A.2. Γ 函数以及涉及正态分布密度函数的积分

考虑如下形式的积分: $$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^{2n}\exp \left(-\frac{x^2}{2}\right)\mathrm{d}x,$$其中 $n$ 为任意自然数, 记上述积分的值为 $I_n$. 不难由对称性看出$$I_n=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\int }_0^{+\infty }{x}^{2n}\exp \left(-\frac{x^2}{2}\right)\mathrm{d}x$$接下来做换元 $t=x^2/2$, 则有$$I_n=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\int }_0^{+\infty }(2t{)}^n\exp \left(-t\right)\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{2t}}=\frac{2^n}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^{+\infty }{t}^{n-1/2}\exp (-t)\mathrm{d}t.$$我们引入 $\Gamma$ 函数: $$\Gamma (x):={\int }_0^{+\infty }{t}^{x-1}\exp (-t)\mathrm{d}t,x\in \left]0,+\infty \right[,$$(A.2.1)其中 $x\in \left]0,1\right[$ 时上式的积分理解为广义积分. 则 $I_n=2^n\Gamma (n+1/2)/\sqrt{\pi }$.

定理 A.2.1. 对任意 $x>0$, 有$$\Gamma (x+1)=x\Gamma (x).$$特别地, 对任意自然数 $n$, 有$$\Gamma (n+1)=n!,\Gamma \left(n+\frac{1}{2}\right)=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi }.$$

证明. 由 $\Gamma$ 函数的定义, 有$$\begin{array}{rl}\Gamma (x+1)& ={\int }_0^{+\infty }{t}^x\exp (-t)\mathrm{d}t=-{\int }_0^{+\infty }{t}^x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\exp (-t))\mathrm{d}t\\ & =-t^x\exp (-t){|}_0^{+\infty }+{\int }_0^{+\infty }\exp (-t)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(t^x\right)\mathrm{d}t\\ & =x{\int }_0^{+\infty }{t}^{x-1}\exp (-t)\mathrm{d}t=x\Gamma (x).\end{array}$$而$$\Gamma (1)={\int }_0^{+\infty }\exp (-t)\mathrm{d}t=1,$$故对任意自然数 $n$, $$\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)=n(n-1)\Gamma (n-1)=\cdots =n!\Gamma (1)=n!.$$接下来我们求 $\Gamma (1/2)$. 注意到$$\begin{array}{rl}\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)& ={\int }_0^{+\infty }\frac{\exp (-t)}{\sqrt{t}}\mathrm{d}t\\ & \stackrel{u=\sqrt{t}}{=}{\int }_0^{+\infty }\frac{\exp \left(-u^2\right)}{u}\mathrm{d}\left(u^2\right)\\ & =2{\int }_0^{+\infty }\exp \left(-u^2\right)\mathrm{d}u={\int }_{-\infty }^{+\infty }\exp \left(-u^2\right)\mathrm{d}u,\end{array}$$而$$\begin{array}{rl}{\left({\int }_{-\infty }^{+\infty }\exp \left(-u^2\right)\mathrm{d}u\right)}^2& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\exp \left(-\left(u^2+v^2\right)\right)\mathrm{d}u\mathrm{d}v\\ & \stackrel{\begin{array}{c}u=\rho \sin \theta \\ v=\rho \cos \theta \end{array}}{=}{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{+\infty }\exp \left(-{\rho }^2\right)\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta \\ & =\pi ,\end{array}$$故 $\Gamma (1/2)=\sqrt{\pi }$, 从而对任意正整数 $n$, 有$$\begin{array}{rl}\Gamma \left(n+\frac{1}{2}\right)& =\left(n-\frac{1}{2}\right)\Gamma \left(n-\frac{1}{2}\right)=\left(n-\frac{1}{2}\right)\left(n-\frac{3}{2}\right)\Gamma \left(n-\frac{3}{2}\right)\\ & =\cdots =\left(n-\frac{1}{2}\right)\left(n-\frac{3}{2}\right)\cdots \frac{1}{2}\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)\\ & =\frac{(2n-1)(2n-3)\cdots 3\cdot 1}{2^n}\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi }.\end{array}$$因 $-1$ 的双阶乘规定为 $1$, 故上式对任意自然数 $n$ 均成立, 至此定理证毕.

$\square$

回到本节最初的问题, 将上述定理的结果代入 $I_n=2^n\Gamma (n+1/2)/\sqrt{\pi }$, 则有$$I_n=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^{2n}\exp \left(-\frac{x^2}{2}\right)\mathrm{d}x=(2n-1)!!.$$(A.2.2)

$\Gamma$ 函数的其它性质可参考 [7] 第二十一章第 4 节.