作业: Riemann 重排, Cesàro 求和, Banach–Mazur 游戏

基本习题

习题 A: 课堂内容的补充及 $\epsilon -N$ 语言的训练

A1)	$\{x_n{\}}_{n⩾1}$ 是有界的实数数列. 证明, 这个数列有子列 $\{x_{n_i}{\}}_{n⩾1}$ 使得 $\underset{i\to \infty }{\lim }{x}_{n_i}$ 存在并且$$\underset{i\to \infty }{\lim }{x}_{n_i}=\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{x}_n.$$
A2)	$\{x_n{\}}_{n⩾1}$ 是实数数列. 证明, $\{x_n{\}}_{n⩾1}$ 收敛的充分必要条件是 $\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{x}_n=\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{x}_n$.
A3)	$\{x^{(k)}{\}}_{k⩾1}$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的点列, 其中, $x^{(k)}=(x_1^{(k)},x_2^{(k)},\cdots ,x_n^{(k)})$. 那么, $\{x^{(k)}{\}}_{k⩾1}$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ 中收敛当且仅当它的每个分量都是收敛的实数数列, 即对任意的 $i=1,2,\cdots ,n$, $\{x_i^{(k)}{\}}_{k⩾1}$ 在 $\mathbb{R}$ 中收敛. (你在作业中只需要对 $n=2$ 证明即可)
A4)	(复数数列的四则运算) 假设 $\{z_n{\}}_{n⩾1}$ 和 $\{w_n{\}}_{n⩾1}$ 是两个收敛的复数的数列. 证明 (你在作业中只需要证明第三条即可) , ∘ 数列 $\{z_n\pm w_n{\}}_{n⩾1}$ 收敛并且 $\underset{n\to \infty }{\lim }(z_n\pm w_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }{z}_n\pm \underset{n\to \infty }{\lim }{w}_n$; ∘ $\{z_n\cdot w_n{\}}_{n⩾1}$ 收敛并且 $\underset{n\to \infty }{\lim }(z_n\cdot w_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }{z}_n\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }{w}_n$; ∘ 如果 $\underset{n\to \infty }{\lim }{w}_n\ne 0$, 那么数列 $\{\frac{z_n}{w_n}{\}}_{n⩾N}$ 收敛 ($\underset{n\to \infty }{\lim }{w}_n\ne 0$ 表明存在 $N$, 使得当 $n⩾N$ 时, $w_n\ne 0$) 并且 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{z_n}{w_n}=\frac{\underset{n\to \infty }{\lim }{z}_n}{\underset{n\to \infty }{\lim }{w}_n}$.
A5)	假设 $\{a_n{\}}_{n⩾1}$ 是递减的正实数的数列并且 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$. 证明, 级数$$a_1-a_2+a_3-a_4+\cdots +(-1{)}^{n-1}{a}_n+\cdots$$是收敛的.
A6)	$\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k$ 是复数项的级数. 如果 $\sum _{k=0}^{\infty }|a_k|$ 收敛, 证明, $\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k$ 也收敛, 其中 $|\cdot |$ 是取复数的模长.
A7)	证明, 我们可以在 $\mathbb{C}$ 上定义指数函数: $$\exp :\mathbb{C}\to \mathbb{C},z\mapsto \exp (z)=e^z=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{z^k}{k!}.$$
A8)	$\{a_n{\}}_{n⩾1}$ 是复数的数列, 我们假设对任意的 $n$, $a_n\ne 0$. 令 $P_n=a_1\cdot a_2\cdot \cdots \cdot a_n$, 如果数列 $\{P_n{\}}_{n⩾1}$ 的极限存在并且该极限不是 $0$, 我们就称无限乘积 $\prod _{n⩾1}{a}_n$ 收敛并且记 $\prod _{n⩾1}{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_n$. 证明 Cauchy 判别准则: $\prod _{n⩾1}{a}_n$ 收敛当且仅当对任意的 $\epsilon >0$, 存在 $N$, 使得对任意的 $n⩾N$, 任意的 $p⩾0$, 我们都有$$|a_n\cdot a_{n+1}\cdot \cdots \cdot a_{n+p}-1|<\epsilon .$$
A9)	证明, 函数 $\exp (x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上是严格递增的.
A10)	(基本的增长速度比较, 记住) 假设 $P(X)$ 是一个 $n$ 次多项式 (实数系数) , $Q(X)$ 是一个 $m$ 次多项式 (实数系数) , $m>n$, 证明: $$\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{P(k)}{Q(k)}=0,\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{Q(k)}{e^k}=0.$$

