概率与数理统计讲义

作者: 唐聿劼

本讲义曾用于北京大学工学院 2024–2025 学年秋季学期本科生课程 “概率与数理统计” 的讲授, 课程覆盖一个学期共 48 个学时, 主要面向工学院 (除理论与应用力学专业) 的学生以及生命科学学院学生.

目录

	1 概率论的基本概念
	1.1 随机试验
	1.2 集合论回顾
	1.3 样本空间、事件与概率
	1.4 概率的基本性质
	1.5 古典概型
	1.6 条件概率的初步介绍
	1.7 事件的独立性
	1.8 (${}^{\star }$) 概率的连续性
	1.9 习题选编
	2 离散型随机变量
	2.1 随机变量的定义
	2.2 离散型随机变量
	2.3 离散型随机向量
	2.4 随机变量的独立性
	2.5 期望与方差
	2.6 伯努利过程
	2.7 习题选编
	3 连续型随机变量
	3.1 连续型随机变量
	3.2 连续型随机向量
	3.3 连续型随机变量的独立性
	3.4 连续型随机变量的期望
	3.5 一般随机变量与分布函数
	3.6 一般随机变量的期望
	3.7 习题选编
	4 随机变量的深入内容
	4.1 随机变量函数的分布
	4.2 协方差与相关系数
	4.3 矩与矩母函数
	4.4 条件分布与条件期望
	4.5 (${}^{\star }$) 二维正态分布
	4.6 习题选编
	5 大数定律与中心极限定理
	5.1 几乎必然收敛与依概率收敛
	5.2 大数定律
	5.3 中心极限定理
	5.4 (${}^{\star }$) 一些定理的证明
	5.5 习题选编
	6 数理统计的基本概念
	6.1 总体、样本与统计量
	6.2 重要抽样分布
	6.3 (${}^{\star }$) 相关定理的证明
	6.4 习题选编
	7 参数估计 I: 点估计
	7.1 点估计问题
	7.2 点估计方法的评价
	7.3 矩估计与最大似然估计
	7.4 贝叶斯参数估计方法简介
	7.5 习题选编
	8 参数估计 II: 区间估计
	8.1 区间估计与置信区间
	8.2 单个总体下的区间估计
	8.3 两个总体下的区间估计
	8.4 习题选编
	9 假设检验
	9.1 假设检验的问题设定与流程
	9.2 假设检验的 Neyman–Pearson 理论简介
	9.3 单个总体下的假设检验
	9.4 两个总体下的假设检验
	9.5 一些非参数检验问题
	9.6 习题选编
	10 一元线性回归
	10.1 一元线性回归模型
	10.2 未知参数的点估计
	10.3 回归系数的区间估计与假设检验
	10.4 因变量的点预测与区间预测
	10.5 回归显著性检验
	10.6 残差分析初步
	10.7 习题选编
	A 一些数学上的补充说明
	A.1 形如 ${\sum }_{x\in \mathcal{X}}f(x)$ 的求和式
	A.2 $\Gamma$ 函数以及涉及正态分布密度函数的积分
	A.3 一些线性代数知识
	B (${}^{\star }$) 一般情形的条件期望
	B.1 一般情形条件期望的定义
	B.2 条件期望的性质
	B.3 条件期望的计算
	C (${}^{\star }$) 假设检验的补充证明
	C.1 $p$ 值法与拒绝域法的等价性
	C.2 显著性水平与第 I 类错误概率的关系
	参考文献