32. 微分同胚与光滑子流形

微分同胚与坐标变换

给定映射 $f:{\Omega }_1\to {\mathbb{R}}^{n_2}$, 其中开区域 ${\Omega }_1\subset {\mathbb{R}}^{n_1}$, 用坐标分量表示, 我们有$$f=(f_1,f_2,\cdots ,f_{n_2}).$$如果对任意的 $k\in \{1,\cdots ,n_2\}$ 对任意的 $N⩾1$, 对任意的 $N$ 个正整数 $k_1,k_2,\cdots ,k_N\in \{1,2,\cdots ,n_1\}$, 偏导数$$\frac{\partial }{\partial x_{k_N}}\left(\frac{\partial }{\partial x_{k_{N-1}}}\left(\cdots \left(\frac{\partial f_k}{\partial x_{k_1}}\right)\cdots \right)\right)$$都存在并且是连续的, 那么我们就称 $f$ 是光滑的. 如果 $n_2=1$, 我就称之为光滑函数, 并记为 $C^{\infty }({\Omega }_1)$.

练习. 证明以下三个关于光滑函数的基本性质:

1)	$C^{\infty }({\Omega }_1)$ 是一个 $\mathbb{R}$-代数, 即对任意的 $f,g\in C^{\infty }({\Omega }_1)$, 它们的任意实线性组合以及乘积都是光滑函数.
2)	假设 $f\in C^{\infty }({\Omega }_1)$. 如果对任意的 $x\in \Omega$, $f(x)\ne 0$, 那么 $\frac{1}{f}$ 也是光滑函数.
3)	证明, 对任意的 $i\in \{1,2,\cdots ,n_1\}$, 对任意的 $f\in C^{\infty }({\Omega }_1)$, 有 $\frac{\partial f}{\partial x_i}\in C^{\infty }({\Omega }_1)$.

对于两个开区域 ${\Omega }_1\subset {\mathbb{R}}^{n_1}$ 和 ${\Omega }_2\subset {\mathbb{R}}^{n_2}$, 如果存在双射映射 $f:{\Omega }_1\to {\Omega }_2$, 使得$$f:{\Omega }_1\to {\Omega }_2,f^{-1}:{\Omega }_2\to {\Omega }_1$$都是光滑的, 我们就称 ${\Omega }_1$ 和 ${\Omega }_2$ 是微分同胚的 (光滑同胚) .

我们把 ${\Omega }_1$ 到 ${\Omega }_2$ 之间的光滑映射的全体记作是 $C^{\infty }({\Omega }_1,{\Omega }_2)$. 当然, 光滑的映射不见得是光滑的同胚.

例子. 考虑如下映射$$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^3.$$很明显, $f$ 是光滑的并且是双射. 但是 $f^{-1}(y)=\sqrt[3]{y}$ 不是光滑的.

根据上次课逆映射微分的命题, 我们一定有 $n_1=n_2$ (维数相同) .

注记.

1)	微分同胚是两个区域的一种等价性, 这个等价性是用光滑的双射定义的. 一个好的类比是研究线性空间: 两个线性空间之间等价指的是用线性的双射定义的线性同构.
2)	两个区域微分同胚, 但是上述的映射 $f$ 不一定唯一. 比如说, 令 ${\Omega }_1={\Omega }_2={\mathbb{R}}^n$, 任意一个可逆的线性映射都可以被选作 $f$.

有了微分同胚这个概念, 我们可以讨论坐标变换. 考虑两个开区域 ${\Omega }_1\subset {\mathbb{R}}^{n_1}$ 和 ${\Omega }_2\subset {\mathbb{R}}^{n_2}$, 其中 $n_1=n_2=n$ (为了区别起见) . 我们在第一个 ${\mathbb{R}}^{n_1}$ 上面用 $(x_1,\cdots ,x_n)$ 作为坐标系, 在第二个 ${\mathbb{R}}^{n_2}$ 上面用 $(y_1,\cdots ,y_n)$ 作为坐标系, 假设存在光滑的同胚: $$\Phi :{\Omega }_1\to {\Omega }_2.$$我们认为通过 $\Phi$ 这个映射可以用 ${\Omega }_1$ 上的点来参数化 ${\Omega }_2$ 上的点: 用 $(x_1,\cdots ,x_n)$ 这个坐标系统也可以描述 ${\Omega }_2$ 上的点. 比如说, 给定坐标 $(x_1,\cdots ,x_n)$, 它对应的 ${\Omega }_2$ 中的点是 $\Phi (x_1,\cdots ,x_2)$; 根据双射的性质, 对任意的 $p\in {\Omega }_2$, 我们总能找到 $(x_1,\cdots ,x_n)\in {\Omega }_1$, 使得 $\Phi (x_1,\cdots ,x_n)=p$. 所以, 我们有两种不同的方式描述 ${\Omega }_2$ 上的同一个点 $p\in {\Omega }_2$:

•	第一种方式是 $p$ 的 $y_i$-坐标 $(y_1(p),\cdots ,y_n(p))$;
•	第二种是 $f^{-1}(p)$ 的 $x_i$-坐标 $(x_1({\Phi }^{-1}(p)),\cdots ,x_n({\Phi }^{-1}(p)))$.

