8. 函数的连续性

函数的连续性

在开始讨论函数之前, 我们先澄清和回忆几个概念:

•	当谈论一个函数 $f$ 的时候, 我们坚持原则: 要说清楚 $f$ 是定义在哪里又是在哪里取值的, 即我们用映射 $f:X\to Y$ 的观点来看函数 $f$, 通常用的 $f(x)$ 不是一个好的记号.
•	给定两个函数 $f:X\to \mathbb{R}$ 和 $g:X\to \mathbb{R}$ (或者 $\mathbb{C}$, 或者是其他的赋范线性空间或者距离空间) , 其中 $X$ 是某个空间 (集合) , 那么函数 $f+g$ 指的是映射$$f+g:X\to \mathbb{R},x\mapsto f(x)+g(x).$$类似地, 我们也可以定义函数 $f+g$, $f\cdot g$ 等, 这里不在赘述.
•	如果函数 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 或者 $\mathbb{R}$ 的子集上面定义并且在 $\mathbb{R}$ 中取值, 利用 $\mathbb{R}$ 上的序关系, 我们可以定义单调性, 即递增或者递减的函数, 精确的定义留给同学自己叙述.

函数的连续性有两个等价的定义, 一种用数列的语言的来描述, 一种用所谓的 $\epsilon -\delta$ 语言 (在数学分析中, $\epsilon$ 和 $\delta$ 通常代表两个很小 (任意小) 的正数) .

定义 8.1 (函数的左右极限, 左右连续性和连续性; 数列的语言). 假设 $a<b$ 是实数, $I=(a,b)\subset \mathbb{R}$ 是开区间, $x_0\in I$.

1)

给定函数 $f:(a,x_0)\cup (x_0,b)\to \mathbb{R}$. 如果存在 $y_0\in \mathbb{R}$, 使得对任意的序列 $\{x_n^{-}{\}}_{n⩾1}\subset (a,x_0)$, $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n^{-}=x_0$, 都有 $\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n^{-})=y_0$, 我们就称 $f$ 在 $x_0$ 处有左极限 $y_0$, 并记作 $\underset{x\to x_0{}^{-}}{\lim }f(x)=y_0$. (我们注意到 $y_0$ 不依赖于序列 $\{x_n^{-}{\}}_{n⩾1}$ 的选取) 类似地, 如果存在 $y_0\in \mathbb{R}$, 使得对任意的序列 $\{x_n^{+}{\}}_{n⩾1}\subset (x_0,b)$, $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n^{+}=x_0$, 都有 $\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n^{+})=y_0$, 我们就称 $f$ 在 $x_0$ 处有右极限 $y_0$, 并记作 $\underset{x\to x_0{}^{+}}{\lim }f(x)=y_0$. 如果存在 $y_0\in \mathbb{R}$, 使得对任意的序列 $\{x_n{\}}_{n⩾1}\subset (a,x_0)\cup (x_0,b)$, $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x_0$, 都有 $\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=y_0$, 我们就称 $f$ 在 $x_0$ 处有极限 $y_0$, 并记作 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=y_0$.

2)

给定函数 $f:I\to \mathbb{R}$. 如果对任意的序列 $\{x_n{\}}_{n⩾1}\subset I$, $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x_0$, 都有 $\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=f(x_0)$, 我们就称 $f$ 在 $x_0$ 处连续. 如果 $f$ 在每个 $x_0\in I$ 处都连续, 我们就称 $f$ 是 ($I$ 上的) 连续函数. 如果 $J=[a,b)$, $f:J\to \mathbb{R}$ 在 $a$ 处的右极限存在并且恰好等于 $f(a)$, 我们就称 $f$ 在 $a$ 处连续; 类似地, 我们可以定义在闭区间 $[a,b]$ 的端点处连续的函数进而定义在闭区间上的连续函数.

注记. 我们还可以 “望文生义地” 定义左连续或者右连续的概念: 给定函数 $f:I\to \mathbb{R}$, 如果 $f$ 在 $x_0$ 处有左极限并且左极限为 $f(x_0)$, 那么我们称 $f$ 在 $x_0$ 处是左连续的. 右连续性可以类似定义.

练习.

