70. 波动方程和热方程的基本解

我们现在考虑函数 , 其中, 我们用 表示前面的 个变量, 表示后面的 个变量, 我们可以考虑只对后面 个变量的 Fourier 变换: 有时候, 为了方便起见, 我们把这个变换记做 或者干脆记做 . 我们在不同的场合总会指出具体对哪些变量做 Fourier 变换. 类似地, 我们可以定义对后面 个变量的 Fourier 逆变换: 我们注意到 上的 Schwartz 函数映射成为 上的 Schwartz 函数, 即这是一个连续的线性同构, 证明和之前关于 Fourier 变换的证明是一致的, 我们留作作业来验证.

根据 在 Schwartz 函数上的作用, 我们就可以定义它在缓增分布上的作用: 其中, 对于任意的 , 我们有我们同样可以证明, 这是一个连续的线性同构.

例子. 考虑 . 按照定义, 我们有利用我们在第三次作业中定义的张量积, 我们就有

热核的推导

我们已经证明过: 定义在 上的热算子 以如下的热核函数作为其基本解: 然而, 之前只是被动地验证了这个事实, 我们现在给出它的推导.

我们要解如下的方程: 我们做如下的预设: . 对上面方程的 变量做 Fourier 变换 (仍然用 来表示) , 我们就有我们要解上面这个常微分方程. 注意到, 右边分布的支集在 这个超平面上, 所以, 在 之外, 对于每个固定的 , 这个常微分方程的通解形如为了在 处得到关于 的 Dirac 分布, 我们很容易猜测满足要求. 现在计算热算子在这个分布上的作用: 我们只要取 即可. 综上所述, 我们就有 做 Fourier 逆变换, (根据我们已有的计算) 我们得到

中波动方程基本解的推导

我们考虑定义在 上的算子波动算子 , 其中, 第一个坐标是时间 的坐标. 波动算子作用在以 为变量函数上的. 我们仍然预设我们要找的基本解 , 所以, 这是一个二阶的线性常微分方程, 与热核的情况相似, 在 之外, 对于每个固定的 , 它的通解形如 的时, 我们寻找的基本解满足 “在过去为零” 的要求 (这是物理上因果性的要求) , 与热方程的情况比较, 我们对 的形状先做出如下的猜测: 所以, 当然, 如果我们再对这个式子求导数, 最后一项可能会贡献出 , 这不会满足基本解的公式, 所以, 我们假设 . 据此, 我们有从而, 据此, 我们令 的情形, 我们已经证明了所以, 当 时, 我们有最后, 我们可以和之前已经给出的基本解做比较: 其中, 是正向光锥的测度. 这两个计算是一致的.