我们强调之前所谈论的坐标函数的含义: $x_i$ 和 $y_i$ 分别视作是 ${\Omega }_1$ 和 ${\Omega }_2$ 上的函数.

所以, 给定了 $(x_1,\cdots ,x_n)$ 来描述 $p\in {\Omega }_2$, 它所对应的 $(y_1,\cdots ,y_n)$ 的坐标应该是$$({\Phi }_1(x_1,\cdots ,x_n),\cdots ,{\Phi }_n(x_1,\cdots ,x_n)).$$很多文献习惯上将这个写成 $(y_1(x_1,\cdots ,x_n),\cdots ,y_n(x_1,\cdots ,x_n))$.

同学们也许会发现, 上面这段讨论实际上根本没有用到 $\Phi$ 和 ${\Phi }^{-1}$ 是光滑的, 只需要 $\Phi$ 是双射就好: 实际上, 光滑性保证了光滑函数的拉回还是光滑的. 当给定了 ${\Omega }_2$ 上的一个函数 $f:{\Omega }_2\to \mathbb{R}$, 通过复合映射, 我们可以将它看作是 ${\Omega }_1$ 的函数, 我们通常将它记作 ${\Phi }^{\ast }f=f\circ \Phi$ (称作是 $f$ 被 $\Phi$ 的拉回) , 下面的交换图表给出了拉回的定义:

引理 32.1. 假设 $f\in C^{\infty }({\Omega }_2)$ (即 $f$ 是 ${\Omega }_2$ 上的光滑函数) , 那么 ${\Phi }^{\ast }f\in C^{\infty }({\Omega }_1)$.

证明. 我们只需证明对任意的 ${\Omega }_2$ 上的光滑函数, 对任意的 $N$, ${\Phi }^{\ast }f$ 的各阶偏导数$$\frac{\partial }{\partial x_{k_N}}\left(\frac{\partial }{\partial x_{k_{N-1}}}\left(\cdots \left(\frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial x_{k_1}}\right)\cdots \right)\right)$$都存在且连续即可. 对所求的偏导数的次数 $N$ 进行归纳. 如果 $N=0$, 由于 $\Phi$ 是连续映射, 根据连续映射的复合仍然连续, 我们知道此时 ${\Phi }^{\ast }f$ 是连续的. 假设对任意的 $f$, ${\Phi }^{\ast }f$ 的连续 $N$ 次的偏导数存在且连续, 那么根据链式法则, 我们知道$$\frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial x_i}{|}_{x=x_0}=\sum _{k=1}^n\frac{\partial {\Phi }^k}{\partial x^i}(x_0)\frac{\partial f}{\partial y_k}(\Phi (x_0))=\sum _{k=1}^n\frac{\partial {\Phi }^k}{\partial x^i}\cdot \left({\Phi }^{\ast }\frac{\partial f}{\partial y_k}\right){|}_{x=x_0}.$$此时, 每一个 $\frac{\partial {\Phi }^k}{\partial x^i}$ 都是光滑函数, 对 $\frac{\partial f}{\partial y_k}$ 利用归纳假设 (这是那个被拉回的函数) , 对上述函数再求 $N$ 次偏导数也连续, 所以命题成立.

$\square$

注记. 上面的证明仅仅用到了 $\Phi$ 的光滑性, 换句话说, 我们证明了如下的命题, 如果 $f$ 是光滑函数, $\Phi$ 是光滑映射, 那么它们的复合 $f\circ \Phi$ 是光滑函数, 其中, 我们假设 $f:{\Omega }_2\to \mathbb{R}$, $\Phi :{\Omega }_1\to {\Omega }_2$.

