1.2. 集合论回顾

数学上, 集合 (set) 的严格定义由公理集合论给出, 然而对公理集合论的介绍超出了本课程的要求. 本节不对集合这一基本概念进行严格的定义, 读者可直观上将一个集合理解为一组确定性对象组成的整体, 这组对象被称为该集合的元素. 特别地, 集合具有如下性质:

1.	给定任意的对象 $x$ 与集合 $A$, 要么 $x$ 是 $A$ 的元素 (或者说 $x$ 属于 $A$, 记作 $x\in A$), 要么 $x$ 不是 $A$ 的元素 (或者说 $x$ 不属于 $A$, 记作 $x\notin A$).
2.	两个集合 $A$ 与 $B$ 相等, 当且仅当 $A$ 的所有元素也都是 $B$ 的元素, 且 $B$ 的所有元素也都是 $A$ 的元素. 换句话说, $A=B$ 当且仅当对任意的 $x\in A$ 均有 $x\in B$, 且对任意的 $x\in B$ 均有 $x\in A$.

不包含任何元素的集合被称为空集 (empty set), 在本讲义中用 $\varnothing$ 表示. 换句话说, 对任意对象 $x$, 均有 $x\notin \varnothing$. 其它一些常见的集合包括自然数集 $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$、正整数集 ${\mathbb{N}}_{+}=\{1,2,3,\dots \}$、整数集 $\mathbb{Z}=\{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\dots \}$、有理数集 $\mathbb{Q}$、实数集 $\mathbb{R}$ 等.

给定集合 $A$ 与 $B$, 我们称 $A$ 是 $B$ 的子集 (subset, 记作 $A\subseteq B$), 若 $A$ 的所有元素都是 $B$ 的元素 (即对任意 $x\in A$ 均有 $x\in B$). 注意到对任意集合 $A$, 均有 $A\subseteq A$ 以及 $\varnothing \subseteq A$. 一个集合 $A$ 的所有子集可以构成一个集合, 称作 $A$ 的幂集 (power set), 在本讲义中记作 $2^A$.

设 $A$ 为一集合, 而 $\phi (x)$ 为一关于变量 $x$ 的命题. 若对任意对象 $x$, $x\in A$ 当且仅当命题 $\phi (x)$ 成立, 则我们可将集合 $A$ 表示为 $\{x\mid \phi (x)\}$ 或 $\{x:\phi (x)\}$. 需要注意的是, 并非所有关于 $x$ 的命题 $\phi (x)$ 都能按照这种方式给出相应的集合 ¹．但另一方面, 公理集合论允许按如下方式构造集合: 给定集合 $A$ 与关于 $x$ 的命题 $\phi (x)$, $A$ 中所有满足命题 $\phi (x)$ 的元素 $x$ 可构成一集合, 记作 $\{x\in A\mid \phi (x)\}$ 或 $\{x\in A:\phi (x)\}$. 例如, $\mathbb{R}$ 当中的开区间与闭区间可表示为 ²$$\left]a,b\right[=\{x\in \mathbb{R}\mid a<x<b\},[a,b]=\{x\in \mathbb{R}\mid a\le x\le b\}.$$本讲义中, “区间” 这个概念也包括形如 $\left]-\infty ,b\right]=\{x\in \mathbb{R}\mid x\le b\}$ 的无限区间, 以及形如 $[a,a]=\{a\}$ 的单点集.

我们称一个无限集 $A$ 是可数无限集 (countably infinite set) 或可列集 (denumerable set), 若它的所有元素可以被一个序列所穷尽, 也就是说存在一个序列 $(a_n{)}_{n=1}^{\infty }$, 使得$$A=\{a_1,a_2,a_3,\dots \}$$我们用 (至多) 可数集 (countable set) 来称呼有限或可列的集合. 不是可数集的集合被称作不可数集 (uncountable set). 可以证明:

•	可数集的子集仍是可数集.
•	若一个映射 $f$ 的定义域为可数集 $S$, 那么这个映射的像集$$\mathrm{Im}f=\{f(s)\mid s\in S\}$$也是可数集.

在常见的集合中, 自然数集 $\mathbb{N}$、正整数集 ${\mathbb{N}}_{+}$、整数集 $\mathbb{Z}$、有理数集 $\mathbb{Q}$ 为可数无限集, 而实数集 $\mathbb{R}$、欧氏空间 ${\mathbb{R}}^n$、欧氏空间中的开集为不可数集.

接下来我们回顾一些常见的集合运算:

