1.4. 概率的基本性质

设 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 为一概率空间. 由定义 1.3.2 可知, 对任意事件 $E$, 其概率 $\mathbb{P}(E)$ 必定取值于 $[0,1]$ 中; 此外, 必然事件 $\Omega$ 的概率为 $1$. 不可能事件 $\varnothing$ 的概率可以从定义 1.3.2 中概率的可数可加性推得.

引理 1.4.1. $\mathbb{P}(\varnothing )=0$.

证明. 令 $E_i=\varnothing ,i=1,2,\dots$, 则有 ${\bigcup }_{i=1}^{\infty }{E}_i=\varnothing$ 以及 $E_i\cap E_j=\varnothing$, 则由概率的可数可加性可得$$\mathbb{P}(\varnothing )=\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }{E}_i\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb{P}(E_i)=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb{P}(\varnothing ).$$上式成立当且仅当 $\mathbb{P}(\varnothing )=0$.

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需要注意的是, 一般情况下 $\mathbb{P}(E)=1$ 并不意味着 $E$ 为必然事件, $\mathbb{P}(E)=0$ 也并不意味着 $E$ 为不可能事件. 若事件 $E$ 满足 $\mathbb{P}(E)=1$, 我们称 $E$ 是几乎必然 (almost surely, 缩写为 a.s.) 发生的.

接下来我们介绍概率的有限可加性, 它也同样是可数可加性的推论．

命题 1.4.2 (有限可加性). 设 $E_1,\dots ,E_n$ 为有限个事件, 且对任意 $i\ne j$ 均有 $E_i\cap E_j=\varnothing$, 则$$\mathbb{P}(E_1\cup \cdots \cup E_n)=\mathbb{P}(E_1)+\cdots +\mathbb{P}(E_n).$$

证明. 令 $E_{n+1}=E_{n+2}=\cdots =\varnothing$, 则事件列 $E_1,\dots ,E_n,E_{n+1}\dots$ 中的事件两两互不相交, 利用概率的可数可加性并注意到 ${\bigcup }_{i=1}^{\infty }{E}_i=E_1\cup \cdots \cup E_n$ 以及 $\mathbb{P}(\varnothing )=0$ 即可.

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利用概率的可加性, 我们可以进一步得到概率的如下性质:

命题 1.4.3. 令 $E,F$ 为任意事件, 则有

1.	$\mathbb{P}(E^c\cap F)=\mathbb{P}(F)-\mathbb{P}(E\cap F)$. 特别是, 当 $F=\Omega$ 时, 有 $\mathbb{P}(E^c)=1-\mathbb{P}(E)$.
2.	若 $E\subseteq F$, 则 $\mathbb{P}(E)\le \mathbb{P}(F)$.
3.	$\mathbb{P}(E\cup F)=\mathbb{P}(E)+\mathbb{P}(F)-\mathbb{P}(E\cap F)$.

证明.

1.	注意到 $(E\cap F)\cup (E^c\cap F)=F$ 以及 $(E\cap F)\cap (E^c\cap F)=\varnothing$, 由概率的有限可加性可得$$\mathbb{P}(F)=\mathbb{P}((E\cap F)\cup (E^c\cap F))=\mathbb{P}(E\cap F)+\mathbb{P}(E^c\cap F),$$再移项即可.
2.	当 $E\subseteq F$ 时, 有 $E\cap F=E$, 故由第 1 条性质以及概率的非负性可得$$0\le \mathbb{P}(E^c\cap F)=\mathbb{P}(F)-\mathbb{P}(E\cap F)=\mathbb{P}(F)-\mathbb{P}(E),$$从而 $\mathbb{P}(E)\le \mathbb{P}(F)$.
3.	注意到$$E\cup F=E\cup (F\cap E^c),E\cap (F\cap E^c)=\varnothing ,$$故$$\mathbb{P}(E\cup F)=\mathbb{P}(E)+\mathbb{P}(F\cap E^c),$$再由第 1 条性质得$$\mathbb{P}(E\cup F)=\mathbb{P}(E)+\mathbb{P}(F)-\mathbb{P}(E\cap F).$$$\square$

由等式 $\mathbb{P}(E\cup F)=\mathbb{P}(E)+\mathbb{P}(F)-\mathbb{P}(E\cap F)$ 以及概率的非负性, 可得$$\mathbb{P}(E\cup F)\le \mathbb{P}(E)+\mathbb{P}(F).$$对于有限个事件的情形, 则有如下推广的结果:

定理 1.4.4. 给定 $n$ 个事件 $E_1,\dots ,E_n$, 我们有$$\mathbb{P}(E_1\cup \cdots \cup E_n)\le \sum _{i=1}^n\mathbb{P}(E_i),\text{\hspace{1em}(Boole 不等式)}$$以及$$\mathbb{P}(E_1\cap \cdots \cap E_n)\ge 1-\sum _{i=1}^n(1-\mathbb{P}(E_i)).\text{\hspace{1em}(Bonferroni 不等式)}$$

证明. Boole 不等式可对 $n$ 做数学归纳法证得: 对于初始情况, 显然有 $\mathbb{P}(E_1)\le \mathbb{P}(E_1)$; 而若 $\mathbb{P}\left(E_1\cup \cdots E_n\right)\le {\sum }_{i=1}^n\mathbb{P}(E_i)$, 则$$\begin{array}{rl}\mathbb{P}\left(E_1\cup \cdots \cup E_{n+1}\right)& =\mathbb{P}\left((E_1\cup \cdots \cup E_n)\cup E_{n+1}\right)\\ & \le \mathbb{P}(E_1\cup \cdots \cup E_n)+\mathbb{P}(E_{n+1})\\ & \le \mathbb{P}(E_1)+\cdots +\mathbb{P}(E_n)+\mathbb{P}(E_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}\mathbb{P}(E_i),\end{array}$$其中第二部用到了两个事件之并的概率上界, 而第三部则用到了归纳假设.

Bonferroni 不等式可看成 Boole 不等式的推论: $$\begin{array}{rl}\mathbb{P}(E_1\cap \cdots \cap E_n)& =\mathbb{P}\left({\left(E_1^c\cup \cdots \cup E_n^c\right)}^c\right)\\ & =1-\mathbb{P}\left(E_1^c\cup \cdots \cup E_n^c\right)\\ & \ge 1-\sum _{i=1}^n\mathbb{P}(E_i^c)=1-\sum _{i=1}^n(1-\mathbb{P}(E_i)),\end{array}$$其中第一步用到了德·摩根律, 而第二步以及最后一步用到了 $\mathbb{P}(E^c)=1-\mathbb{P}(E)$.

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