最终, 我们考虑常见的但是容易产生混淆的一种情形: 我们假设有两个坐标系统 $(x_i)$ 和 $(y_i)$ 来描述 $\Omega$ 中的点. 此时, 我们把每一个坐标函数都理解为 $\Omega$ 上的函数, 那么, 如果用第一个坐标系统来描述第二个坐标系统的坐标函数, 我们就可以写成$$y_1=y_1(x_1,\cdots ,x_n),\cdots ,y_n=y_n(x_1,\cdots ,x_n).$$反过来, 我们可以用第二个坐标系统来描述第一个坐标系统的坐标函数: $$x_1=x_1(y_1,\cdots ,y_n),\cdots ,x_n=x_n(y_1,\cdots ,y_n).$$假设 $f:\Omega \to \mathbb{R}$ 是 $\Omega$ 上的函数. 通过利用不同的坐标, 我们可以将 $f$ 写成 $f(x_1,\cdots ,x_n)$ 或者 $f(y_1,\cdots ,y_n)$. 如此用变量来写函数很容易产生混乱. 当然, 如果 $f$ 是用第二个坐标系统写的, 即 $f(y_1,\cdots ,y_n)$, 我们所说的 $f(x_1,\cdots ,x_n)$ 应该是$$f(x_1,\cdots ,x_n)=f(y_1(x_1,\cdots ,x_n),\cdots ,y_n(x_1,\cdots ,x_n)).$$事实上, 我们应该将 ${\Omega }_1=\Omega$ 和 ${\Omega }_2=\Omega$ 区分开, 在 ${\Omega }_1\subset {\mathbb{R}}^{n_1}$ 中我们用 $(x_i)$ 作为坐标, 在 ${\Omega }_2\subset {\mathbb{R}}^{n_2}$ 中我们用 $(y_i)$ 作为坐标, 其中 $n_1=n_2=n$. 我们考虑映射$$\Phi :{\Omega }_1\to {\Omega }_2,(x_1,\cdots ,x_n)\mapsto (y_1(x_1,\cdots ,x_n),\cdots ,y_n(x_1,\cdots ,x_n)).$$它的逆映射就是$${\Phi }^{-1}:{\Omega }_2\to {\Omega }_1,(y_1,\cdots ,y_n)\mapsto (x_1(y_1,\cdots ,y_n),\cdots ,x_n(y_1,\cdots ,y_n)).$$此时, 上面谈到的函数 $f$ 是 ${\Omega }_2$ 上的函数.

另外 $f$ 的偏导数 (或者微分) 也可以用 $(x_i)$ 来表达, 这就是说要计算 $f\circ \Phi$ 的偏导数 (用 $(y_i)$ 坐标来算, 就是 $\frac{\partial f}{\partial y_i}$) .

练习 (重要). 利用链式法则证明: $$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\sum _{j=1}^n\frac{\partial y_j}{\partial x_i}(x_1,\cdots ,x_n)\frac{\partial f}{\partial y_j}(y_1(x_1,\cdots ,x_n),\cdots ,y_n(x_1,\cdots ,x_n)).$$

据此可知, 由偏导数的定义是依赖于坐标系的选取的. 特别地, 在不同的坐标系之间它们的差别由坐标变换 (即上述的 $\Phi$) 的 Jacobi 矩阵决定.

注记. 偏导数的定义不是内蕴的, 它依赖于具体坐标系的选取. 然而, 微分 $df$ (按定义) 不依赖于坐标系统的选取, 是内蕴的.

我们现在回到学习的主线上来. 我们现在证明偏导数运算具有可交换性 (这个定理的几何表述是函数的 Hasse 算子是对称的) :

定理 32.2 (Clairaut-Schwarz). 给定 ${\mathbb{R}}^n$ 上的开集 $\Omega$ ($n⩾2$) 和函数 $f:\Omega \to \mathbb{R}$ 是函数, $i,j\in \{1,2,\cdots ,n\}$ 是两个不同的指标. 假设在 $\Omega$ 上, 函数 $\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)$, $\frac{\partial f}{\partial x_j}(x)$ 和 $\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{\partial f}{\partial x_j}\right)(x)$ 存在并且连续. 那么, $\frac{\partial }{\partial x_j}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)(x)$ 也存在并且对任意的 $x\in \Omega$, 我们有$$\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{\partial f}{\partial x_j}\right)(x)=\frac{\partial }{\partial x_j}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)(x).$$

为了证明这个命题, 我们从一个引理开始:

引理 32.3. 假设函数 $f:{\mathbb{R}}^2-\{(0,0)\}\to \mathbb{R}$ 在 $(0,0)\in {\mathbb{R}}^2$ 处的极限 $\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)$ 存在. 如果存在 ${\epsilon }_0>0$, 使得对于任意给定的 $y_0\in (-{\epsilon }_0,{\epsilon }_0)$, 极限 $\underset{x\to 0}{\lim }f(x,y_0)$ 都存在. 那么, 极限 $\underset{y\to 0}{\lim }(\underset{x\to 0}{\lim }f(x,y))$ 存在并且$$\underset{y\to 0}{\lim }(\underset{x\to 0}{\lim }f(x,y))=\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y).$$

引理的证明. 按照距离空间中函数极限存在的定义, $\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)$ 存在指的是存在 $L$, 使得对任意的 $\epsilon >0$, 存在 $\delta >0$, 当 $\sqrt{x^2+y^2}<\delta$ 时, 有 $|f(x,y)-L|<\epsilon$.

