1. 分类空间

示性类的理论可以从多个观点出发而建立. 在本节中, 我们从分类空间的观点开始. 从拓扑的角度看, 这种观点是最简洁、最本质的. 但从几何的角度看, 这种观点有时难以应用到实际的计算中. 因此, 在几节之后, 我们会从另一种几何的观点出发, 来重新讨论流形上的示性类理论.

每个拓扑群 $G$ 都有一个分类空间, 记为 $\mathrm{B}G$. 这是一个拓扑空间, 借助它, 我们就能知道任何空间 $X$ 上的 $G$-主丛的所有同构类. 通过这个空间的信息, 我们能给出主丛的一些拓扑不变量, 这就是示性类.

带结构的纤维丛

我们从一些基本的定义开始.

定义 1.1. 拓扑空间 $B$ 上的纤维丛 (fibre bundle) 是一个映射$$p:E\to B,$$它满足以下条件.

•	(局部平凡性) 对每个 $b\in B$, 存在 $b$ 的邻域 $U$, 使得有交换图$$p^{-1}(U)U\times FU\text{ ,}\phi \simeq p{\mathrm{pr}}_1$$其中 $F=p^{-1}(b)$ 是映射 $p$ 的纤维, $\phi$ 是同胚.

特别地, $B$ 的同一连通分支上的所有纤维都同胚.

当我们提到 $B$ 上的纤维丛时, 我们总是假定取好了 $B$ 一个开覆盖 $\{U_{\alpha }\}$, 使得局部平凡性在每个开集上成立, 并且选好了上面的交换图中的映射$${\phi }_{\alpha }:p^{-1}(U_{\alpha })\simeq U_{\alpha }\times F_{\alpha }.$$对于 $b\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }$, 以上信息给出了纤维 $F=p^{-1}(b)$ 的自同胚$${\phi }_{\beta }^{-1}\circ {\phi }_{\alpha }:F\simeq F.$$这个自同胚称为转移映射 (transition map).

定义 1.2. 设 $B$ 是拓扑空间, 记 $\mathbb{K}$ 为 $\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}$ 之一. $B$ 上的 $\mathbb{K}$-向量丛 (vector bundle) 是一个纤维丛$$p:E\to B,$$其纤维都是 $\mathbb{K}$-线性空间, 且转移映射是线性映射.

定义 1.3. 设 $G$ 是拓扑群, $B$ 是拓扑空间. $B$ 上的 $G$-主丛 (principal bundle) 是一个纤维丛$$p:E\to B,$$其中 $E$ 带有一个保持纤维的右 $G$-作用, 使得每个纤维作为 $G$-空间同构于 $G$.

为了叙述方便, 我们将这一类定义统一起来.

定义 1.4. 设 $\text{C}$ 是群胚, 带有函子 $\text{C}\to \text{Top}$. 设 $B$ 是拓扑空间. $B$ 上的 $\text{C}$-丛是一个纤维丛$$p:E\to B,$$其每个纤维来自一个 $\text{C}$ 的对象, 其转移映射来自 $\text{C}$ 中相应对象间的映射.

这一定义描述了具有额外结构的纤维丛. 我们可以得到 $B$ 上所有 $\text{C}$-丛构成的范畴, 记为$${\text{Bund}}_{\text{C}}(B),$$其中的态射是保持纤维的连续映射, 使得所有纤维之间的映射都来自 $\text{C}$ 中相应对象间的映射. 这样的态射自动是可逆的.

例如, 对于纤维丛和主丛而言, 我们分别取了 $\text{C}=\{\mathbb{K}\text{-向量空间}\}$ 和 $\text{C}=\{G\text{-齐性空间}\}$. 后一种情况下, 我们使用记号 ${\text{Bund}}_G(B)$.

记号 1.5. 对 $\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}$, 记 $\text{Vect}(n,\mathbb{K})$ 为所有 $n$ 维 $\mathbb{K}$-向量空间构成的群胚. 对拓扑群 $G$, 记 $\text{Hmg}(G)$ 为所有 $G$-齐性空间构成的群胚.

命题 1.6. 设 $\text{C},\text{D}$ 是满足上述条件的群胚, $F:\text{C}\to \text{D}$ 是任一函子. 则对任何空间 $B$, 有诱导的函子$$F_{\ast }:{\text{Bund}}_{\text{C}}(B)\to {\text{Bund}}_{\text{D}}(B),$$它把一个纤维为 $X$ 的丛映到一个纤维为 $F(X)$ 的丛. 并且, 这一构造关于 $F$ 是函子性的.

