作业: Lebesgue 控制收敛, 十进制小数的研究

课堂内容的补充与复习

A1)	(积分与级数之间的关联) 考虑正整数集上的测度空间 $({\mathbb{Z}}_{⩾1},\mathcal{P}\left({\mathbb{Z}}_{⩾1}\right),\mu )$, 其中 $\mu$ 是数元素个数的测度: $$\mu (A)=|A|.$$考虑这个空间上复数值函数 $f(x)$. 证明, $f$ 可积分当且仅当$$\sum _{n=1}^{\infty }|f(n)|<\infty$$并且此时$${\int }_{{\mathbb{Z}}_{⩾1}}fd\mu =\sum _{n=1}^{\infty }f(n).$$
A2)	(Beppo Levi 定理的标准应用) 考虑测度空间 $(X,\mathcal{A},\mu )$ 上的正函数列 $\{g_i{\}}_{i⩾1}$. 证明, 函数级数 $\sum _{i=1}^{\infty }{g}_i$ 是 $X$ 上良好定义的可测正函数并且$${\int }_X\sum _{i=1}^{\infty }{g}_{i}d\mu =\sum _{i=1}^{\infty }{\int }_X{g}_{i}d\mu .$$
A3)	考虑 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)=\frac{\sin (x)}{x}$. 证明, 在 Lebesgue 的意义下, $f$ 不可积.
A4)	$f$ 是测度空间 $(X,\mathcal{A},\mu )$ 上的简单函数. 证明, $f$ 的积分与 $f$ 作为简单函数所定义的积分是一致的. (提示: 利用已经证明的关于积分的线性)
A5)	$(X,\mathcal{A},\mu )$ 是测度空间, $Y\in \mathcal{A}$, 我们定义 $\mathcal{A}{|}_Y=\{A\in \mathcal{A}\mid A\subset Y\}$. 对任意的 $A\cap Y\subset \mathcal{A}{|}_Y$, 我们定义$$\mu {|}_Y(A\cap Y)=\mu (A\cap Y).$$证明, $\mu {|}_Y$ 是 $\mathcal{A}{|}_Y$ 上的测度. 对于任意给定的可测函数 $f:Y\to \mathbb{C}$, 令$$\hat{f}:X\to \mathbb{C},x\mapsto \hat{f}(x)=\{\begin{array}{ll}f(x),& x\in Y;\\ 0,& x\notin Y.\end{array}$$证明, $f$ 在 $(Y,\mathcal{A}{|}_Y,\mu {|}_Y)$ 上可积当且仅当 $\hat{f}$ 在 $(X,\mathcal{A},\mu )$ 上可积, 并且此时我们有$${\int }_X\hat{f}d\mu ={\int }_{Y}fd\mu {|}_Y.$$
A6)	(Fatou 引理中的不等式的等号未必能取到) 试构造某个测度空间 $(X,\mathcal{A},\mu )$ 上的可测正函数序列 $\{f_i{\}}_{i⩾1}$, 使得该序列逐点地收敛到 $f$ 但是$${\int }_{X}fd\mu <\underset{i\to \infty }{\mathrm{liminf}}{\int }_X{f}_{i}d\mu .$$
A7)	$(X,\mathcal{A},\mu )$ 是测度空间. 证明, 对任意可测函数 $f:X\to \mathbb{C}$, 都存在阶梯函数序列 $\{{\phi }_i{\}}_{i⩾1}$, 使得对每个 $x\in X$, 都有$$\underset{k\to \infty }{\lim }{\phi }_k(x)=f(x).$$
A8)	试构造例子, 说明如果 $f$ 和 $g$ 是测度空间 $(X,\mathcal{A},\mu )$ 上的可积函数, 它们的乘积 $f\cdot g$ 未必是.

Lebesgue 控制收敛定理 (必须掌握的内容)

如果不加说明, 那么 ${\mathbb{R}}^n$ 上的测度 $dx$ 总假定是 Lebesgue 测度.