任意固定 $\epsilon >0$. 在上述极限的定义中, 我们现在选取 $\delta$ 使得 $\delta ⩽{\epsilon }_0$. 考虑任意一个 $y$, 其中 $|y|<\delta$. 下面认为 $y$ 是固定的.

那么, 自然有 $x$, 使得 $\sqrt{y^2+x^2}<\delta$. 此时, 我们令 $x\to 0$, 我们就有 (因为 $|y|<{\epsilon }_0$) : $$|\underset{x\to 0}{\lim }f(x,y)-L|⩽\epsilon .$$即对任意的 $\epsilon >0$, 我们找到了 $\delta >0$, 使得对任意的 $|y|<\delta$, 上面的不等式成立. 按照极限的定义, 这就是说 $\underset{y\to 0}{\lim }(\underset{x\to 0}{\lim }f(x,y))$ 存在并且等于 $L$.

$\square$

Clairaut-Schwarz 定理的证明. 不妨假设 $i=1$, $j=2$. 为了简单起见, 我们将函数 $f$ 记为$$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=f(x,y,Z),$$其中 $(x,y)=(x_1,x_2)$, $Z=(x_3,\cdots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^{n-2}$. 对任意的 $h,\ell \in \mathbb{R}$, 定义$$\Delta (h,\ell )=f(x+h,y+\ell ,Z)-f(x+h,y,Z)-f(x,y+\ell ,Z)+f(x,y,Z).$$根据 Lagrange 中值定理, 我们有$$\begin{array}{rl}\frac{\Delta (h,\ell )}{h\ell }& =\frac{1}{h}\left(\frac{f(x+h,y+\ell ,Z)-f(x+h,y,Z)}{\ell }-\frac{f(x,y+\ell ,Z)-f(x,y,Z)}{\ell }\right)\\ & =\frac{1}{h}\left(\frac{\partial f}{\partial y}(x+h,y+{\theta }_1\ell ,Z)-\frac{\partial f}{\partial y}(x,y+{\theta }_2\ell ,Z)\right)\end{array}$$其中 ${\theta }_1,{\theta }_2\in [0,1]$. 当然, 简单地运用中值定理不能保证 ${\theta }_1={\theta }_2$. 为说明基本的想法, 我们先假设 ${\theta }_1={\theta }_2=\theta$. 此时, 根据二阶导数存在, 我们可以继续运用中值定理: $$\begin{array}{rl}\frac{\Delta (h,\ell )}{h\ell }& =\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)(x+{\theta }^{\prime }h,y+\theta \ell ,Z),\end{array}$$其中, ${\theta }^{\prime }\in [0,1]$. 再根据 $\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)$ 的连续性, 我们知道 $\underset{(k,\ell )\to 0}{\lim }\frac{\Delta (h,\ell )}{h\ell }$ 存在.

我们要对函数$${\mathbb{R}}^2-(0,0)\to \mathbb{R},(h,\ell )\to \frac{\Delta (h,\ell )}{h\ell },$$来运用前面的引理. 我们可以先令 $\ell \to 0$, 根据定义, 我们有$$\begin{array}{rl}\underset{h\to 0}{\lim }\left(\underset{\ell \to 0}{\lim }\frac{\Delta (h,\ell )}{h\ell }\right)& =\underset{h\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{h}\left(\frac{f(x+h,y+\ell ,Z)-f(x+h,y,Z)}{\ell }-\frac{f(x,y+\ell ,Z)-f(x,y)}{\ell }\right)\right)\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}\left(\frac{\partial f}{\partial y}(x+h,y,Z)-\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,Z)\right)\\ & =\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)(x,y,Z).\end{array}$$反过来, 我们也可以先令 $h\to 0$. 类似的, 我们得到$$\begin{array}{r}\underset{\ell \to 0}{\lim }\left(\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\Delta (h,\ell )}{h\ell }\right)=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)(x,y,Z).\end{array}$$根据引理, 上面两式子左端的极限是相同的, 这就证明了命题.

