期末考试: 两个积分的计算, 整系数多项式的逼近

考试时间为 4 小时. 大题之间是相互独立的, 考试中后面的问题可以使用前面问题的结论 (无论答题人是否已经得到正确的证明或者答案) .

基础题

题目 A (微分与积分的基本概念考察, 共 60 分)

A1)	(5 分) 试求出函数 $f(x)=x^3-12x+1$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值并说明理由.
A2)	(5 分) 证明, 如果 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ 是 $\mathbb{R}$ 上定义的 3 次多项式函数, 那么, $f(x)$ 一定不是 $\mathbb{R}$ 上的凸函数.
A3)	(5 分) 在 $x=0$ 处写下函数 $f(x)=\sqrt{1+x}$ 的 Peano 余项的 3 阶 Taylor 展开, 即余项要求是 $o(x^3)$.
A4)	(5 分) 定义区间 $[-1,1]$ 上函数$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x\sin \left(\frac{1}{x}\right),& x\in [-1,0)\cup (0,1];\\ 0,& x=0.\end{array}$$证明, $f\in C([-1,1])$ 但是 $f$ 不可微.
A5)	(5 分) 计算定积分$${\int }_0^1\frac{x^2+4}{x^2+3x+2}dx.$$
A6)	(5 分) 计算定积分$${\int }_0^1{x}^2{e}^{x}dx.$$
A7)	(5 分) 计算定积分$${\int }_0^{\pi }{\sin }^3(x)+\sin (2x)dx.$$
A8)	(5 分) 计算定积分: $${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin (x^3+2x)dx.$$
A9)	(5 分) 计算下面的极限: $$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{k^{2019}}{n^{2020}}.$$
A10)	(5 分) 判断下面的反常积分是否收敛并说明理由 (对数函数是以 $e$ 为底的) : $${\int }_0^1\frac{\log x}{x^{\frac{1}{2}}}dx.$$
A11)	(5 分) 利用面积方法证明: 对任意的自然数 $n⩾1$, 我们有$$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}⩾\log (n).$$
A12)	(5 分) 证明, 如下的反常积分收敛: $${\int }_2^{\infty }\frac{\sin x}{\log x}dx.$$

题目 B (Gauss 的一个椭圆积分的计算, 共 21 分)

B1)	(2 分) 假设 $a>0$, $b>0$. 证明, 如下定义的反常积分是收敛的: $$I(a,b)={\int }_0^{\infty }\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}\sqrt{x^2+b^2}}dx.$$
B2)	(2 分) 证明, $I(a,b)$ 可以用下面的定积分来表达: $${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{\sqrt{a^2{\cos }^2\theta +b^2{\sin }^2\theta }}d\theta .$$(提示: 利用变量换元 $x=b\tan \theta$)
B3)	(2 分) 证明, $I(a,b)$ 所定义的映射$$I:(0,+\infty )\times (0,+\infty )\to \mathbb{R},(a,b)\mapsto I(a,b)$$是连续函数.
B4)	(2 分) 证明, 对任意的 $\lambda >0$, 我们有$$I(a,b)={\int }_0^{\infty }\frac{\lambda }{ab}\frac{1}{\sqrt{x^2+(\frac{\lambda }{a}{)}^2}\sqrt{x^2+(\frac{\lambda }{b}{)}^2}}dx.$$(提示: 利用变量换元 $y=\frac{\lambda }{x}$)
B5)	(2 分) 证明, $I(a,b)$ 可以被表达为$$I(a,b)=2{\int }_{\sqrt{ab}}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}\sqrt{x^2+b^2}}dx.$$(提示: 变量替换 $y=\frac{ab}{x}$ 将 $(0,\sqrt{ab})$ 变为 $(\sqrt{ab},\infty )$)
B6)	(2 分) 证明, 映射$$\phi :(\sqrt{ab},+\infty )\to (0,+\infty ),x\mapsto \phi (x)=\frac{1}{2}\left(x-\frac{ab}{x}\right)$$是连续可微的双射.
B7)	(3 分) 利用变量替换 $y=\frac{1}{2}\left(x-\frac{ab}{x}\right)$ 证明, $$I(a,b)={\int }_0^{\infty }\frac{1}{\sqrt{y^2+{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2}\sqrt{y^2+{\left(\sqrt{ab}\right)}^2}}dy.$$从而, Gauss 关于上述椭圆积分的平均值公式成立: $$I(a,b)=I(\frac{a+b}{2},\sqrt{ab}).$$
B8)	(2 分) 我们归纳地定义数列: $a_1=a$, $b_1=b$; 对于 $n⩾1$, 我们定义 $a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}$, $b_{n+1}=\sqrt{a_n{b}_n}$. 证明, $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ 和 $\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$ 存在.
B9)	(2 分) 证明, $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$. 我们用 $M(a,b)$ 表示这个值并称之为 $a$ 和 $b$ 的算数几何均衡值 (arithmetic-geometric mean) .
B10)	(2 分) 证明, 对于 $a>0$ 和 $b>0$, 它们的算数几何均衡值 $M(a,b)$ 与椭圆积分 $I(a,b)$ 可以相互表达: $$2M(a,b)I(a,b)=\pi .$$

题目 C (${\int }_0^{\infty }\frac{1}{1+x^{\alpha }}dx$ 的计算, 其中 $\alpha >1$, 共 24 分)

假设 $\alpha >1$, $\beta \in (0,1)$, $\alpha \beta =1$.