•	给定任意集合 $A$ 与 $B$, 它们的并集 (union, 记作 $A\cup B$) 是恰好包含所有属于 $A$ 或属于 $B$ 的对象的集合, 即 $A\cup B=\{x\mid x\in A\text{或}x\in B\}$. 两个集合的并集运算满足如下交换律与结合律: $$A\cup B=B\cup A,(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C).$$由此不难将并集运算推广到有限多个集合上.
•	给定任意集合 $A$ 与 $B$, 它们的交集 (intersection, 记作 $A\cap B$) 是恰好包含所有既属于 $A$ 也属于 $B$ 的对象的集合, 即 $A\cap B=\{x\mid x\in A\text{且}x\in B\}$. 两个集合的交集运算满足如下交换律与结合律: $$A\cap B=B\cap A,(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C).$$由此不难将交集运算推广到有限多个集合上.
•	更一般地, 设 $\mathcal{I}$ 为某个非空集合 (可以是有限集、可数无限集或不可数无限集), 且每个 $i\in \mathcal{I}$ 都对应于一个集合 $A_i$, 则所有 $A_i$ 的并集 ${\bigcup }_{i\in \mathcal{I}}{A}_i$ 被定义为$$\bigcup _{i\in \mathcal{I}}{A}_i=\left\{x\mid \text{存在某个 i∈I 使得 x∈Ai}\right\}.$$所有 $A_i$ 的交集 ${\bigcap }_{i\in \mathcal{I}}{A}_i$ 被定义为$$\bigcap _{i\in \mathcal{I}}{A}_i=\left\{x\mid \text{对任意 i∈I 均有 x∈Ai}\right\}.$$当 $\mathcal{I}={\mathbb{N}}_{+}$ 时, 我们通常将 ${\bigcup }_{i\in \mathcal{I}}{A}_i$ 与 ${\bigcap }_{i\in \mathcal{I}}{A}_i$ 分别记为 ${\bigcup }_{i=1}^{\infty }{A}_i$ 与 ${\bigcap }_{i=1}^{\infty }{A}_i$. 例如, $$\begin{array}{rl}\bigcup _{i=1}^{\infty }\left[0,\frac{i}{i+1}\right]& =\left\{x|\text{存在正整数 i 使得}x\in \left[0,\frac{i}{i+1}\right]\right\}\\ & =\{x\in \mathbb{R}\mid 0\le x<1\}=[0,1[.\end{array}$$又如, $$\begin{array}{rl}\bigcap _{i=1}^{\infty }\left]0,\frac{1}{i}\right[& =\left\{x|\text{对任意正整数 i 均有}x\in \left]0,\frac{1}{i}\right[\right\}\\ & =\left\{x\in \mathbb{R}|x>0\text{且对任意正整数i均有}x<\frac{1}{i}\right\}=\varnothing .\end{array}$$ 可以证明, 当 $\mathcal{I}$ 为可数集且每个 $A_i$ 都是可数集时, 并集 ${\bigcup }_{i\in \mathcal{I}}{A}_i$ 依然是可数集, 或者说, 可数个可数集的并集为可数集. 而对于交集 ${\bigcap }_{i\in \mathcal{I}}{A}_i$, 由于它包含于任一 $A_i$ 当中, 故只要存在某个 $i\in \mathcal{I}$ 使得 $A_i$ 是可数集, 则交集 ${\bigcap }_{i\in \mathcal{I}}{A}_i$ 就是可数集.
•	给定集合 $A,B$, 差集 $A\backslash B$ 为恰好包括所有属于 $A$ 但不属于 $B$ 的对象的集合, 即 $A\backslash B=\{x\in A\mid x\notin B\}$. 当集合 $B$ 是集合 $A$ 的子集时, 我们也称集合 $A\backslash B$ 是集合 $B$ 在集合 $A$ 中的 补集 (complement). 特别是, 当集合 $A$ 已经事先给定且不会产生歧义时, 我们也会用 $B^c$ 来表示 $B$ 在 $A$ 中的补集. 注意到此时有 $(B^c{)}^c=B$.
•	关于并集、交集与差集, 还有如下运算律成立: 1. 分配律: $$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C),A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C).$$更一般地, 设 $\mathcal{I}$ 为任意非空集合, 每个 $i\in \mathcal{I}$ 对应于一个集合 $B_i$, 则$$A\cup \left(\bigcap _{i\in \mathcal{I}}{B}_i\right)=\bigcap _{i\in \mathcal{I}}(A\cup B_i),A\cap \left(\bigcup _{i\in \mathcal{I}}{B}_i\right)=\bigcup _{i\in \mathcal{I}}(A\cap B_i).$$ 2. 德·摩根律 (De Morgan’s laws): 设 $A,B$ 均为某个集合 $U$ 的子集, 则$$(A\cup B{)}^c=A^c\cap B^c,(A\cap B{)}^c=A^c\cup B^c,$$其中的 ${}^c$ 均表示在 $U$ 中的补集. 更一般地, 设 $\mathcal{I}$ 为任意非空集合, 每个 $i\in \mathcal{I}$ 对应于 $U$ 的一个子集 $A_i$, 则有$${\left(\bigcup _{i\in \mathcal{I}}{A}_i\right)}^c=\bigcap _{i\in \mathcal{I}}{A}_i^c,{\left(\bigcap _{i\in \mathcal{I}}{A}_i\right)}^c=\bigcup _{i\in \mathcal{I}}{A}_i^c.$$
•	给定集合 $A,B$, 我们将所有形如 $(a,b)$ 的有序对 (其中 $a\in A,b\in B$) 构成的集合称作 $A$ 与 $B$ 的 笛卡尔积 (Cartesian product), 记作 $A\times B$, 即$$A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\}.$$类似地, 也可定义有限个集合的笛卡尔积. 特别是, 对任意集合 $A$, 我们定义$$A^n=\{(a_1,\dots ,a_n)\mid a_i\in A,\forall i=1,\dots ,n\}.$$例如, ${\mathbb{R}}^n$ 即为所有形如 $(x_1,\dots ,x_n)$ 的 $n$ 维实向量构成的集合. 可以证明, 有限个可数集的笛卡尔积依然是可数集.

在部分教材中, 交集 $A\cap B$ 有时也被记为 $AB$, 差集 $A\backslash B$ 有时也被记为 $A-B$, 补集 $B^c$ 有时也被记为 $\overline{B}$.

脚注

1.	^ 例如对于命题 $x\notin x$ 就不存在相应的集合 $\{x\mid x\notin x\}$, 否则会导致罗素悖论.
2.	^ 本讲义中用 $]a,b[$ 而非 $(a,b)$ 表示开区间, 这是为了不和二元有序对 $(a,b)$ 相混淆.