最终, 我们解决上述 ${\theta }_1={\theta }_2$ 的技术性问题. 我们把函数写成: $$\begin{array}{rl}\frac{\Delta (h,\ell )}{h\ell }& =\frac{1}{h}\left(\frac{[f(x+h,y+\ell ,Z)-f(x,y+\ell ,Z)]-[f(x+h,y,Z)-f(x,y,Z)]}{\ell }\right).\end{array}$$我们只需要将 $f(x+h,y,Z)-f(x,y,Z)$ 作为整体视作是 $y$ 的函数 (此时, $x,h,Z$ 都是固定的) 来运用 Lagrange 中值定理即可.

$\square$

注记. 基于这个命题, 我们可以引入一个方便的记号来记多重的偏导数: 令 $\alpha =({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)$ 为一个多重指标, 也就是说对于每个 $i⩽n$, 有 ${\alpha }_i\in {\mathbb{Z}}_{⩾0}$, 我们用 ${\partial }^{\alpha }f$ 表示 ${\alpha }_1$ 个 $\frac{\partial }{\partial x_1}$, ${\alpha }_2$ 个 $\frac{\partial }{\partial x_2}$, $\cdots$, ${\alpha }_n$ 个 $\frac{\partial }{\partial x_n}$ 作用在 $f$ 上, 即$${\partial }^{\alpha }f={\left(\frac{\partial }{\partial x_n}\right)}^{{\alpha }_n}\circ {\left(\frac{\partial }{\partial x_{n-1}}\right)}^{{\alpha }_{n-1}}\circ \cdots \circ {\left(\frac{\partial }{\partial x_1}\right)}^{{\alpha }_1}\left(f\right).$$当 $f$ 足够多次连续可微时, 上述命题保证了这些算子的复合不依赖于它们作用的顺序. 我们还令$$|\alpha |={\alpha }_1+\cdots +{\alpha }_n⩽k,$$传统上我们还把上面的多重偏导数 ${\partial }^{\alpha }$ 记作$$\frac{{\partial }^{|\alpha |}}{\partial x_1^{{\alpha }_1}\cdots x_n^{{\alpha }_n}}.$$比如说, 我们经常看到$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2},\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}.$$

例子 (Clairaut-Schwarz 的反例). 如果 Clairaut-Schwarz 定理中的连续性不成立, 那么命题可能并不成立. 考察函数

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0);\\ 0,& (x,y)=(0,0).\end{array}$$那么, 我们有$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{x^{4}y+4x^2{y}^3-y^5}{(x^2+y^2{)}^2}.$$从而, 我们有$$\begin{array}{r}\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)(0,0)=\underset{y\to 0}{\lim }\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(0,y)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{y}=-1.\end{array}$$类似地 (利用对称性) , 我们有$$\begin{array}{r}\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)(0,0)=1.\end{array}$$这表明 Clairaut-Schwarz 定理并不成立. 请思考定理中的哪个条件没有被满足.

多元函数的 Taylor 展开

我们现在来证明高维空间 Lagrange 余项 Taylor 公式, 也就是在一个点附近用高次的多项式函数来逼近函数. 证明的想法很直接: 将问题沿不同的方向化为 1 维的情形. 其余余项的 Taylor 公式证明是类似的.

定理 32.4. 假设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是凸的开集, $f$ 在 $\Omega$ 上 $k+1$ 次可微分 (我们通常要求更多的条件: $f$ 不超过 $k+1$ 阶的偏导数存在并且连续, 这对于应用来说是足够的) . 那么, 对于任意的 $x,y\in \Omega$, 其中 $x=(x_1,\cdots ,x_n)$, $y=(y_1,\cdots ,y_n)$, 存在 $\vartheta \in [0,1]$ (可能依赖于 $x$ 和 $y$) , 使得$$\begin{array}{rl}f(y_1,\cdots ,y_n)& =\sum _{|\alpha |⩽k}\frac{{\partial }^{\alpha }f(x)}{\alpha !}(x-y{)}^{\alpha }+\sum _{|\alpha |=k+1}\frac{{\partial }^{\alpha }f(x+\vartheta (y-x))}{\alpha !}(x-y{)}^{\alpha },\end{array}$$其中, $$(x-y{)}^{\alpha }=(x_1-y_1{)}^{{\alpha }_1}\cdots (x_n-y_n{)}^{{\alpha }_n},\alpha !={\alpha }_1!\cdots {\alpha }_n!.$$

