55. Fourier 级数的收敛理论

du Bois-Reymond 反例

首先, 我们要明确, Fourier 级数在一点处是否收敛并不是明显的, 比如, 对于连续函数, 我们有 du Bois-Reymond 的著名反例 (1876) . 这个构造背后的想法是基于下面不等式 ($x\ne 0$ 时, 利用级数的 Abel 判别法／求和法; $x=0$ 时, 这是显然的, 然而这个情况很重要) : 存在正常数 $C$, 使得$$|\sum _{1⩽|k|⩽N}\frac{e^{ikx}}{k}|⩽C.$$

另外, 我们现在不再把每个频率 $e^{ikx}$ 看成基本的单元, 而是把若干个频率的叠加 (在有控制的情形下) 看成基本的单元 (物理上讲这样的叠加称作是波包) .

对于 $K\in {\mathbb{Z}}_{⩾1}$, 我们定义波包函数$$\begin{array}{rl}& W_K(x)=e^{i(2K)\cdot x}\sum _{1⩽|k|⩽K}\frac{e^{ikx}}{k},\\ & W_K^{-}(x)=e^{i(2K)\cdot x}\sum _{-K⩽k⩽-1}\frac{e^{ikx}}{k}.\end{array}$$那么,

•	$W_K(x)$ 在频率 $k=K,K+1,\cdots ,3K$ 之外都是零. 也就是说, 如果 $k\notin [K,3K]$, 那么 $\widehat{W_K}(k)=0$.
•	$W_K^{-}(x)$ 在频率 $k=K,K+1,\cdots ,2K$ 之外都是零.

我们选取依次选取 $K_1,K_2,K_3,\cdots$, 使得对任意的 $\ell ⩾1$, 我们都有 $K_{\ell +1}>3K_{\ell }$; 序列 $\{K_{\ell }{\}}_{\ell ⩾1}$ 将在下面具体地构造. 这样得到的所有 $W_{K_{\ell }}$ 和 $W_{K_{\ell }}^{-}$ 在频率空间上面的支集是两两不相交的.

根据我们提到的不等式 (用 Abel 求和法来证明的) , 下面级数是绝对收敛的: $$f(x)=\sum _{\ell =1}^{\infty }\frac{1}{{\ell }^2}{W}_{K_{\ell }}(x).$$从而, $f\in C^0(\mathbf{T})$ 是连续函数.

我们现在考察 $f$ 的部分和, 特别是 $S_{2K_{{\ell }_0}}(f)$ 这一项. 很明显, $$S_{2K_{{\ell }_0}}f(x)=(\frac{1}{{\ell }_0}{)}^2{W}_{K_{{\ell }_0}}^{-}(x)+\sum _{\ell =1}^{{\ell }_0-1}\frac{1}{{\ell }^2}{W}_{K_{\ell }}(x).$$由于 $W_{K_{\ell }}$ 是有界的, 所以后面一项的总是有限的 (小于一个固定的常数) , 我们不必担心; 对于第一项, 我们在 $x=0$ 处取值, 从而, 我们得到$$(\frac{1}{{\ell }_0}{)}^2{W}_{K_{{\ell }_0}}^{-}(0)=(\frac{1}{{\ell }_0}{)}^2\sum _{k=-1}^{-K_{{\ell }_0}}\frac{1}{k}\sim \frac{\log (K_{{\ell }_0})}{{\ell }_0^2}.$$为了让这一项发散 (当 ${\ell }_0\to \infty$ 时) , 我们选取 $K_{\ell }=3^{{\ell }^3}$, 其中 $\ell ⩾1$ 即可 (此时, $K_{\ell +1}>3K_{\ell }$ 自动满足) .

总结上面的的构造, 我们就有

命题 55.1 (du Bois-Reymond). 存在连续函数 $f\in C(\mathbf{T})$, 使得其 Fourier 级数的部分和序列 $\{S_N(f)(x){\}}_{N⩾1}$ 在 $x=0$ 处发散.

Fourier 级数的收敛理论

历史上有很多定理给出了充分条件保证 Fourier 级数在一点处的收敛.