1)	给定函数 $f:(a,x_0)\cup (x_0,b)\to \mathbb{R}$. 证明, $f$ 在 $x_0$ 有极限当且仅当 $f$ 在 $x_0$ 处的左右极限都存在并且相等.
2)	给定函数 $f:I\to \mathbb{R}$. 证明, $f$ 在 $x_0\in I$ 处连续当且仅当 $f$ 在 $x_0$ 处的即是左连续的也是右连续的.

我们可以用这个练习来熟悉一下连续性的第一种定义, 证明只需要用数列收敛的概念即可.

定义 8.2 (函数的极限和连续性; $\epsilon -\delta$-语言). 假设 $a<b$ 是实数, $I=(a,b)\subset \mathbb{R}$ 是开区间, $x_0\in I$. 考虑在 $I-\{x_0\}$ 上定义的实数 (可以是复数) 值函数 $f$, 即 $f:(a,x_0)\cup (x_0,b)\to \mathbb{R}$, 如果存在 $y_0\in \mathbb{R}$, 使得对任意的 $\epsilon >0$ (我们总是默认 $\epsilon$ 很小) , 存在 $\delta >0$ (通常 $\epsilon$ 总是取的很小) , 使得对任意满足 $|x-x_0|<\delta$ 的 $x$, 都有 $|f(x)-y_0|<\epsilon$, 我们就称 $f$ 在 $x_0$ 处有极限 $y_0$, 并记作 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=y_0$. 如果假设 $f:I\to \mathbb{R}$ 在 $x_0$ 处有极限并且 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$, 我们就称 $f$ 在 $x_0$ 处连续.

注记. 我们类似地可以用 $\epsilon -\delta$ 语言定义左右极限以及左右连续性, 同学们应该自己尝试着来做这一点 (基本是语言的游戏) 或者查阅任何一本数学分析的参考书, 这里不再赘述.

定理 8.3 (Heine). 上述两种连续性的定义是等价的.

证明. 首先, 假设 $f$ 在 $x_0$ 是在 $\epsilon -\delta$ 语言意义下连续的, 我们现在证明, 对任意的 $\{x_n{\}}_{n⩾1}\subset I$, $x_n\to x_0$, 我们都有 $f(x_n)\to f(x_0)$: 事实上, 对任意的 $\epsilon >0$, 根据定义, 存在 $\delta >0$, 使得当 $|x-x_0|<\delta$ 时, 我们有 $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$; 根据 $x_n\to x_0$ 的定义, 对于这个 $\delta$, 存在 $N$, 使得当 $n⩾N$ 时, 我们有 $|x_n-x_0|<\delta$. 所以, 当 $n⩾N$ 时, $|f(x_n)-f(x_0)|<\epsilon$, 从而 $f(x_n)\to f(x_0)$.

反过来, 我们假设 $f$ 在 $x_0$ 在点列语言的意义下是连续的, 即假设对任意的序列 $\{x_n{\}}_{n⩾1}\subset I$, $x_n\to x_0$, 都有 $\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=f(x_0)$. 我们用反证法来证明 $f$ 在 $x_0$ 是在 $\epsilon -\delta$-语言意义下连续的, 即考虑逆否命题: 如果不然, 那么存在某个 $\epsilon >0$, 对任意的 $\delta$, 特别地对于 $\delta =\frac{1}{n}$, 存在 $|x_n-x_0|<\frac{1}{n}$, 使得 $|f(x_n)-f(x_0)|⩾\epsilon$. 这样, 我们就得到一个序列 $\{x_n\}$, 使得 $x_n\to x_0$ 但是 $f(x_n)\nrightarrow f(x_0)$, 矛盾.

$\square$

另外, 关于函数在一点处的极限的存在性也有 $\epsilon -\delta$ 版本的 Cauchy 判别准则:

定理 8.4 (Cauchy 判别准则). 给定函数 $f:(a,x_0)\cup (x_0,b)\to \mathbb{R}$. 那么, $f$ 在 $x_0$ 处有极限当且仅当对任意的 $\epsilon >0$, 存在 $\delta >0$, 使得对任意的 $x_1,x_2\in (x_0-\delta ,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta )$, 都有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$.

证明. 证明是例行公事, 只需要利用定义! 我们将它留作本次的作业题之一.