证明. 我们考虑 $x$ 与 $y$ 之间的连线并把函数 $f$ 限制到这条线上. 用分析的语言写, 我们考虑函数$$g:(-\epsilon ,1+\epsilon )\to \mathbb{R},g(t)=f(x+t(y-x)).$$这里用到了 $\Omega$ 的凸性. 我们首先来计算 $g$ 的 $k$-次导数 ($k⩾0$) : $$g^{(k)}(t)=\sum _{|\alpha |=k}\frac{k!}{\alpha !}({\partial }^{\alpha }f)(x+t(y-x))(y-x{)}^{\alpha }.$$这个式子可以用归纳法来证明: $k=0$ 是显然的. 假设$$g^{(k-1)}(t)=\sum _{|\alpha |=k-1}\frac{(k-1)!}{\alpha !}({\partial }^{\alpha }f)(x+t(y-x))(y-x{)}^{\alpha }.$$根据方向导数的性质, 对任意的函数 $f$, 我们有$$\frac{d}{dt}f(x+tv){|}_{t=0}=v^i\frac{\partial f}{\partial x_i}(x).$$所以, $$\begin{array}{rl}{g}^{(k)}(t)& =\sum _{|\alpha |=k-1}\frac{(k-1)!}{\alpha !}[({\partial }^{\alpha }f)(x+t(y-x)){]}^{\prime }(y-x{)}^{\alpha }\\ & =\sum _{|\alpha |=k-1}\frac{(k-1)!}{\alpha !}[\sum _{m=1}^n(y_m-x_m)(\frac{\partial }{\partial x_m}({\partial }^{\alpha }f)\left)\right(x+t(y-x)\left)\right](y-x{)}^{\alpha }\\ & =\sum _{|\beta |=k}\frac{k!}{\beta !}({\partial }^{\beta }f)(x+t(y-x))(y-x{)}^{\beta }.\end{array}$$最后一个等号需要搞清楚如下的组合性质: 为了从前一步的某个 $|\alpha |=k-1$ 得到固定的 $\beta$, 其中 $|\beta |=k$, 有如下 $n$ 中可能性: $${\alpha }_1=({\beta }_1-1,\cdots ,{\beta }_n)⟶\beta ,{\alpha }_2=({\beta }_1,{\beta }_2-1,\cdots ,{\beta }_n)⟶\beta ,\cdots ,{\alpha }_n=({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n-1)⟶\beta .$$所以, 所求的系数应该是 (这个等价于 ${\beta }_1+\cdots +{\beta }_n=k$) :$$\sum _{m=1}^n\frac{(k-1)!}{{\alpha }_m!}=\frac{k!}{\beta !}.$$现在对 $g$ 用 Taylor 公式 (在 $0$ 和 $1$) 之间, 我们有 $\vartheta \in [0,1]$, 使得$$g(1)=\sum _{\ell ⩽k}\frac{g^{(\ell )}(0)}{\ell !}+\frac{g^{(k+1)}(\vartheta )}{(k+1)!}.$$将 $g(t)$ 的值代入即可.

$\square$

${\mathbb{R}}^n$ 中的光滑子流形: 曲线和曲面的定义

在 ${\mathbb{R}}^n$ 中, 我们考虑 ${\mathbb{R}}^k\subset {\mathbb{R}}^n$, 此时的 ${\mathbb{R}}^k$ 是按照下面精确的方式定义的$${\mathbb{R}}^k=\{(x_1,\cdots ,x_n)|x_n=x_{n-1}=\cdots =x_{k+1}=0\}.$$这是由 $n-k$ 个线性函数的零点定义出来的线性子空间. 这就是最基本的 $k$-维子流形的例子. 所谓的 $k$ 子流形, ${\mathbb{R}}^n$ 中的一个子集, 在每个局部上来看, 它长得样子就像是线性的 ${\mathbb{R}}^k$ 落在 ${\mathbb{R}}^n$ 中一样. 我们可以设想 ${\mathbb{R}}^3$ 中的一个曲面, 在一个点的附近, 这个曲面和切平面很近, 从而变化不大. 它的样子大概是

曲面的两面用灰色和绿色表示, 其中绿色的一面上画有一条线. 这个曲面落在 ${\mathbb{R}}^3$ 中和右边的 ${\mathbb{R}}^3$ 中的 ${\mathbb{R}}^2$ 上的圆盘很相似.

为了理解子流形的概念, 我们先看两个 (不平凡的) 例子, 它们维数或者余维数为 $1$ (在 ${\mathbb{R}}^3$ 种这已经给出了所有的维数) . 维数为 $0$ 的基本例子是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的点, 余维数为 $0$ 基本例子是 ${\mathbb{R}}^n$ 本身, 这些都没有太多的意思. 另外, 子流形是一个局部的概念, 所以我们现在只关心局部的情况.

