2.3. 离散型随机向量

许多情况下, 我们关心不止一个随机变量, 而是多个随机变量 $X_1,\dots ,X_n$, 且不止关心它们各自的统计规律, 还需要研究它们的相互关系, 此时将这些随机变量作为整体来研究则尤为重要.

定义 2.3.1. 给定 $n$ 个随机变量 $X_1,\dots ,X_n$, 我们将它们构成的有序组 $(X_1,\dots ,X_n)$ 称为 $\mathbf{n}$ 维随机向量 ($n$-dimensional random vector).

我们也可以将随机向量 $(X_1,\dots ,X_n)$ 看作是将任一样本点 $\omega \in \Omega$ 对应到 $n$ 维向量 $(X_1(\omega ),\dots ,X_n(\omega ))\in {\mathbb{R}}^n$ 的一个映射. 在本讲义中, 我们有时用大写粗体字母 (如 $\mathbf{X},\mathbf{Y}$) 表示一个随机向量, 并用 $\mathbf{X}(\omega )$ 表示 $(X_1(\omega ),\dots ,X_n(\omega ))$.

注 2.3.2. 在本讲义中, 为了符号上的便利, 我们将形如 $(a_1,\dots ,a_n)$ 的有序组 (包括数组和随机向量) 均看作列向量 (即 $n\times 1$ 维矩阵).

本章中我们关注由离散型随机变量构成的随机向量. 为教学上的方便, 我们主要介绍二维随机向量的相关概念与结果, 但这些概念与结果通常不难推广到一般的 $n$ 维情况.

定义 2.3.3. 若 $X,Y$ 均为离散型随机变量, 则称 $(X,Y)$ 为离散型随机向量, 其联合分布列 (joint probability mass function, joint p.m.f.) 被定义为函数$$p_{X,Y}(x,y)=\mathbb{P}(X=x,Y=y),(x,y)\in {\mathbb{R}}^2,$$在不产生混淆的情况下, 也可将联合分布列简称为分布列.

与一维情形的定理 2.2.3、2.2.4 类似, 对于离散型随机向量 $(X,Y)$, 不难证明其联合分布列 $p_{X,Y}$ 具有如下性质:

•	对任意 $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, 均有 $p_{X,Y}(x,y)\ge 0$.
•	$\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid p_{X,Y}(x,y)>0\}$ 为可数集.
•	$\sum _{(x,y)}{p}_{X,Y}(x,y)=1$.

而若某个函数 $p:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ 满足上述三条性质, 则存在概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 及定义在 $\Omega$ 上的离散型随机向量 $(X,Y)$ 使其联合分布列为 $p$.

此外, 利用概率的可数可加性不难证明, 对任意 $B\subseteq {\mathbb{R}}^2$, 均有$$\mathbb{P}((X,Y)\in B)=\sum _{(x,y)\in B}{p}_{X,Y}(x,y).$$(2.3.1)

例 2.3.4 (离散型随机向量的函数的分布). 本例可看成例 2.2.5 的推广. 设 $(X,Y)$ 为一离散型随机向量, $g:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ 为二元实值函数, 令 $Z=g(X,Y)$. 则随机变量 $Z$ 的值域为$$\begin{array}{rl}\mathrm{Im}Z& =\left\{g(X(\omega ),Y(\omega ))\mid \omega \in \Omega \right\}\\ & =\left\{g(x,y)\mid (x,y)\in \mathrm{Im}(X,Y)\right\},\end{array}$$由于 $\mathrm{Im}(X,Y)\subseteq \mathrm{Im}X\times \mathrm{Im}Y$ 为可数集, 故 $\mathrm{Im}Z$ 也是可数集, 因此 $Z$ 也是离散型随机变量, 其分布列为$$\begin{array}{r}{p}_Z(z)=\sum _{\begin{array}{c}(x,y):\\ g(x,y)=z\end{array}}{p}_{X,Y}(x,y),\forall z\in \mathbb{R}.\end{array}$$上式的推导过程与一维情形的例 2.2.5 类似, 请读者自行完成.

边缘分布

设 $(X,Y)$ 为 $2$ 维随机向量, $p_{X,Y}$ 为其联合分布列. 我们将分量 $X$ 的分布列 $p_X$ 称为 $p_{X,Y}$ 关于第 1 个分量的边缘分布列 (marginal probability mass function, marginal p.m.f.), 类似地将 $Y$ 的分布列 $p_Y$ 称为 $p_{X,Y}$ 关于第 2 个分量的边缘分布列.

以下定理指出, 对于离散型随机向量, 其边缘分布列由联合分布列唯一确定:

定理 2.3.5. 设 $(X,Y)$ 为离散型随机向量, $p_{X,Y}$ 为其联合分布列, 则 $p_{X,Y}$ 关于第 1 个分量的边缘分布列 (即 $X$ 的分布列) 为$$\begin{array}{rl}{p}_X(x)=& \sum _y{p}_{X,Y}(x,y),\forall x\in \mathbb{R}.\end{array}$$换句话说, 为求得 $p_X(x)$, 我们将 $x$ 固定后, 对所有 (大于 $0$ 的) $p_{X,Y}(x,y)$ 求和. 类似地, $p_{X,Y}$ 关于第 2 个分量的边缘分布列 (即 $Y$ 的分布列) 为$$\begin{array}{rl}{p}_Y(y)=& \sum _x{p}_{X,Y}(x,y),\forall y\in \mathbb{R}.\end{array}$$

上述定理的证明是概率可数可加性的直接应用, 这里就不给出具体过程了.