问题 B: 基本的 Lebesgue 控制收敛习题

B1)	$f$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 上的可积函数, $\{X_k{\}}_{k⩾1}$ 是单调上升的 Borel 集的序列并且 $\underset{k\to \infty }{\lim }{X}_k={\mathbb{R}}^n$. 试证明$$\underset{k\to \infty }{\lim }{\int }_{X_k}f(x)dx={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x)dx.$$
B2)	对于自然数 $n$, 令$${\Gamma }_n={\int }_0^n(1-\frac{x}{n}{)}^n{e}^{\frac{x}{2}}dx,$$试计算 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\Gamma }_n$.
B3)	利用积分 ${\int }_0^1\frac{dx}{1+x}$ 来计算 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}$.
B4)	$f$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 上的可积函数, $\{X_k{\}}_{k⩾1}$ 是 Borel-集的序列并且$$\underset{k\to \infty }{\lim }m(X_k)=0.$$试证明: $$\underset{k\to \infty }{\lim }{\int }_{X_k}f(x)dx=0.$$
B5)	$f$ 是 $\mathbb{R}$ 上的可积函数. 我们令$$\tilde{f}:[0,1]\mapsto \mathbb{C},x\mapsto \sum _{k\in \mathbb{Z}}f(x+k).$$证明, $f$ 是良定义的可测函数并且 $f$ 在 $[0,1]$ 上可积, 并进一步证明$${\int }_{[0,1]}\tilde{f}(x)dx={\int }_{\mathbb{R}}f(x)dx.$$
	[B6)] 对于每个 $x⩾0$, 我们定义 $F(x)={\int }_0^{\infty }\frac{1-\cos (u)}{u^2}{e}^{-xu}du$. B6-1) 证明, 对于 $x\in [0,\infty )$, $F(x)$ 是良定义的并计算 $\underset{x\to \infty }{\lim }F(x)$. B6-2) 证明, $F\in C^2((0,\infty ))$ 并计算其两阶导数 $F^{\prime \prime }$. B6-3) 给出 $F$ 的解析表达式. B6-4) 计算积分 ${\int }_0^{\infty }\frac{1-\cos (u)}{u^2}du$. B6-5)  $F(x)$ 在 $0$ 处的右导数是否存在?

问题 C: 卷积初步

$f$ 是 $\mathbb{R}$ 上的可积函数.

C1)	如果 $g$ 是 $\mathbb{R}$ 上的有界的连续函数, 证明$$f\ast g(x)={\int }_{\mathbb{R}}f(x-y)g(y)dy={\int }_{\mathbb{R}}f(y)g(x-y)dy$$定义了 $\mathbb{R}$ 上的一个有界的连续函数.
C2)	如果 $g$ 是 $\mathbb{R}$ 上连续可微的函数, 并且 $g$ 和 $g^{\prime }$ 均有界, 证明 $f\ast g$ 是连续可微的, 并且$$(f\ast g{)}^{\prime }=f\ast g^{\prime }.$$

问题 D: Fourier 变换初步

D1)

(有限测度的 Fourier 变换) 我们在 $\mathbb{R}$ 上取定 Borel-代数 (由开集生成的 $\sigma$-代数) . ∘ 如果 $\mu$ 是一个有限测度 (即 $\mu (\mathbb{R})<\infty$) , 那么$$\hat{\mu }(\xi )={\int }_{\mathbb{R}}{e}^{-ix\xi }d\mu (x)$$定义了 $\mathbb{R}$ 上的一个连续有界的函数 (称作是该有限测度的 Fourier 变换) . ∘ 我们定义 Dirac 测度 ${\delta }_0$ 如下: 对于 Borel-集 $A$, 如果 $0\in A$, 则 ${\delta }_0(A)=1$; 否则 ${\delta }_0(A)=0$. 证明, ${\delta }_0$ 是一个有限测度并计算它的 Fourier 变换.

D2)

(可积函数的 Fourier 变换)  $f$ 是 $\mathbb{R}$ 上的可积函数. D2-1) 对于 $\xi \in \mathbb{R}$, 我们定义$$\hat{f}(\xi )={\int }_{\mathbb{R}}{e}^{-ix\xi }f(x)dx.$$证明, 上式定义了 $\mathbb{R}$ 上的一个连续有界的函数 (称作是 $f$ 的 Fourier 变换) . D2-2) 如果 $g(x)=xf(x)$ 也是 $\mathbb{R}$ 上的可积函数, 证明 $\hat{f}(\xi )$ 连续可微并且$$\frac{d}{d\xi }\hat{f}(\xi )=-i\hat{g}(\xi ).$$ D2-3) (Riemann-Lebesgue 引理) 证明, 对任意的 $f\in {\mathcal{L}}^1(\mathbb{R},dx)$, 我们都有$$\underset{\xi \to \infty }{\lim }\hat{f}(\xi )=0.$$(提示: 先对特殊的简单函数来证明)

选做题: 测度理论

十进制小数的研究

对 $x\in [0,1)$, 我们将它按照十进制小数展开写成 $x=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n(x)}{10^n}$, 其中 $a_n(x)\in \{0,1,\cdots ,9\}$.