$\square$

注记. 我们还可以模拟上面的定义来定义函数 $f$ 在 $x\to \pm \infty$ 时的极限: 给定函数 $f:(a,+\infty )\to \mathbb{R}$, 如果存在 $y_0\in \mathbb{R}$, 使得对任意的 $\epsilon >0$, 存在 $M>0$, 使得对任意的 $x\in (M,+\infty )$, 都有 $|f(x)-y_0|<\epsilon$, 我们就称 $f$ 在 $+\infty$ 处的极限是 $y_0$, 并记作 $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=y_0$; 类似地可以定义函数在 $-\infty$ 处的极限.

局部和整体的连续性

有了连续函数这个对象, 我们就可以讨论数学 (分析) 中很重要的一个观点:

注记 (局部与整体). 局部, 整体和一个点在连续函数的定义中是要分清楚的:

•	连续性是一个局部的概念: 要搞清楚 $f$ 在 $x_0$ 处是否连续, 只需要对任意小的 $\epsilon$, 理解 $f$ 在 $x_0$ 的一个小邻域 (局部) $(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )$ 上的行为就足够了. 这里, $\epsilon$ 可以任意得小, 但不能是 $0$.
•	关于函数在整个区间 $I$ 上是否连续的是整体的概念, 因为我们需要知道 $f$ 在每个点附近的信息.
•	$f$ 在区间 $I$ 上是否连续这个整体的性质是由局部性质决定的, 即如果 $f$ 在每个局部上连续, 那么在整个区间 $I$ 上就连续. 数学上很多概念都是这样的: 局部决定了整体, 比如说函数如果局部上单调那么整体上就是单调函数; 多项式 (或者解析函数) 是更极端的例子: 根据代数基本定理, 只要知道多项式 $f$ 在一个点附近的值就可以完全确定这个多项式. 当然, 有很多数学对象的局部上完全不能决定整体, 比如说用来描述经典力学的辛几何.
•	连续性是局部的概念但不是一个点处的概念: 只知道函数在一个点 $x_0$ 处的值是完全不可以判定函数在这个点处的连续性的!

通过上面局部与整体的讨论, 我们可以很自然地引出所谓的开覆盖的概念:

1)

(整体连续性意味着局部连续性) 假设 $J\subset I$ 是子区间, 那么, 如果 $f:I\to \mathbb{R}$ 在 $I$ 上连续, 那么 $f$ 在 $J$ 上的限制 $f{|}_J$ 也连续, 其中$$f{|}_J:J\to \mathbb{R},x\mapsto f(x).$$

2)

(局部决定了整体) 假设 $\{I_k{\}}_{k\in K}$ 一族开区间, 其中 $K$ 是指标的集合, 如果 $I\subset \bigcup _{k\in K}{I}_k$, 我们就称开区间族 $\{I_k{\}}_{k\in K}$ 覆盖了 $I$, 我们也说 $\{I_k{\}}_{k\in K}$ 是 $I$ 的一族开覆盖. 假设对每个 $k\in K$, 函数 $f_k$ 在 $I_k$ 上都有定义并且取实数值, 如果任意的 $j,k\in K$, 都有相容性条件: $$f_k{|}_{I_j\cap I_k}=f_j{|}_{I_j\cap I_k},$$那么下面的 $f$ 在 $I$ 上是良好定义的: 由于对任意的 $x\in I$, $x$ 一定属于某个 $I_k$, 我们令 $f(x)=f_k(x)$. 我们来说明 $f(x)$ 的定义不依赖于指标 $k$ 的选取: 如果 $x_0$ 属于另一个 $I_j$, 我们需要说明 $f_j(x)=f_k(x)$, 这是因为 $x\in I_j\cap I_k$, 相容性条件保证了这一点. 通过上面的构造方式, 我们把在局部的小片 $I_k$ 上定义的一族函数粘成了整体定义在 $I$ 上的一个函数. 如果对任意的 $k$, $f_k$ 在 $I_k$ 连续, 那么 $f$ 在 $I$ 上也连续, 这因为对任意的 $x_0\in I$, $x_0$ 一定属于某个 $I_k$, 根据 $f_k$ 在 $I_k$ 上的连续性, $f$ 就在 $x_0$ 处连续, 所以 $f$ 连续.