C1)	(2 分) 证明, 如下的反常积分$$I(\alpha )={\int }_0^{\infty }\frac{1}{1+x^{\alpha }}dx$$是收敛的.
C2)	(2 分) 证明, 如下的两个反常积分$$J_1(\beta )={\int }_0^1\frac{x^{\beta -1}}{1+x}dx,J_2(\beta )={\int }_0^1\frac{x^{-\beta }}{1+x}dx$$是收敛的.
C3)	(2 分) 证明, $${\int }_0^1\frac{1}{1+x^{\alpha }}dx=\beta J_1(\beta ).$$(提示: 对任意的 $\epsilon >0$, 先证明 ${\int }_{\epsilon }^1\frac{1}{1+x^{\alpha }}dx=\beta {\int }_{{\epsilon }^{\alpha }}^1\frac{x^{\beta -1}}{1+x}dx$)
C4)	(2 分) 证明, $${\int }_1^{\infty }\frac{1}{1+x^{\alpha }}dx=\beta J_2(\beta ).$$
C5)	(2 分) 对于整数 $n⩾1$, 定义$$h_n(x)=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{x}^k.$$证明, 对任意的 $x\in [0,1]$, 我们都有$$|h_n(x)-\frac{1}{1+x}|⩽x^n.$$(提示: 可以考虑函数 $\frac{1}{1+x}$ 在 $0$ 处的 Taylor 展开)
C6)	(2 分) 令$$J_{1,n}(\beta )={\int }_0^1{x}^{\beta -1}{h}_n(x)dx,J_{2,n}(\beta )={\int }_0^1{x}^{-\beta }{h}_n(x)dx$$证明, $$\underset{n\to \infty }{\lim }{J}_{1,n}(\beta )=J_1(\beta ),\underset{n\to \infty }{\lim }{J}_{2,n}(\beta )=J_2(\beta ).$$
C7)	(2 分) 我们如下定义 $[0,\pi ]$ 区间上的函数 $g$: $$g(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\cos \left(\frac{x}{\alpha }\right)-1}{\sin \left(\frac{x}{2}\right)},& x\in (0,\pi ]\\ 0,& x=0.\end{array}$$证明, $g\in C^1([0,\pi ])$.
C8)	(3 分) 对任意的整数 $n⩾1$, 定义积分$$a_n={\int }_0^{\pi }g(x)\sin \left((2n+1)\frac{x}{2}\right)dx.$$证明, 存在常数 $C$, 使得对任意的 $n$, 我们都有$$|a_n|⩽\frac{C}{2n+1}.$$
C9)	(2 分) 对任意的整数 $n⩾1$, 令$${\phi }_n(x)=\cos (x)+\cos (2x)+\cos (3x)+\cdots +\cos (nx).$$定义积分$$A_n={\int }_0^{\pi }{\phi }_n(x)\cos \left(\frac{x}{\alpha }\right)dx.$$证明, $$A_n=\frac{\alpha }{2}\sin \left(\frac{\pi }{\alpha }\right)\sum _{k=1}^n(-1{)}^k\left(\frac{1}{1+\alpha k}+\frac{1}{1-\alpha k}\right).$$
C10)	(3 分) 证明$${\phi }_n(x)=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\frac{\sin \left((2n+1)\frac{x}{2}\right)}{\sin \left(\frac{x}{2}\right)}.$$据此, 通过计算 $A_n={\int }_0^{\pi }{\phi }_n(x)\cos \left(\frac{x}{\alpha }\right)dx$ 来证明, $\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n=-\frac{\alpha }{2}\sin \left(\frac{\pi }{\alpha }\right)+\frac{\pi }{2}$.
C11)	(2 分) 证明, $I(\alpha )=\frac{\pi }{\alpha \sin \left(\frac{\pi }{\alpha }\right)}$.

附加题

附加题 1: 题目 D (Stone-Weierstrass 定理, 共 10 分)

经典的 Stone-Weierstrass 定理讲的是任意给定 $f\in C([0,1])$, 总能找到一个实系数多项式的序列 $\{P_n{\}}_{n⩾1}\subset \mathbb{R}[X]$, 使得 $P_n$ 一致收敛到 $f$. 下面的问题是对这个定理的进一步讨论.