定理 55.2. 给定函数 $f\in L^1(\mathbf{T})$ 和 $x_0\in \mathbf{T}$. 我们假设它们满足下面的要求:

1)	$f$ 在 $x_0$ 处的左右极限 $f_{-}(x_0)$ 和 $f_{+}(x_0)$ 都存在;
2)	存在 $\delta >0$, 使得$$\left|{\int }_0^{\delta }\frac{|f(x_0-t)-f_{-}(x_0)|}{t}dt\right|+\left|{\int }_0^{\delta }\frac{|f(x_0+t)-f_{+}(x_0)|}{t}dt\right|<\infty .$$

那么, 数列 $\{S_N(f)(x){\}}_{N⩾0}$ 在 $x=x_0$ 处收敛并且$$\underset{N\to \infty }{\lim }{S}_N(f)(x_0)=\frac{f_{-}(x_0)+f_{+}(x_0)}{2}.$$

证明. 证明的关键是将积分改写为可以运用 Riemann-Lebesgue 引理的形式: $$\begin{array}{rl}& S_N(f)(x_0)-\frac{f_{-}(x_0)+f_{+}(x_0)}{2}\\ =& {\int }_{-\pi }^{\pi }{D}_N(x)(f(x_0-x)-\frac{f_{-}(x_0)+f_{+}(x_0)}{2})\frac{dx}{2\pi }\\ =& {\int }_0^{\pi }{D}_N(y)(f(x_0-y)-f_{-}(x_0)+f(x_0+y)-f_{+}(x_0))\frac{dy}{2\pi }\\ =& {\int }_0^{\pi }\sin ((N+\frac{1}{2})y)\cdot \underset{\in {\mathbf{L}}^1}{\underbrace{\frac{y}{\sin \left(\frac{1}{2}y\right)}\cdot \frac{(f(x_0-y)-f_{-}(x_0)+f(x_0+y)-f_{+}(x_0))}{y}}}\frac{dy}{2\pi }\end{array}$$从而, 我们可以再次利用 Riemann-Lebesgue 引理.

$\square$

历史上第一个关于 Fourier 级数收敛的严格数学定理是 Dirichlet 证明的 (1847) , 它很明显是上面定理的推论:

定理 55.3 (Dirichlet). 假设函数 $f$ 是 $\mathbf{T}$ 上的分段 $C^1$ 函数, 即存在 $0=x_1<x_2<\cdots <x_{\ell -1}<x_{\ell }=2\pi =x_1$, 使得 $f$ 限制在每个区间 $[x_k,x_{k+1}]$ 上都是 $C^1$ 的 (而函数 $f$ 本身在 $x_k$ 处可能不连续) . 那么, 对任意的 $x_0\in \mathbf{T}$, $\{S_N(f)(x){\}}_{N⩾0}$ 在 $x=x_0$ 处收敛并且$$\underset{N\to \infty }{\lim }{S}_N(f)(x_0)=\frac{f_{-}(x_0)+f_{+}(x_0)}{2}.$$

证明. 只要对 $f$ 用 Lagrange 中值定理就可以验证前一个定理的条件.

$\square$

定理 55.4 (Dini). 给定函数 $f\in L^1(\mathbf{T})$ 和 $x_0\in \mathbf{T}$. 假设他们满足$$\left|{\int }_0^{\pi }\frac{|f(x_0-t)+f(x_0+t)-2f(x_0)|}{t}dt\right|<\infty .$$那么, $\{S_N(f)(x){\}}_{N⩾0}$ 在 $x=x_0$ 处收敛并且$$\underset{N\to \infty }{\lim }{S}_N(f)(x_0)=f(x_0).$$

证明. 证明是类似的, 我们有$$\begin{array}{rl}& S_N(f)(x_0)-f(x_0)\\ & ={\int }_0^{\pi }{D}_N(x)(f(x_0-x)+f(x_0+x)-2f(x_0))\frac{dx}{2\pi }\\ & ={\int }_0^{\pi }\sin ((N+\frac{1}{2})y)\cdot \underset{\in {\mathbf{L}}^1}{\underbrace{\frac{y}{\sin \left(\frac{1}{2}y\right)}\cdot \frac{(f(x_0-y)+f(x_0+y)-2f(x_0))}{y}}}dy\end{array}$$现在可以使用 Riemann-Lebesgue 引理.