E1)	证明, 对 $x\in [0,1)$, 下面的四个表述等价: ∘ $x$ 允许至少两种不同的上述小数展开; ∘ $x$ 有一种小数展开使得存在 $n_0$, 当 $n⩾n_0$ 时, $a_n=0$; ∘ $x$ 有一种小数展开使得存在 $n_0$, 当 $n⩾n_0$ 时, $a_n=9$; ∘ $x$ 可写为 $\frac{m}{10^k}$ 的形式, 其中 $m,k$ 为整数. 在此之后, 我们用第二种表示, 从而上述十进制小数展开是唯一的.
E2)	对 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\in \{0,1,\cdots ,9\}$, 我们定义$$I({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)=\{x\in [0,1)\mid a_i(x)={\alpha }_i,i=1,2,\cdots ,n\}.$$证明, 当 $n$ 固定的时候, 不同的 $({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)$ 所定义的 $I({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)$ 两两不交并且恰好覆盖 $[0,1)$. 进一步说明 $I({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)$ 是形如 $[a,b)$ 的区间并确定 $a,b$ 及该区间的长度.
E3)	给定子集 $A\subset [0,1)$ 和 $n⩾1$, 我们定义$$N_n(A)=\#\{I({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)|I({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)\cap A\ne \varnothing \}.$$证明, 极限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{N_n(A)}{10^n}$ 存在.
E4)	假定 $A$ 是 Borel 集合, $m(A)$ 为其 Lebesgue 测度. 证明, $m(A)⩽\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{N_n(A)}{10^n}$.
E5)	举例子使得上述不等式中等号成立或者不成立.
E6)	我们定义$$A_{1^{\times }}=\{x\in [0,1)\mid \text{对每个}n,a_n(x)\ne 1\}.$$证明, $A_{1^{\times }}$ 是 Borel 集并计算其的 Lebesgue 测度.
E7)	证明, $N_{n+1}(A_{1^{\times }})⩽9N_n(A_{1^{\times }})$ 并利用这个不等式来检验上一步测度的计算.
E8)	对于 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n\in \{0,1,2,\cdots \}$, 定义$$A_{({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n{)}^{\times }}=\{x\in [0,1)\mid ({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)\text{不作为 x 小数展开的连续的 n 项出现}\}.$$证明, $A_{({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n{)}^{\times }}$ 是 Borel 集.
E9)	证明, $N_{m+n}(A_{({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n{)}^{\times }})⩽(10^n-1)N_m(A_{({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n{)}^{\times }})$ 并计算 $A_{({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n{)}^{\times }}$ 的测度.
E10)	证明, 对几乎处处的 $x\in [0,1)$, 任何由 $0,1,\cdots ,9$ 构成的有限长度的字符串都会在 $x$ 的十进制小数展开中出现无限多次.

一个 Borel 集的研究

我们把有理数写成 $\frac{p}{q}$ 的形式并要求 $q>0$ 并且 $p$ 和 $q$ 互素. 给定 $n\in {\mathbb{Z}}_{⩾0}$ 和 $\epsilon >0$, 定义$$A_{n,\epsilon }=\bigcup _{\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}}(\frac{p}{q}-\frac{\epsilon }{q^n},\frac{p}{q}+\frac{\epsilon }{q^n}),\widetilde{A_{n,\epsilon }}=A_{n,\epsilon }\cap [0,1],A_n=\bigcap _{\epsilon >0}{A}_{n,\epsilon },\widetilde{A_n}=\bigcap _{\epsilon >0}\widetilde{A_{n,\epsilon }}.$$

F1)	$A_n$ 是 $\mathbb{R}$ 上稠密的 Borel 集.
F2)	证明, 如果 $n⩾3$, 那么 $A_n$ 是零测集 (Lebesgue 测度为零) .
F3)	证明, $\bigcap _n{A}_n\ne \mathbb{Q}$.
F4)	证明, $\bigcap _n{A}_n$ 是不可数集
F5)	证明, $\bigcap _n{A}_n-\mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{R}$ 中稠密.
F6)	证明, 当 $n=2$ 并且 $\epsilon =1$ 时, $A_{2,1}=\mathbb{R}$.
F7)	证明, $A_1=\mathbb{R}$.

寄语. When I was about thirteen, the library was going to get Calculus for the Practical Man. By this time I knew, from reading the encyclopedia, that calculus was an important and interesting subject, and I ought to learn it.

—— Richard P. Feynman