我们首先研究曲线.

假设 $\gamma :(-\epsilon ,\epsilon )\to {\mathbb{R}}^n$ 是光滑的映射 ($C^1$ 就可以) , 我们要求对任意的 $t\in (-\epsilon ,\epsilon )$, ${\gamma }^{\prime }(t)\ne 0$. 这个条件称作是曲线的非退化条件, 一定程度上可以认为是要排除 $\gamma (t)\equiv p$ 这种极端的例子 (此时, 我们得到的是一个点而不是曲线) . 由于 ${\gamma }^{\prime }(0)\ne 0$, 我们不妨假设 ${\gamma }_n^{\prime }(0)>0$ ($<0$ 的情况可以类似地讨论) , 即 $\gamma (t)$ 的 $x_1$ 分量在 $0$ 附近 (我们总可以假设 $\epsilon$ 很小) 是严格递增的. 我们要说明 $\gamma$ 在 $\gamma (0)$ 附近与 $x_1$ 轴 ${\mathbb{R}}^1=\{(x_1,0,\cdots ,0)\}$ 非常相似. 事实上, 我们构造映射$$\begin{array}{rl}\Phi :& {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n,(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\mapsto ({\gamma }_1^{-1}(x_1),x_2-{\gamma }_2({\gamma }_1^{-1}(x_1)),,\cdots ,x_n-{\gamma }_n({\gamma }_1^{-1}(x_1))).\end{array}$$在 $0$ 附近, 这是一个良好定义并且是可逆的映射: 它的逆可以用下面的公式表达$$\begin{array}{rl}{\Phi }^{-1}:& {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n,(y_1,y_2,\cdots ,y_n)\mapsto ({\gamma }_1(y_1),y_2+{\gamma }_2(y_1),,\cdots ,y_n+{\gamma }_n(y_1)).\end{array}$$

不难看出, 这是一个微分同胚. 所在, 在用一个微分同胚把曲线 (的像) 拉直了之后或者说换到了 $(y_1,\cdots ,y_n)$ 这个坐标系下看, 我们的曲线就是标准的 $x_1$-轴:

其次, 我们研究由方程的图像定义的曲面. 给定函数 $f:{\mathbb{R}}^{n-1}\to \mathbb{R}$. 我们考虑它的图像$${\Gamma }_f=\{(x,f(x))\in {\mathbb{R}}^{n-1}\times \mathbb{R}\subset {\mathbb{R}}^n\mid x\in \Omega \}.$$这是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的超曲面 (余维数为 $1$) . 我们定义映射$$\Phi :{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n,(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\mapsto (y_1,\cdots ,y_n)=(x_1,x_2,\cdots ,x_n-f(x_1,\cdots ,x_{n-1})).$$很明显, $\Phi$ 是双射, 其逆映射为$${\Phi }^{-1}:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n,(y_1,y_2,\cdots ,y_n)\mapsto (x_1,\cdots ,x_n)=(y_1,y_2,\cdots ,y_n+f(y_1,\cdots ,y_{n-1})).$$这两个映射显然是光滑的, 所以 $\Phi$ 是微分同胚. 从而, 通过用一个微分同胚把这个曲面拉直了之后或者说换到了 $(y_1,\cdots ,y_n)$ 这个坐标系下看, 我们的曲线就是标准的 ${\mathbb{R}}^{n-1}$ (由一个线性方程的零点给出) :

最终, 我们再研究一个经典的例子, 考虑 3 维空间中的单位球面 ${\mathbf{S}}^2\subset {\mathbb{R}}^3$, 也即是$${\mathbf{S}}^2=\{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1.\}$$很明显, ${\mathbf{S}}^2$ 可以被写成 $6$ 个半球面的并: $${\mathbf{S}}^2={\mathbf{S}}_{x>0}^2\cup {\mathbf{S}}_{x<0}^2\cup {\mathbf{S}}_{y>0}^2\cup {\mathbf{S}}_{y<0}^2\cup {\mathbf{S}}_{z>0}^2\cup {\mathbf{S}}_{z<0}^2.$$每一个部分都是一个函数的图像, 比如说, $${\mathbf{S}}_{y<0}^2=\left\{\right(x,z,f(x,z)|f(x,z)=-\sqrt{1-x^2-z^2},x^2+z^2<1)\},$$其中, 函数 $f$ 定义在 $(x,z)$ 平面的一个单位圆盘的内部. 所以说, ${\mathbf{S}}^2$ 在局部上来看是一个微分子流形.