$\square$

定义 55.5 (Hölder 空间). 给定 $0<\alpha <1$. 如果对于 $\mathbf{T}$ 上的连续函数 $f$, 存在常数 $C>0$, 使得对任意的 $x,y\in \mathbb{R}$, 我们都有$$|f(x)-f(y)|⩽C|x-y{|}^{\alpha },$$我们就说 $f$ 是 $\mathbf{\alpha }$-Hölder 连续的. 我们把所有 $\alpha$-Hölder 连续的周期函数记作 $C^{\alpha }(\mathbf{T})$.

推论 55.6. 假设 $f\in C^{\alpha }(\mathbb{T})$, 其中 $0<\alpha <1$. 那么, 对任意的 $x\in \mathbf{T}$, $\{S_N(f)(x){\}}_{N⩾0}$ 收敛并且$$\underset{N\to \infty }{\lim }{S}_N(f)(x)=f(x).$$

证明. 根据 Hölder 连续性, 我们有$$\begin{array}{rl}& \left|{\int }_0^{\pi }\frac{|f(x_0-t)+f(x_0+t)-2f(x_0)|}{t}dt\right|\\ & ⩽{\int }_0^{\pi }\frac{|f(x_0-t)-f(x_0)|+|f(x_0+t)-f(x_0)|}{t}dt\\ & ⩽{\int }_0^{\pi }2C{t}^{\alpha -1}dt.\end{array}$$由于 $\alpha >0$, 所以上面的积分是有限的. 利用 Dini 定理我们就完成了证明.

$\square$

注记. 上述的所有命题 (包括定义) 对 $\alpha =1$ 也成立. 回忆一下, $\alpha =1$ 时, 我们称这样的函数 Lipschitz 连续的.

注记. 上述收敛未必是一致收敛, 之后我们将证明, 如果 $\alpha >\frac{1}{2}$, 那么上面的收敛是一致收敛的. 另外, 对于 $f\in C^{\alpha }$, 类似于可以求导数的情形, 我们稍后还会证明$$|\hat{f}(k)|⩽\frac{1}{(1+|k|{)}^{\alpha }}.$$

有一个关于有界变差函数的 Fourier 级数收敛的命题和上面证明的结论也很类似. 我们先引入有界变差函数的概念. 给定一个有限的闭区间 $[a,b]$ 和它上面所定义的实值函数 $f$, 对任意一个分划 $\sigma \in \mathcal{S}$ ($\mathcal{S}$ 为分划的集合) , 即我们选取 $a=x_0<x_1<\cdots <x_m=b$, 我们定义这个分划所对应把变差为: $$V(f,\sigma )=\sum _{k=1}^m|f(x_k)-f(x_{k-1})|.$$我们令$$V\left([a,b],f\right)=\underset{\sigma \in \mathcal{S}}{\sup }V(f,\sigma ).$$如果 $V\left([a,b],f\right)<\infty$, 我们就称 $f$ 是 $[a,b]$ 上的有界变差函数. 直观上, 有界变差函数在区间上整体的振荡比较小. 我们有如下几个显然的性质:

1)	如果 $f$ 是 $[a,b]$ 上的单调函数, 那么$$|V([a,b],f)|=|f(a)-f(b)|.$$
2)	如果 $f$ 和 $g$ 是有界变差函数, 那么 $f\pm g$ 也是的. 这是因为对任意分划 $\sigma$, 我们都有$$V(f\pm g,\sigma )⩽V(f,\sigma )+V(g,\sigma ).$$
3)	如果 $f$ 是有界变差函数, 那么 $|f|$ 也是的. 这是因为对任意分划 $\sigma$, 根据 $||x|-|y||⩽|x-y|$, 我们都有$$V(|f|,\sigma )⩽V(f,\sigma ).$$

给定一个 $[a,b]$ 上的右边变差函数 $f$, 在子区间上的有界变差可以给出如下的函数: $$[a,b]\to {\mathbb{R}}_{⩾0},x\mapsto V([a,x],f).$$