$\square$

注 1.7. 这意味着 ${\text{Bund}}_{(-)}(B):{\text{Gpd}}_{/\text{Top}}\to \text{Gpd}$ 是一个 $2$-函子.

例 1.8. 在上述命题中, 如果令$$F=\oplus :\text{Vect}(n,\mathbb{K})\times \text{Vect}(m,\mathbb{K})\to \text{Vect}(n+m,\mathbb{K}),$$那么对空间 $B$ 上的两个向量丛 $E_1$ 和 $E_2$, 我们可以得到 $B$ 上新的向量丛$$E_1\oplus E_2={\oplus }_{\ast }(E_1,E_2).$$类似地, 我们可以定义向量丛的张量积、外代数、$\mathrm{Hom}$、对偶, 等等.

给定 $n$ 维 $\mathbb{K}$-向量空间 $X$, 其所有标架 (frame, 即有序基) 构成的空间是一个 $\mathrm{G}\mathrm{L}(n,\mathbb{K})$-齐性空间. 这定义了一个函子$$F:\text{Vect}(n,\mathbb{K})\to \text{Hmg}(\mathrm{G}\mathrm{L}(n,\mathbb{K})),$$它把向量空间变成对应的 $\mathrm{G}\mathrm{L}(n,\mathbb{K})$-齐性空间.

定义 1.9. 设 $E$ 是空间 $B$ 上的 $n$ 维 $\mathbb{K}$-向量丛, 其中 $\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}$. 设 $F$ 是上述的标架函子. 则 $\mathrm{G}\mathrm{L}(n,\mathbb{K})$-主丛$$F_{\ast }(E)\to B$$称为 $E$ 的标架丛 (frame bundle).

因为在 $F$ 的作用下, 向量空间的自同构恰好与 $\mathrm{G}\mathrm{L}(n,\mathbb{K})$-齐性空间的自同构相对应, 所以 $F$ 是可逆的. 因此, 我们有自然的同构$${\text{Bund}}_{\text{Vect}(n,\mathbb{K})}(B)\simeq {\text{Bund}}_{\mathrm{G}\mathrm{L}(n,\mathbb{K})}(B).$$因此, 在术语上, 我们不再区分向量丛和它对应的 $\mathrm{G}\mathrm{L}(n,\mathbb{K})$-主丛.

同伦不变性

定义 1.10. 设 $f:X\to Y$ 是连续映射, $E$ 是 $Y$ 上的 $\text{C}$-丛. $E$ 的拉回 (pullback) 是拓扑空间的纤维积 $f^{\ast }E=X{\times }_{Y}E$, 它是 $X$ 上的 $\text{C}$-丛.

直观地看, 向量丛 $f^{\ast }E$ 由下面的描述而决定: 它在 $x\in X$ 处的纤维 “自然地” 等于 $E$ 在 $f(x)\in Y$ 处的纤维.

定义 1.11. 一个 Hausdorff 空间称为仿紧 (paracompact) 的, 如果每个开覆盖都有局部有限的开加细.

仿紧性是较弱的点集拓扑性质, 例如, 所有流形、CW 复形都是仿紧的. 在本文中, 我们只对仿紧的空间感兴趣.

定理 1.12 (同伦不变性). 设 $E\to Y$ 是 $\text{C}$-丛. 如果 $X$ 是仿紧空间, $f_0,f_1:X\to Y$ 是同伦的映射, 那么有 $X$ 上的 $\text{C}$-丛的同构$$f_0^{\ast }E\simeq f_1^{\ast }E.$$

证明. 我们只对 $X$ 紧的情况给出证明. 设$$h:X\times I\to Y$$是 $f_0$ 到 $f_1$ 的同伦. 则 $h^{\ast }E$ 是 $X\times I$ 上的 $\text{C}$-丛. 我们想要构造 $X\times I$ 上两个 $\text{C}$-丛之间的同构$$\Phi :f_0^{\ast }E\times I\simeq h^{\ast }E.$$

选取 $X$ 的有限开覆盖 $\{U_i{\}}_{i=1}^n$, 选取 $\epsilon >0$, 并选取$$0=t_0<t_1<\cdots <t_r=1,$$使得 $h^{\ast }E$ 在每个 “方块” $U_i\times I_j$ 上是平凡丛, 其中 $I_j=I\cap (t_{j-1}-\epsilon ,t_j+\epsilon )$.

我们对 $j$ 归纳, 假设 $\Phi$ 已经在 $X\times [0,t_j]$ 上定义好了.