练习. 证明, ${\mathbf{S}}^2\subset {\mathbb{R}}^3$ 在如下的意义下永远都不是一个函数的图像: 不存在微分同胚$$\Phi :{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}_{y_1,y_2}^2\times {\mathbb{R}}_{y_3}^1,$$和 ${\mathbb{R}}_{y_1,y_2}^2$ 中的区域 (任意区域不一定是开集) $\Omega \subset$ 以及 $\Omega$ 上的光滑函数 $f$, 使得 $\Phi ({\mathbf{S}}^2)$ 是 $f$ 的图像$${\Gamma }_f=\{(y_1,y_2,f(y_1,y_2)\in {\mathbb{R}}_{y_1,y_2}^2\times {\mathbb{R}}_{y_3}^1|(y_1,y_2)\in \Omega \}.$$

将这些例子作为基本的图像, 我们就可想办法定义 ${\mathbb{R}}^n$ 中的子流形了, 这是所有的那些在局部上复合一个微分同胚 (换一下坐标系) 之后就变成了线性子空间的一部分的那样的子集合. : ¹

定义 32.5 ($d$-维子流形). 假设 $M\subset {\mathbb{R}}^n$ 是非空子集, 这个 ${\mathbb{R}}^n$ 中的坐标用 $(x_i)$ 表示. 如果存在整数 $d⩾0$, 使得对任意的 $x\in M$, 存在开集 $U\subset {\mathbb{R}}^n$, $x\in U$ 以及 (可能是另外一个) ${\mathbb{R}}^n$ 中的开集 (这个 ${\mathbb{R}}^n$ 中的坐标用 $(y_i)$ 表示) $V$ 以及微分同胚$$\Phi :U\to V$$使得$$\Phi :U\cap M\to V\cap ({\mathbb{R}}^d\times \{0\}),$$其中我们把 ${\mathbb{R}}^n={\mathbb{R}}^{d+(n-d)}$ 写成 ${\mathbb{R}}^d\times {\mathbb{R}}^{n-d}$, 上述的表达式要求后面的 $n-d$ 个坐标都取 $0$, 我们就称 $M$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的一个 $d$-维的 (微分) 子流形. 其中, $d$ 称作是 $M$ 的维数, 记作 $\dim M$.

注记. 我们还把 $\mathrm{codim}M=n-\dim M$ 称作是 $M$ 的余维数, 它有着如下具体的含义: 存在 $\mathrm{codim}M$ 个函数, 使得 $M$ 恰好是这些函数的公共零点集合. 实际上, 我们可以取 $f_j={\Phi }^{\ast }{y}_j$, 其中 $j=d+1,d+2,\cdots ,n$.

我们需要说明维数 $d$ 是良好的定义. 换句话说, 把 $M$ 局部上看成是某个 $d$ 维的线性子空间中的集合的方式又可能不唯一. 按照定义, 对于给定的 $x$, 我们有可能有 (很明显有很多) 另外的 $d^{\prime }⩾0$ 和开集 $U^{\prime }$, $x\in U^{\prime }$ 以及 (可能是另外一个) ${\mathbb{R}}^n$ 中的开集 (这个 ${\mathbb{R}}^n$ 中的坐标用 $(z_i)$ 表示) $V^{\prime }$ 以及微分同胚$${\Phi }^{\prime }:U^{\prime }\to V^{\prime }$$使得$${\Phi }^{\prime }:U^{\prime }\cap M=V^{\prime }\cap ({\mathbb{R}}^{d^{\prime }}\times \{0\}),$$通过考虑 $U\cap U^{\prime }$, 我们可以要求 $U=U^{\prime }$.

我们考虑映射$$\Psi ={\Phi }^{\prime }\circ {\Phi }^{-1}:V\to V^{\prime }.$$这是两个微分同胚的复合, 所以还是微分同胚. 特别地, 如果我们把映射 $\Psi$ 限制到 $V\cap ({\mathbb{R}}^d\times \{0\})$ 上面, 我们就得到了微分同胚$$\Psi :V\cap ({\mathbb{R}}^{d^{\prime }}\times \{0\})\to V^{\prime }\cap ({\mathbb{R}}^{d^{\prime }}\times \{0\}).$$这是 ${\mathbb{R}}^d$ 和 ${\mathbb{R}}^{d^{\prime }}$ 中的两个开集之间的微分同胚, 我们上周已经利用复合映射的链式法则证明了 $d=d^{\prime }$.