习题 B: 极限的计算

计算下面的极限 (包含发散的情形) : $$\begin{array}{rlrlrl}& (1)\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n+10}{2n-1}& & (2)\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{n}+10}{2\sqrt{n}-1}& & (3)\underset{n\to \infty }{\lim }0.\underset{n\text{个}}{\underbrace{999\cdots 99}}\\ & (4)\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n(n+3)}& & (5)\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\cos (n)}{n}& & (6)\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2^n}{n!}\\ & (7)\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n!}{n^n}& & (8)\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n+10}-\sqrt{n+1}& & (9)\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+2+\cdots +n}{n^2}\\ & (10)\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1^2+2^2+\cdots +n^2}{n^3}& & (11)\underset{n\to \infty }{\lim }{a}^{\frac{1}{n}},\text{其中}a>0& & (12)\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^{10000}}{a^n},\text{其中}a>1\\ & (13)\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2^n+n}{3^n+n^2}& & (14)\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3^n+2^n}{3^n+n^2}& & (15)\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\\ & (16)\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^{10000}}{a^n},\text{其中}a>1,& & (17)\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{1}{n}\right)}^n& & (18)\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{1}{5n}\right)}^{n+2019}\\ & (19)\underset{n\to \infty }{\lim }(n^3+n^2+9n+1{)}^{\frac{1}{n}}& & (20)\underset{n\to \infty }{\lim }(2018^n+2019^n{)}^{\frac{1}{n}}& & \end{array}$$

习题 C: Riemann 重排定理

Riemann 证明下面有趣的定理: 如果实数项级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛但不绝对收敛, 那么可以将级数重新排列, 使得重排后的级数可以收敛到任意事先指定的 $\alpha \in \mathbb{R}\cup \{-\infty ,+\infty \}$. 假设 $\phi :{\mathbb{Z}}_{⩾1}\to {\mathbb{Z}}_{⩾1}$ 是正整数到自身的双射, 令 $b_k=a_{\phi (k)}$, 序列 $\{b_k{\}}_{k⩾1}$ 被称为是 $\{a_n{\}}_{n⩾1}$ 的一个重排, 级数 $\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k$ 被称为是级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ 的一个重排.

我们将 $\{a_n{\}}_{n⩾1}$ 中的非负项 ($⩾0$) 的全体按照它们在 $\{a_n{\}}_{n⩾1}$ 中的先后次序排列得到序列 $c_1,c_2,c_3,\cdots$; 类似地, 将 $\{a_n{\}}_{n⩾1}$ 中的负项 ($<0$) 按原顺序排列得到序列 $d_1,d_2,d_3,\cdots$.

C1)	证明, $\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n=0$, $\underset{n\to \infty }{\lim }{d}_n=0$.
C2)	证明, $\sum _{n=1}^{\infty }{c}_n=+\infty$, $\sum _{n=1}^{\infty }{d}_n=-\infty$.
C3)	证明: 对任意 $\alpha \in \mathbb{R}$, 存在级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ 的一个重排 $\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k$, 使得 $\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k=\alpha$.
C4)	证明: 存在级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ 的一个重排 $\sum _{k=1}^{\infty }{x}_k$, 使得 $\sum _{k=1}^{\infty }{x}_k=+\infty$.

习题 D: Cesàro 求和极限

设 $\{a_n{\}}_{n⩾1}$ 为实数序列, 我们定义算数平均值序列 ${\sigma }_n=\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}$, 其中 $n=1,2,3,\cdots$.

D1)	假设 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a$. 证明, $\underset{n\to \infty }{\lim }{\sigma }_n=a$.
D2)	构造一个不收敛的序列 $\{a_n{\}}_{n⩾1}$, 使得 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\sigma }_n=0$.
D3)	是否存在序列 $\{a_n{\}}_{n⩾1}$, 使得对任意 $n⩾1$, 都有 $a_n>0$ 并且 $\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{a}_n=\infty$ 然而 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\sigma }_n=0$?
D4)	对 $k⩾1$, 记 $b_k=a_{k+1}-a_k$. 证明, 对任意的 $n⩾2$, 都有 $a_n-{\sigma }_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n-1}k{b}_k$.
D5)	设 $\underset{k\to \infty }{\lim }k{b}_k=0$ 并且 $\{{\sigma }_n{\}}_{n⩾1}$ 收敛. 证明, $\{a_n\}$ 也收敛. 注意, 这是 1) 在条件 $n|a_{n+1}-a_n|\to 0$ 这一额外条件下的逆命题.
D6)	把 5) 的条件减弱为: $\{k{b}_k{\}}_{k⩾1}$ 是有界的并且 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\sigma }_n=\sigma$. 证明, $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\sigma$.