最简单的连续函数的例子如下 (请验证定义) :

例子.

1)

常值函数 $f(x)=c$ 和 $f(x)=x$ 是连续函数.

2)

指数函数 $e^x$ 是 $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (或 $\mathbb{C}\to \mathbb{C}$) 上的连续函数. 我们用 $\epsilon -\delta$ 语言来证明: 任意选定的 $x_0\in \mathbb{R}$. 对任意的 $\epsilon >0$, 令 $\delta =\min \left(\frac{\epsilon }{2e^{x_0+1}},1\right)$ (这是一个事后诸葛亮的决定) , 当 $|x-x_0|<\delta$ 时, 根据$$e^x-e^{x_0}=e^{x_0}(e^{x-x_0}-1)=e^{x_0}\sum _{k=1}^{\infty }\frac{(x-x_0{)}^k}{k!},$$我们有$$\begin{array}{rl}|e^x-e^{x_0}|& ⩽e^{x_0}\sum _{k=1}^{\infty }\frac{|x-x_0{|}^k}{k!}<e^{x_0}\sum _{k=1}^{\infty }\frac{{\delta }^k}{k!}\\ & =\delta e^{x_0}\sum _{k=1}^{\infty }\frac{{\delta }^{k-1}}{k!}⩽\delta \left(e^{x_0}\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1^{k-1}}{(k-1)!}\right)=\delta e^{x_0+1}<\epsilon .\end{array}$$这表明 $\exp$ 在 $x_0$ 处连续.

连续函数的四则运算

要想构造更多的连续函数, 我们就要利用关于连续函数的代数运算:

命题 8.5 (四则运算与序关系的交换性). 假设实 (复) 值函数 $f$ 和 $g$ 在 $x_0$ 附近定义 (比方说在 $(x_0-\delta ,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta )$ 上定义) $x_0\in I$ 处有极限, 那么

1)	$f\pm g$ 在 $x_0\in I$ 处有极限并且 $\underset{x\to x_0}{\lim }(f\pm g)(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\pm \underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$.
2)	$f\cdot g$ 在 $x_0\in I$ 处有极限并且 $\underset{x\to x_0}{\lim }(f\cdot g)(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\cdot \underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$.
2)	如果在 $x_0$ 附近, $g(x)\ne 0$ 并且 $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)\ne 0$, 那么 $\frac{f}{g}$ 在 $x_0\in I$ 处有极限并且 $\underset{x\to x_0}{\lim }\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)}{\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)}$.
4)	如果对任意的 $x$, 都有 $f(x)⩽g(x)$, 那么 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)⩽\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$.

证明. 连续性的表述有两种, 我们这里选用连续性的数列语言, 从而上面的性质只是数列相应性质的重新表述.

$\square$

推论 8.6 (连续函数的四则运算). 用 $C(I)$ 表示区间 $I$ 上的连续函数的全体所构成的集合, 那么 $(C(I),+,\cdot )$ 是一个环 (连续函数环) , 即对任意的 $f,g\in C(I)$, 我们有 $f\pm g,f\cdot g\in C(I)$. 特别地, $C(I)$ 是 $\mathbb{R}$-线性空间 (用常数函数 $f(x)\equiv c$ 作为数乘) . 另外, 如果对任意 $x\in I$, $g(x)\ne 0$, 那么 $\frac{f}{g}\in C(I)$.

注记. 我们注意到 $(C(I),+,\cdot )$ 与实数 $(\mathbb{R},+,\cdot )$ 有很多相似的地方 (代数结构) . 另外, 除非 $I$ 是一个点, $C(I)$ 是无限维的 $\mathbb{R}$-线性空间, 我们把证明留成做本次的作业.

推论 8.7 (绝对值). 如果 $f\in C(I)$, 那么 $|f|\in C(I)$, 其中 $|f|:I\to {\mathbb{R}}_{⩾0},x\mapsto |f(x)|$.

证明. 利用连续性的数列的描述立得.

$\square$

定理 8.8 (函数的复合). 给定 $f\in C(I;J)$ (即 $f:I\to \mathbb{R}$ 是连续函数并且 $f$ 的值域落在区间 $J$ 中) 和 $g\in C(J)$, 那么复合函数 $(g\circ f)(x)=g(f(x))\in C(I)$.