对每个 $i$, 选取开集 $W_i\subset V_i\subset U_i$, 其中每个开集的闭包都含于下一个开集, 且 $\{W_i\}$ 仍覆盖 $X$. 由 Урысон 引理, 对每个 $i$, 可选取函数 $u_i:X\to [t_j,t_{j+1}]$, 使得$$u_i^{-1}(t_j)=X\setminus V_i,u_i^{-1}(t_{j+1})=\overline{W_i}.$$对 $x\in X$, 定义 $v_0(x)=t_j$, 并定义$$v_i(x)=\max (u_1(x),\dots ,u_i(x)).$$则有 $t_j=v_0(x)\le v_1(x)\le \cdots \le v_n(x)=t_{j+1}$. 定义 $B_i=\{(x,t)\mid t_j\le t\le v_i(x)\}$. 则$$X\times t_j=B_0\subset B_1\subset \cdots \subset B_n=X\times [t_j,t_{j+1}].$$

现在, 我们对 $i$ 归纳, 假设 $\Phi$ 已经在 $B_{i-1}$ 上定义好了.

由于上面的构造, $B_i\setminus B_{i-1}\subset V_i\times [t_j,t_{j+1}]$, 并且, $\overline{V_i}\times [t_j,t_{j+1}]\subset U_i\times I_j$. 对 $(e,t)\in (f_0^{\ast }E\times I){|}_{B_i\setminus B_{i-1}}$, 定义$$\Phi (e,t)={\phi }_i(x,t,\rho \circ \Phi (e,v_{i-1}(x))),$$其中 $x\in X$ 是 $e$ 对应的点, ${\phi }_i:U_i\times I_j\times F\simeq h^{\ast }E{|}_{U_i\times I_j}$ 是局部平凡化映射, $F$ 表示纤维, $\rho :h^{\ast }E{|}_{U_i\times I_j}\to F$ 是先局部平凡化, 再投影到 $F$. 我们就完成了构造. 请读者验证我们确实得到了 $\text{C}$-丛的同构.

$\square$

推论 1.13. 如果 $X$ 是可缩的仿紧空间, 那么 $X$ 上的所有 $\text{C}$-丛都是平凡的.

$\square$

分类空间

设 $E\to B$ 是 $\text{C}$-丛, $X$ 是仿紧空间. 则有良好定义的映射$$\begin{array}{rl}[X,B]& \to {\mathrm{B}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}}_{\text{C}}(X)\\ f& \mapsto f^{\ast }(E),\end{array}$$其中 $[X,B]$ 是映射的同伦类的集合, ${\mathrm{B}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}}_{\text{C}}(X)$ 是 $\text{C}$-丛的同构类的集合.

定义 1.14. 设 $G$ 是拓扑群. 一个 $G$-主丛$$\mathrm{E}G\to \mathrm{B}G$$称为万有 (universal) 的, 如果对任何仿紧空间 $X$, 映射$$\begin{array}{rl}[X,\mathrm{B}G]& \to {\mathrm{B}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}}_G(X)\\ f& \mapsto f^{\ast }(\mathrm{E}G)\end{array}$$是集合的同构. 此时, $\mathrm{B}G$ 称为 $G$ 的分类空间 (classifying space).

把 $\mathrm{B}G$ 叫做分类空间的原因是, 通过它, 任何仿紧空间 $X$ 上的 $G$-主丛都可以被完全分类.

我们将会看到, $\mathrm{E}G$ 是可缩的. 因此, $\mathrm{B}G$ 可以看作同伦意义下的商空间$$\mathrm{B}G\simeq \text{“}\ast /G\text{”}.$$

例 1.15. 我们会看到, 任何一个全空间可缩的主丛都是万有的 (1.23). 因此, $$\begin{array}{rcl}\mathrm{B}\mathbb{Z}\simeq & \mathbb{R}/\mathbb{Z}& \simeq S^1,\\ \mathrm{B}{\mathbb{Z}}_2\simeq & S^{\infty }/{\mathbb{Z}}_2& \simeq {\mathbb{R}\mathbb{P}}^{\infty },\\ \mathrm{B}\mathbb{R}\simeq & \mathbb{R}/\mathbb{R}& \simeq \{\ast \}.\end{array}$$这里 $S^{\infty }$ 是无穷维球面, 它是一个可缩的 CW 复形.

习题 1.16. 对任意有限群 $G$, 通过 $G$ 的一个有限维自由酉表示, 给出 $G$ 在 $S^{\infty }\subset {\mathbb{C}}^{\infty }$ 上的一个自由作用, 从而给出 $\mathrm{B}G$ 的构造.

