\subset {\mathbb{R}}^n$ 是紧子集, $f_n:K\to \mathbb{R}$ 是一列连续函数, 它们逐点地收敛到连续函数 $f:K\to \mathbb{R}$, 即对每个 $x\in K$, 我们都有 $\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)=f(x)$. 证明, 如果 $\{f_n{\}}_{n⩾1}$ 是上升的函数列 (即对任意 $x\in K$ 和 $n$, 我们都有 $f_n(x)⩽f_{n+1}(x)$) , 那么 $f_n$ 一致收敛到 $f$. (参考荆公子的某次习题课)
W2)	考虑区间 $I=[-1,1]$. 我们通过归纳的方式定义一族多项式函数:$$P_0(x)=0,P_{n+1}(x)=P_n(x)+\frac{1}{2}(x^2-P_n^2(x)).$$证明, 对任意的 $n$ 和 $x$, 我们都有 $0⩽P_n(x)⩽P_{n+1}(x)⩽|x|$.
W3)	证明, 绝对值函数 $|x|$ 在 $I=[-1,1]$ 上可以被多项式一致地逼近, 即对任意的 $\epsilon >0$, 存在某个多项式函数 $P_{\epsilon }(x)$, 使得 $\underset{x\in [-1,1]}{\sup }||x|-P_{\epsilon }(x)|<\epsilon$.

第二部分: 区间上的情形

这一部分中, 我们假设 $I=[0,1]$, $n$ 是正整数.

W4)	对任意的 $0⩽k⩽n$, 我们定义 $p_{n,k}(x)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)x^k(1-x{)}^{n-k}$. 证明, $\sum _{0⩽k⩽n}{p}_{n,k}(x)(x-\frac{k}{n}{)}^2=\frac{x(1-x)}{n}$.
W5)	任意给定 $f\in C([0,1])$, 我们定义 $B_{f,n}(x)=\sum _{0⩽k⩽n}f\left(\frac{k}{n}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)x^k(1-x{)}^{n-k}$. 对 $x\in [0,1]$, 证明, $$|f(x)-B_{f,n}(x)|⩽\sum _{k=0}^n|f(x)-f(\frac{k}{n}\left)\right|p_{n,k}(x).$$
W6)	(用 Bernstein 多项式逼近连续函数) 任意给定 $f\in C([0,1])$, 证明, 对任意 $\epsilon >0$, 总存在 $n$, 使得 $\Vert f-B_{f,n}{\Vert }_{\infty }<\epsilon$.

注记. 用概率论的观点, $x\in [0,1]$ 给定, Bernstein 多项式逼近的的方法讲的是概率测度 ${\mu }_x=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right)x^k(1-x{)}^{n-k}{\delta }_{\frac{k}{n}}$ 的极限是 Dirac 测度 ${\delta }_x$.

第三部分: 紧集上的情形

从此往后, 我们假设 $K\subset {\mathbb{R}}^n$ 是紧集, $C(K)$ 是 $K$ 上的实数值连续函数所构成的线性空间, 用 $P(K)$ 表示 $K$ 上多项式函数组成的空间 (即形如 $\sum _{|\alpha |⩽m}{c}_{\alpha }{x}^{\alpha }$ 的函数, 其中 $m$ 是正整数, $\alpha$ 是多重指标, 请参见关于多重偏导数的课堂笔记) .