另外, 假设区间 $[a,b]$ 和 $[b,c]$ 上分别有分划 $\sigma$ 和 ${\sigma }^{\prime }$, 其中$$\sigma =(a=x_0<x_1<\cdots <x_m=b),{\sigma }^{\prime }=(b=x_0^{\prime }<x_1^{\prime }<\cdots <x_{m^{\prime }}^{\prime }=c),$$那么, 我们可以把这两个分划首尾相接得到 $[a,c]$ 上的分划 $\sigma \cup {\sigma }^{\prime }$, 即$$\sigma \cup {\sigma }^{\prime }=(a=x_0<x_1<\cdots <x_m=b=x_0^{\prime }<x_1^{\prime }<\cdots <x_{m^{\prime }}^{\prime }=c).$$很明显, 如果 $f$ 在 $[a,c]$ 上有定义, 那么$$V(f,\sigma \cup {\sigma }^{\prime })=V(f,\sigma )+V(f,{\sigma }^{\prime }).$$按照定义, $$V(f,\sigma )+V(f,{\sigma }^{\prime })=V(f,\sigma \cup {\sigma }^{\prime })⩽V([a,c],f).$$再对左边的 $\sigma$ 和 ${\sigma }^{\prime }$ 取上确界, 我们得到$$V([a,b],f)+[V([b,c],f)⩽[V([a,c],f).$$特别地, 当 $c⩾b$ 时, 我们有$$V([a,b],f)⩽[V([a,c],f),$$所以函数 $x\mapsto V([a,x],f)$ 是单调上升的.

定理 55.7 (有界变差函数的结构定理). 假设 $h$ 是 $[a,b]$ 上的有界变差函数, 那么, 存在 $[a,b]$ 上的单调递增函数 $f$ 和 $g$, 使得$$h=f-g.$$

证明. 只要验证 $V([a,x],h)-h(x)$ 是单调递增的就可以了, 因为我们可以选取 $f=V([a,x],h)$, $g(x)=V([a,x],h)-h(x)$. 任意给定 $x_1,x_2\in [a,b]$, 其中 $x_1⩽x_2$, 我们有$$\begin{array}{rl}& (V([a,x_2],h)-h(x_2))-(V([a,x_1],h)-h(x_1))\\ & =(V([a,x_2],h)-(V([a,x_1],h))-(h(x_2)-h(x_1))\\ & ⩾V([x_1,x_2],h)-(h(x_2)-h(x_1))\\ & ⩾0.\end{array}$$证毕.

$\square$

推论 55.8. 有界变差函数是 Riemann 可积的 (所以是 $L^1$ 的, 从而可以定义其 Fourier 系数) .

证明. 这因为单调函数只有可数多个不连续点, 所以是 Riemann 可积的.

$\square$

定理 55.9 (Jordan). 实值函数 $f$ 是 $\mathbf{T}$ 上的有界变差函数. 那么, 对任意 $x_0\in \mathbf{T}$, $\{S_N(f)(x){\}}_{N⩾1}$ 在 $x_0$ 处收敛并且$$\underset{N\to \infty }{\lim }{S}_N(f)(x_0)=\frac{f_{-}(x_0)+f_{+}(x_0)}{2}.$$