在说明分类空间的存在性之前, 我们先指出关于仿紧空间的两个事实.

事实 1.17. 设 $X$ 是仿紧空间, 设 $\{U_{\alpha }{\}}_{\alpha \in A}$ 是 $X$ 的一个开覆盖.

•	存在从属于此覆盖的单位分解, 即一族紧支连续函数$${\rho }_{\alpha }:U_{\alpha }\to [0,1],$$使得它们的支集局部有限, 并且对任意 $x\in X$, 有$$\sum _{\alpha \in A}{\rho }_{\alpha }(x)=1.$$
•	存在 $\{U_{\alpha }\}$ 一个开加细 $\{V_{\beta }\}$, 和 $X$ 的一个可数开覆盖 $\{W_n\}$, 使得每个开集 $W_n$ 都是某些开集 $V_{\beta }$ 的不交并.

证明. [Mun00, 定理 41.7] 和 [MS74, 引理 5.9].

$\square$

下面, 我们通过 Milnor 给出的构造 [Mil56], 说明 $\mathrm{B}G$ 的存在性.

定理 1.18. 每个拓扑群 $G$ 都有一个分类空间 $\mathrm{B}G$, 并且这个构造关于 $G$ 具有函子性.

证明. 设 $\mathrm{E}G$ 是所有序列$$(t_1{g}_1,t_2{g}_2,\dots )$$的集合, 其中

•	对每个 $i$, 有 $t_i\in [0,1]$, 和 $g_i\in G$.
•	这些 $t_i$ 中只有有限个非零, 且满足 ${\sum }_{i=1}^{\infty }{t}_i=1$.
•	对 $g,h\in G$, 形式乘积 $0g$ 和 $0h$ 被认为是相同的.

我们赋予 $\mathrm{E}G$ 作为余极限$$\underset{n\to \infty }{\mathrm{colim}}\{(t_1{g}_1,\dots ,t_n{g}_n,0,0,\dots )\in \mathrm{E}G\}$$的余极限拓扑, 这里余极限的每一项可看作 ${\prod }_{i=1}^n(I\times G)/(0\times G)$ 的子集.

我们定义 $G$ 在 $\mathrm{E}G$ 上的右作用如下: $$(t_1{g}_1,t_2{g}_2,\dots )\cdot g=(t_1(g_{1}g),t_2(g_{2}g),\dots ).$$这是一个自由作用. 因此, 如果我们定义$$\mathrm{B}G=\mathrm{E}G/G,$$则 $\mathrm{E}G$ 是 $\mathrm{B}G$ 上的 $G$-主丛.

我们验证这个主丛是万有的. 设 $E\to B$ 是任一 $G$-主丛, 其中 $B$ 是仿紧空间. 则 $B$ 有一个局部有限的开覆盖 $\{U_{\alpha }\}$, 使得 $E$ 限制在每个 $U_{\alpha }$ 上都是平凡丛. 由 (1.17), 我们可以通过取这些 $U_{\alpha }$ 的子集的不交并, 把开集的个数变成至多可数. 我们记之为 $\{U_1,U_2,\dots \}$.

由 (1.17), 我们取一组单位分解 $\{{\rho }_i:U_i\to [0,1]\}$, 并定义$$\begin{array}{rl}f:E& \to \mathrm{E}G,\\ x& \mapsto ({\rho }_1(x)g_1(x),{\rho }_2(x)g_2(x),\dots ),\end{array}$$其中 $g_i(x)\in G$ 是点 $x$ 在同胚$$p^{-1}(U_i)\simeq U_i\times G$$下对应的 $G$ 方向的坐标. 这个映射和 $G$ 的作用是相容的, 因此, 我们得到了诱导的映射$$\tilde{f}:B\to \mathrm{B}G,$$使得 $E$ 是 $\mathrm{E}G$ 沿 $\tilde{f}$ 的拉回.

我们还需要验证, 映射 $\tilde{f}$ 的同伦类与开覆盖和单位分解的选取无关. 我们略过这个细节 (读者不妨自己尝试). 这样, 我们就定义了映射$${\mathrm{Bund}}_G(B)\to [B,\mathrm{B}G],$$它是自然的映射 $[B,\mathrm{B}G]\to {\mathrm{Bund}}_G(B)$ 的逆映射, 从而是同构.