W7)	假设 $\mathcal{A}\subset C(K)$ 是非零的线性子空间. 如果对任意的 $f,g\in \mathcal{A}$, 它们的乘积 $f\cdot g\in \mathcal{A}$, 我们就把 $\mathcal{A}$ 称作是 $C(K)$ 的一个子代数. 证明, $P(K)$ 是 $C(K)$ 的子代数.
W8)	非零的线性子空间 $\mathcal{A}\subset C(K)$ 是闭子代数, 也就是说如果 $\{f_k{\}}_{k⩾1}\subset \mathcal{A}$, $f_k$ 一致收敛到 $f$, 那么 $f\in \mathcal{A}$. 假设常值函数 $1\in \mathcal{A}$, 证明, 如果 $f\in \mathcal{A}$, 那么 $|f|\in \mathcal{A}$. (提示: 利用 W3))
W9)	假设 $\mathcal{A}\subset C(K)$ 是子集, 如果对任意的 $x,x^{\prime }\in K$, $x\ne x^{\prime }$, 都存在 $f\in \mathcal{A}$, 使得 $f(x)\ne f(x^{\prime })$, 我们就称 $\mathcal{A}$ 是能够区分点的. 证明, $P(K)$ 是能够区分点的.
W10)	假设 $f,g\in C(K)$. 证明, 函数 $f\wedge g(x)=\min \{f(x),g(x)\}$ 和 $f\vee g(x)=\max \{f(x),g(x)\}$ 都是连续的.
W11)	假设 $\mathcal{A}\subset C(K)$ 是子集, 如果对任意的 $f,g\in \mathcal{A}$, $f\wedge g,f\vee g\in \mathcal{A}$, 我们就称 $\mathcal{A}$ 是 $\wedge \vee$-封闭的. 证明, $\overline{P(K)}$ 是 $\wedge \vee$-封闭的, 其中 $\overline{P(K)}=\{f\in C(K)|\text{存在 }\{f_k{\}}_{k⩾1}\subset P(K),f_k\text{ 一致收敛到 }f\}$ 为 $P(K)$ 在 $C(K)$ 中的闭包.
W12)	我们现在假设 $\mathcal{A}\subset C(K)$ 是 $\wedge \vee$-封闭的, 并且对任意的 $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$, 任意的 $x,y\in K$, $x\ne y$ (我们此时假设 $K$ 至少含有两个点) 都存在函数 $\phi \in A$, 使得 $\phi (x)=\alpha$, $\phi (y)=\beta$. 我们通过下面的步骤来证明 $\mathcal{A}\subset C(K)$ 是稠密的 (即对任意给定的连续函数 $f\in C(K)$, 对任意的 $\epsilon >0$, 总存在 $\phi \in \mathcal{A}$, 使得 $\Vert \phi -f{\Vert }_{\infty }<\epsilon$) : ∘ 固定 $x_0\in X$, 对任意的 $y\in K$, 我们选取 ${\phi }_y\in \mathcal{A}$, 使得 ${\phi }_y(x_0)=f(x_0)$ 并且 ${\phi }_y(y)=f(y)$, 这样我们得到一族 $\{{\phi }_y\in \mathcal{A}\mid y\in K\}$, 据此, 对每个 $y\in K$, 可以定义 $U_y=\{z\in K\mid {\phi }_y(z)>f(z)-\epsilon \}$. 证明, 存在有限个 $y_1,\cdots ,y_m\in K$, 使得 $K\subset U_{y_1}\cup \cdots \cup U_{y_m}$. ∘ 证明, ${\phi }_{x_0}(x)=\sup \{{\phi }_{y_1}(x),\cdots ,{\phi }_{y_m}(x)\}\in \mathcal{A}$ 并且对任意的 $x\in K$, 我们都有 ${\phi }_{x_0}(x)-f(x)>-\epsilon$. ∘ 证明, 存在 $\phi \in \mathcal{A}$, 使得对任意的 $x\in K$, 都有 $|\phi (x)-f(x)|<\epsilon$.
W13)	证明, 如果子代数 $\mathcal{A}\subset C(K)$ 是能够区分点的, $\wedge \vee$-封闭的并且包含所有的常数值函数, 那么 $\mathcal{A}\subset C(K)$ 是稠密的.
W14)	(Weierstrass–Stone 定理) 如果 $\mathcal{A}\subset C(K)$ 是一个能区分点的子代数并且包含常值函数 $1$, 那么 $\mathcal{A}\subset C(K)$ 是稠密的. 注记. 我们还有一种复值函数的 Weierstrass–Stone 定理, 在很多的场合有着重要的应用, 有兴趣的同学可以自己查阅.
W15)	多项式函数 $P(K)$ 在连续函数空间 $C(K)$ 中是稠密的.
W16)	给定以 $2\pi$ 为周期的连续函数 $f\in C(\mathbb{R})$. 证明, 任给 $\epsilon >0$, 总存在一个有限的三角级数$$T(x)=\sum _{-N⩽k⩽N}{a}_k\cos (kx)+\sum _{-N⩽k⩽N}{b}_k\sin (kx),$$其中 $N$ 是正整数, $a_k,b_k$ 是实数, 使得对任意的 $x\in \mathbb{R}$, 我们都有 $|f(x)-T(x)|<\epsilon$. (提示: 考虑 $C([0,2\pi ])$ 和它的某个子代数)