课后补充

习题 E: $\sqrt[n]{x}$ 和 $b^x$ 的定义

这个问题的目表是在 $\mathbb{R}$ 上定义初等函数 $\sqrt[n]{x}$ 和 $b^x$, 比如说我们自然希望定义 $\sqrt[n]{x}$ 为满足 $y^n=x$ 唯一的正实数.

E1)	给定正整数 $n$ 和实数 $x>0$, 证明: 如果正实数 $y_1$ 和 $y_2$ 满足 $y_1^n=x=y_2^n$, 那么 $y_1=y_2$.
E2)	证明, 如果 $x>0$, 那么集合 $E(x)=\{t\in \mathbb{R}\mid t^n<x\}$ 是非空的并且有上界.
E3)	证明, $y=\sup E(x)$ 满足 $y^n=x$ 并且 $y>0$.
E4)	证明, 映射 $\sqrt[n]{\cdot }:{\mathbb{R}}_{>0}\to {\mathbb{R}}_{>0},x\mapsto \sqrt[n]{x}=y$ 是良好定义的. 我们也记 $\sqrt[n]{x}$ 为 $x^{\frac{1}{n}}$.
E5)	证明, $\sqrt[n]{\cdot }:{\mathbb{R}}_{>0}\to {\mathbb{R}}_{>0}$ 是双射.
E6)	$a,b$ 是正实数, $n$ 为正整数. 证明, $(ab{)}^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{1}{n}}{b}^{\frac{1}{n}}$. 在接下来的问题里, 我们给定实数 $b>1$ 来定义以 $b$ 为底的指数函数 $x\mapsto b^x$.
E7)	设 $m,n,p,q\in \mathbb{Z}$, 其中 $n>0$, $q>0$. 令 $r=\frac{m}{n}=\frac{p}{q}$ 为有理数 $r$ 的两种表示. 证明: $$(b^m{)}^{\frac{1}{n}}=(b^p{)}^{\frac{1}{q}}.$$
E8)	证明, 对任意的有理数 $r$, 函数 $r\mapsto b^r$ 是良好定义的.
E9)	证明, 对任意的有理数 $r,s$, 我们有 $b^{r+s}=b^r{b}^s$.
E10)	对于 $x\in \mathbb{R}$, 令 $B(x)=\{b^t\mid t\in \mathbb{Q},t⩽x\}$. 证明, $B(x)$ 非空且有上界. 我们定义 $b^x=\sup B(x)$, 这就定义了映射 $x\mapsto b^x$.
E11)	证明, 如果 $r$ 是有理数, 那么$$b^r=\sup B(r),\forall r\in \mathbb{Q}.$$我们定义的指数映射在 $r\in \mathbb{Q}$ 时和之前是一致的.
E12)	证明, E11) 中定义的映射满足, 对任意的 $x,y\in \mathbb{R}$, 都有 $b^{x+y}=b^x{b}^y$.
E13*)	证明, 当 $b=e$ 时, 这样定义的函数和课程中定义的 $e^x$ 是一致的.

习题 F: 根式的逼近

给定正实数 $\alpha$ 和初始值 $x_1>\sqrt{\alpha }$, 我们归纳地定义序列 $\{x_n{\}}_{n⩾1}$: $$x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{\alpha }{x_n}\right),n=1,2,\cdots .\text{\hspace{1em}(A1)}$$(1)

F1)	证明, $\{x_n{\}}_{n⩾1}$ 是递减的并且 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\sqrt{\alpha }$ (在问题 E 中已经定义) . 这表明, 从任意大于 $\sqrt{\alpha }$ 的初值出发, 可用上述迭代公式近似地计算 (逼近) $\sqrt{\alpha }$.
F2)	定义逼近的误差项 ${\epsilon }_n=x_n-\sqrt{\alpha }$. 证明, ${\epsilon }_{n+1}=\frac{{\epsilon }_n^2}{2x_n}<\frac{{\epsilon }_n^2}{2\sqrt{\alpha }}$.
F3)	证明, 如果 $\beta =2\sqrt{\alpha }$, 那么 ${\epsilon }_{n+1}<\beta {\left(\frac{{\epsilon }_1}{\beta }\right)}^{2^n}$. 这表明, 迭代公式 (A1) 收敛速度非常快.
F4)	设 $\alpha =3$, $x_1=2$, 验证 $\frac{{\epsilon }_1}{\beta }<0.1$, 继而 ${\epsilon }_5<4\cdot 10^{-16}$, ${\epsilon }_6<4\cdot 10^{-32}$.
F5)	试用纸和笔, 计算 $\sqrt{3}$ 的精确到小数点 5 位的近似值.