证明. 我们利用数列的语言来证明, 即证明当 $n\to \infty$ 时, 对任意的 $x_n\to x_0$, 我们有 $(g\circ f)(x_n)=g(f(x_n))\to g(f(x_0))$. 令 $y_n=f(x_n)\in J$, 其中 $n⩾0$, 由于 $f$ 在 $x_0$ 处连续, 所以 $y_n\to y_0$; 由于 $g$ 在 $y_0$ 处连续, 所以 $g(y_n)\to g(y_0)$, 这就是要证明的结论.

$\square$

注记. 利用数列的语言进行证明是最直接最简单的, 然而我们后来会意识到简单干净的证明可能未必是最好的.

利用上述四则运算以及函数的复合, 我们可以构造一大类的连续函数:

例子. 假设 $I\subset \mathbb{R}$ 是一个给定的非空的区间, 其中 $|I|\ne 0$, 即它不是一个点. 那么

1)	对任意的多项式 $P\in \mathbb{R}[X]$, 即 $P(X)=a_d{X}^d+a_{d-1}{X}^{d-1}+\cdots +a_0$, 其中 $a_i\in \mathbb{R}$, $0⩽i⩽d$, $a_d\ne 0$, $d$ 是它的次数 (我们要强调多项式 $\ne$ 多项式函数) , 我们可以将 $P$ 视作是 $I$ 上的函数, 即对任意的 $x\in I$, 我们令 $P(x)=a_d{x}^d+a_{d-1}{x}^{d-1}+\cdots +a_0$. 那么, 多项式函数 $P\in C(I)$. 另外, 如果 $Q\ne P\in \mathbb{R}[X]$ 是另一个多项式, 那么在 $C(I)$ 中, 作为函数 $Q\ne P$. 在这个意义下, 我们可以将多项式的全体 $\mathbb{R}[X]$ 视作是连续函数的子空间, 即有单射映射 $\iota :\mathbb{R}[X]\hookrightarrow C(I)$ 并且这个映射保持两边的四则运算 (环结构) : 比如说, 如果我们用 $\bullet$ 表示多项式的乘法, 那么 $\iota (P\bullet Q)=\iota (P)\cdot \iota (Q)$, 其中此式右边的乘法是函数的乘法.
2)	如果多项式 $Q$ 在 $I$ 上没有零点, 那么有理函数 $\frac{P(x)}{Q(x)}\in C(I)$.
3)	三角函数 $\sin (x)$ 和 $\cos (x)$ 是连续函数, 此时, 我们隐含的用到了取复数值的指数函数具有连续性这个性质, 我们后面会处理更一般的情况.
4)	利用复合函数保持连续性, 我们知道函数 $e^{x^2}$ 是 $\mathbb{R}$ (或者 $\mathbb{C}$) 上的连续函数.

注记. 不夸张的说, 我们在数学中遇到 (几乎) 一切连续函数都是通过两种手段构造的: 第一, 通过连续函数的复合和四则运算; 第二, 通过逼近的方式, 特别是级数的方式来定义, 比如说 $\exp$ 的构造. 这种逼近的方式是最值得我们注意的, 我们很快会发现, $C(I)$ 这个空间和实数 $\mathbb{R}$ 很相似, 构造无理数就是通过有理数逼近的方式.

更具体一点, 我们会在 $C(I)$ 上面给定一个范数 $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ 并且证明这样得到的赋范线性空间是完备的. 此时, 任给 $f\in C(I)$, 我们可以仿照实数的情况定义$$e^f:=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^k}{n!}.$$在完备的赋范线性空间中, 我们只要全盘照抄实数的情况就可以证明上面的 (函数) 级数收敛, 从而 $e^f$ 是良好定义的并且是连续函数. 特别地, 我们可以通过这种方式定义 $e^x$ (把 $x$ 看成是函数 $f$) 而且说明这和我们最初定义的 $\exp (x)$ 是一码事.

在这种类比下, 我们就可以利用对实数的直观来研究函数空间, 从而得到很多关于函数的深刻结果. 在课程后面的学习中, 我们会遇到很具体的例子, 比方说存在处处连续但是处处都不能微分的函数, 我们就是通过构造函数的级数来实现的.