证明. 根据有界变差函数的结构定理, 我们不妨假设 $f$ 是单调函数. 仿照之前定理的证明, 我们有$$\begin{array}{rl}& S_N(f)(x_0)-\frac{f_{-}(x_0)+f_{+}(x_0)}{2}\\ & ={\int }_0^{\pi }{D}_N(x)(f(x_0-y)-f_{-}(x_0)+f(x_0+y)-f_{+}(x_0))\frac{dy}{2\pi }\\ & =\underset{I_{-}}{\underbrace{{\int }_0^{\pi }\frac{\sin ((N+\frac{1}{2})y)}{\sin \left(\frac{1}{2}y\right)}(f(x_0-y)-f_{-}(x_0))\frac{dy}{2\pi }}}+\underset{I_{+}}{\underbrace{{\int }_0^{\pi }\frac{\sin ((N+\frac{1}{2})y)}{\sin \left(\frac{1}{2}y\right)}(f(x_0+y)-f_{+}(x_0))\frac{dy}{2\pi }}}.\end{array}$$只要处理 $I_{+}$ 即可, 另外一项可以类似地处理. 我们可以将 $I_{+}$ 写为$$I_{+}=\underset{I_{+,\delta }}{\underbrace{{\int }_0^{\delta }\frac{\sin ((N+\frac{1}{2})y)}{\sin \left(\frac{1}{2}y\right)}(f(x_0+y)-f_{+}(x_0))\frac{dy}{2\pi }}}+\underset{I_{+,>\delta }}{\underbrace{{\int }_{\delta }^{\pi }\sin ((N+\frac{1}{2})y)\stackrel{\in L^1}{\overbrace{\frac{f(x_0+y)-f_{+}(x_0)}{\sin \left(\frac{1}{2}y\right)}}}\frac{dy}{2\pi }}},\to 0.$$上式的第二项可以再次用 Riemann-Lebesgue 引理处理: 当 $N\to \infty$ 时候, 我们有 $I_{+,>\delta }\to 0$. 为了处理第一项, 我们用之前在估计 ${\int }_0^{2\pi }|D_N(x)|\frac{dx}{2\pi }$ 时所用的不等式:$$\frac{2}{t}⩽\frac{1}{\sin \left(\frac{t}{2}\right)}⩽\frac{2}{t}+\frac{t}{6},0⩽t⩽\pi ,$$从而对任意的 $g(t)$ (分正负来讨论) , 我们都有$$|\frac{1}{\sin \left(\frac{t}{2}\right)}g(t)-\frac{2}{t}g(t)|⩽\frac{t}{6}|g(t)|.$$据此, $$\begin{array}{rl}& |I_{+,\delta }-\underset{\widetilde{I_{+,\delta }}}{\underbrace{{\int }_0^{\delta }\frac{2\sin ((N+\frac{1}{2})y)}{y}(f(x_0+y)-f_{+}(x_0))\frac{dy}{2\pi }}}|\\ & ⩽\underset{\widetilde{\tilde{I_{+,\delta }}}}{\underbrace{\frac{1}{6}{\int }_0^{\delta }\left|\sin \right((N+\frac{1}{2})y\left)\right|\times y\times (f(x_0+y)-f_{+}(x_0))\frac{dy}{2\pi }}}.\end{array}$$综合上面的所有的不等式, 我们有$$|I_{+}|⩽|\widetilde{I_{+,\delta }}|+\widetilde{\tilde{I_{+,\delta }}}+I_{+,>\delta }.$$

现在任意给定 $\epsilon >0$, 我们要找一个足够大的 $N_0$, 使得当 $N⩾N_0$ 时, 有$$|I_{+}|<\epsilon .$$

首先, 我们有$$\begin{array}{rl}\widetilde{\tilde{I_{+,\delta }}}& ⩽{\int }_0^{\delta }y\times |f(x_0+y)-f_{+}(x_0)|\frac{dy}{12\pi }\\ & ⩽{\int }_0^{\delta }|f(x_0+y)-f_{+}(x_0)|\frac{dy}{12\pi }.\end{array}$$被积分项是有界的, 所以存在 ${\delta }_1>0$, 使得当 $\delta <{\delta }_1$ 时, $$\widetilde{\tilde{I_{+,\delta }}}⩽\frac{1}{3}\epsilon .$$

其次, 我们考虑 $\widetilde{I_{+,\delta }}$. 利用 $f$ 的单调性, 我们可以运用积分第二中值定理. ¹从而, 存在 $c\in (0,\delta )$, 使得$$\begin{array}{rl}\widetilde{I_{+,\delta }}& ={\int }_0^{\delta }\frac{\sin ((N+\frac{1}{2})y)}{y}(f(x_0+y)-f_{+}(x_0))\frac{dy}{2\pi }\\ & =(f(x_0+\delta )-f_{+}(x_0))\underset{<\infty }{\underbrace{{\int }_{(N+\frac{1}{2})c}^{(N+\frac{1}{2})\delta }\frac{\sin t}{t}\frac{dt}{2\pi }}}.\end{array}$$

由于 ${\int }_1^{\infty }\frac{\sin t}{t}dt<\infty$, 所以上面的积分项是有界的. 根据右极限定义, 存在 ${\delta }_2>0$, 使得当 $\delta <{\delta }_2$ 时, 我们有$$\widetilde{I_{+,\delta }}<\frac{1}{3}\epsilon .$$

我们现在选取 $\delta <\min \left({\delta }_1,{\delta }_2\right)$, 从而$$|I_{+}|<\frac{\epsilon }{3}+\frac{\epsilon }{3}+I_{+,>\delta }.$$此时, 我们可以对 $I_{+,>\delta }$ 用 Riemann-Lebesgue 引理, 所以存在 $N_0$, 使得当 $N⩾N_0$ 时, 我们有$$I_{+,>\delta }<\frac{\epsilon }{3}.$$所以, $$|I_{+}|<\epsilon .$$这就完成了 Jordan 定理的证明.

$\square$