接下来, 我们换另外一个迭代公式. 固定 $\alpha >1$ 和 $y_1>\sqrt{\alpha }$, 我们归纳地定义$$y_{n+1}=\frac{\alpha +y_n}{1+y_n}=y_n+\frac{\alpha -y_n^2}{1+y_n}，n=1,2,\cdots \text{\hspace{1em}(A2)}$$(2)

F6)	证明, $\{y_{2k-1}{\}}_{k⩾1}$ 为递减序列.
F7)	证明, $\{y_{2k}{\}}_{k⩾1}$ 为递增序列.
F8)	证明, $\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=\sqrt{\alpha }$.
F9)	试讨论迭代公式 (A2) 逼近 $\sqrt{\alpha }$ 的收敛速度并与 (A1) 的比较.

思考题 (不交作业)

问题 G: Banach-Mazur

老王和王老饭后玩一个 $\mathbb{R}$ 上的区间套游戏决定谁来付饭钱: 老王先选取一个闭区间 $W_1$, 然后王老选一个 $W_1$ 的子区间 $L_1$, 但是要求 $L_1$ 的长度不能超过 $W_1$ 的一半; 然后老王再选一个 $L_1$ 的子区间 $W_2$, 又轮到王老再选一个 $W_2$ 的子区间 $L_2$, 同样要求 $L_2$ 的长度不超过 $W_2$ 的一半; 如此下去, 第 $n$ 步, 老王选一个 $L_{n-1}$ 的子区间 $W_n$, 又轮到王老再选一个 $W_n$ 的子区间 $L_n$, 但是要求 $L_n$ 的长度不超过 $W_n$ 的一半. 他们两个人得到一个区间套: $$W_1\supset L_1\supset W_2\supset L_2\supset \cdots \supset W_n\supset L_n\supset \cdots .$$老王和王老发现 $\bigcap _{n⩾1}{W}_n=\bigcap _{n⩾1}{L}_n=\{x\}$ 是一个实数. 他们规定, 如果 $x$ 是有理数那么老王赢, 如果 $x$ 是无理数就是王老赢, 试问最后谁会付钱?

问题 H

考虑数列的集合 $\mathcal{P}=\{\{p_n{\}}_{n⩾1}|p_n\in \mathbb{Z},p_1⩾2,p_{n+1}⩾(p_n{)}^2\}$.

H1)	对任意 $p=\{p_n{\}}_{n⩾1}\in \mathcal{P}$, 我们定义数列$$a_n=\prod _{k=1}^n(1+\frac{1}{p_n}).$$证明, $a_n$ 有极限 (记 $f(p)=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$) 并且 $f(p)\in (1,2]$.
H2)	证明, $f:\mathcal{P}\to (1,2]$ 是双射.
H3)	证明, $\mathcal{P}$ 是不可数的.

问题 I: 二进制展开

考虑数列的集合 $\mathcal{S}=\{\{s_n{\}}_{n⩾0}|s_n\in \{-1,1\}\}$.

I1)	对任意 $s=\{s_n{\}}_{n⩾0}\in \mathcal{S}$, 我们定义数列$$c_n=\sum _{k=0}^n\frac{s_0{s}_1\cdots s_k}{2^k}.$$证明, $c_n$ 有极限 (记 $h(s)=\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n$) 并且 $h(s)\in [-2,2]$.
I2)	证明, $h:\mathcal{S}\to [-2,2]$ 是满射. 请问这是单射么?
I3)	对于 $s=\{s_n{\}}_{n⩾0}\in \mathcal{S}$, 证明, $$2\sin \left(\frac{\pi }{4}{c}_n\right)=s_0\sqrt{2+s_1\sqrt{2+s_2\sqrt{2+\cdots +s_{n-1}\sqrt{2+s_n}}}}$$
I4)	计算极限$$\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{n\text{个}2}{\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots +\sqrt{2}}}}}}.$$

问题 J*

$k⩾2$ 是一个给定的正整数. 数列由如下的方式归纳地定义: $$a_0>0\text{预先给定},a_{n+1}=a_n+\frac{1}{\sqrt[k]{a_n}},n⩾0.$$证明, $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(a_n{)}^{k+1}}{n^k}$ 存在并计算它的值.