此问题中, $\{D1),D2),D3)\}$, $\{D4)\}$ 和 $\{D5),D6),D7)\}$ 是三个相互独立的部分.

D1)	(2 分) 假设 $f\in C^1([0,1])$ 并且 $f$ 是单调递增的, 那么存在实系数多项式的序列 $\{P_n{\}}_{n⩾1}\subset \mathbb{R}[X]$, 使得 ∘ 对任意的 $n$, $P_n$ 在 $[0,1]$ 上单调递增. ∘ $P_n$ 一致收敛到 $f$.
D2)	(1 分) 假设 $f\in C([0,1])$ 并且 $f$ 是单调递增的. 我们将 $f(x)$ 延拓到 $[0,2]$ 上使得对任意的 $x\in (1,2]$, $f(x)=f(1)$. 定义函数 $f_n:[0,1]\to \mathbb{R}$, 使得$$f_n(x)=n{\int }_x^{x+\frac{1}{n}}f(y)dy.$$证明, 函数序列 $\{f_n{\}}_{n⩾1}$ 满足 ∘ 对任意的 $n$, $f_n\in C^1([0,1])$; ∘ 对任意的 $n$, $f_n$ 在 $[0,1]$ 上单调递增; ∘ $f_n$ 一致收敛到 $f$.
D3)	(1 分) 假设 $f\in C([0,1])$ 并且 $f$ 是单调递增的, 那么存在实系数多项式的序列 $\{P_n{\}}_{n⩾1}\subset \mathbb{R}[X]$, 使得 ∘ 对任意的 $n$, $P_n$ 在 $[0,1]$ 上单调递增. ∘ $P_n$ 一致收敛到 $f$.
D4)	(2 分) (Walsh) 假设 $f\in C([0,1])$, $x_1,x_2,\cdots ,x_m$ 是 $[0,1]$ 区间上给定的 $m$ 个点, 那么存在实系数多项式的序列 $\{P_n{\}}_{n⩾1}\subset \mathbb{R}[X]$, 使得 ∘ 对任意的 $n⩾1$ 和任意的 $1⩽i⩽m$, $P_n(x_i)=f(x_i)$; ∘ $P_n$ 一致收敛到 $f$.
D5)	(1 分) 假设 $I=[a,b]\subset (0,1)$, 多项式 $p(x)=2x(1-x)$, 令 $Q_n=p\circ p\circ \cdots \circ p$ 为 $p$ 与自身的 $n$-次复合, 即$$Q_n(x)=\underset{\text{n 个 p}}{\underbrace{p\left(p\right(\cdots (p}}(x))\cdots ),$$证明, $\{Q_n{\}}_{n⩾1}$ 在 $I$ 上一致收敛到常数值函数 $\frac{1}{2}$.
D6)	(1 分) 假设 $I=[a,b]\subset (0,1)$, 对任意的整数 $k\in \mathbb{Z}$, 证明, 存在整系数多项式的序列 $\{P_n{\}}_{n⩾1}\subset \mathbb{Z}[X]$, 使得 $\{P_n{\}}_{n⩾1}$ 在 $I$ 上一致收敛到常数值函数 $2^k$.
D7)	(2 分) (Chudnovsky) 假设 $f\in C(I)$, 其中 $I=[a,b]\subset (0,1)$. 证明, 存在整系数多项式的序列 $\{P_n{\}}_{n⩾1}\subset \mathbb{Z}[X]$, 使得 $\{P_n{\}}_{n⩾1}$ 在 $I$ 上一致收敛到 $f$.

注记. 关于用整系数多项式来逼近连续函数的结果, 同学们可以去参考 Hervé Pépin 和 Nicolas Tosel 文章: Approximation par des polynômes à coefficients dans $\mathbb{Z}$, RMS, 114 ème année, 2003-2004.

附加题 2: 题目 E (一个函数方程的求解, 5 分)

试找出所有的实值的 $f\in C(\mathbb{R})$, 使得对任意的 $x,y\in \mathbb{R}$, 我们都有$$f(x)f(y)={\int }_{x-y}^{x+y}f(t)dt.$$

附加题 3: 题目 F (方程解的个数, 5 分)

任意给定两两不相等的实数 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_{2020}$, 任意给定不全为 $0$ 的实数 $a_1,a_2,\cdots ,a_{2020}$, 考虑在 $(0,+\infty )$ 上定义的函数$$f(x)=a_1{x}^{{\alpha }_1}+a_2{x}^{{\alpha }_2}+\cdots +a_{2020}{x}^{{\alpha }_{2020}}.$$证明, $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上至多有 $2019$ 个根.