$\square$

注 1.19. 这里给出的 $\mathrm{E}G$ 的构造有一个几何解释. 对拓扑空间 $X,Y$, 我们定义它们的连接 (join) 为把 $X$ 的每个点和 $Y$ 的每个点连一条线段得到的空间. 准确地说, 我们定义$$X\star Y=(X\times Y\times I)/\sim ,$$其中等价关系 $\sim$ 定义为$$(x,y_1,0)\sim (x,y_2,0),(x_1,y,1)\sim (x_2,y,1).$$

连接具有结合律, 因为 $X\star Y\star Z$ 就是把 $X$ 的每个点、$Y$ 的每个点和 $Z$ 的每个点连一个实心三角形得到的空间.

不难验证, 我们给出的构造实际上是一个无穷的连接$$\mathrm{E}G\simeq G\star G\star G\star \cdots .$$

注 1.20. 对一般的 $\text{C}$-丛而言, 也有分类空间的构造, 这一构造就是拓扑群胚的几何实现 (geometric realisation).

习题 1.21. 验证 $\mathrm{E}G$ 是可缩的. (这与证明 $S^{\infty }$ 可缩的方法相同.)

对带基点的拓扑空间 $X$, 记 $\Sigma X$ 和 $\Omega X$ 分别为 $X$ 的悬挂 (suspension) 和圈空间 (loop space). 对 Hausdorff 空间而言, 它们满足伴随关系 $\Sigma ⊣\Omega$.

命题 1.22. 如果 $G$ 是 Hausdorff 拓扑群, 那么有弱同伦等价$$G\simeq \Omega \mathrm{B}G.$$换言之, $\mathrm{B}G$ 是 $G$ 的消圈 (delooping).

证明. 纤维丛 $\mathrm{E}G\to \mathrm{B}G$ 诱导了 Puppe 正合列$$\cdots \to \Omega \mathrm{E}G\to \Omega \mathrm{B}G\to G\to \mathrm{E}G\to \mathrm{B}G.$$因为 $\mathrm{E}G$ 可缩, 所以 $\Omega \mathrm{E}G$ 也可缩. 因此, 对任一带基点的 CW 复形 $X$, 我们有$$[X,\Omega \mathrm{B}G]\simeq [X,G].$$$\square$

命题 1.23. 如果 $G$ 是 Hausdorff 拓扑群, $E\to B$ 是 $G$-主丛, 且 $E$ 弱可缩, 那么有弱同伦等价$$B\simeq \mathrm{B}G.$$

证明. $E$ 对应的映射 $B\to \mathrm{B}G$ 诱导了两个 $G$-主丛的 Puppe 正合列的映射. 作用函子 $[X,-]$, 其中 $X$ 是带基点的 CW 复形, 并应用五引理, 得到$$[X,B]\simeq [X,\mathrm{B}G].$$$\square$

定义 1.24. 一个关于 $G$-主丛的示性类 (characteristic class) 是一个上同调类$$c\in H^{\bullet }(\mathrm{B}G;R),$$其中 $R$ 是系数环. 对于 $G$-主丛 $E\to X$, 记 $f:X\to \mathrm{B}G$ 为对应的映射, 定义$$c(E)=f^{\ast }(c)\in H^{\bullet }(X;R).$$

习题 1.25. 示性类可以如下等价地定义: 一个示性类 $c$ 是一个自然变换$$c:{\mathrm{B}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}}_G(-)\Rightarrow H^{\bullet }(-;R),$$其中两个函子都视为从仿紧空间的范畴到 $\text{Set}$ 的反变函子.

结构群的约化

设 $X$ 是仿紧空间, $\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}$. 我们已经分类了 $X$ 上的向量丛: $${\mathrm{B}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}}_{\text{Vect}(n,\mathbb{K})}(X)\simeq [X,\mathrm{B}\mathrm{G}\mathrm{L}(n,\mathbb{K})].$$由线性代数中的 Gram–Schmidt 过程, 我们知道, $\mathrm{G}\mathrm{L}(n,\mathbb{R})$ 可以形变收缩到正交群 $\mathrm{O}(n)$, 而 $\mathrm{G}\mathrm{L}(n,\mathbb{C})$ 可以形变收缩到酉群 $\mathrm{U}(n)$. 同样的道理, $\mathrm{G}\mathrm{L}(n,\mathbb{H})$ 可以形变收缩到四元数酉群$$\mathrm{S}\mathrm{p}(n)=\{A\in \mathrm{G}\mathrm{L}(n,\mathbb{H})\mid A^{-1}=(A\text{ 的共轭转置})\}.$$这里, 四元数 $a+b\mathrm{i}+c\mathrm{j}+d\mathrm{k}$ 的共轭定义为 $a-b\mathrm{i}-c\mathrm{j}-d\mathrm{k}$.

注 1.26. 这里的 $\mathrm{S}\mathrm{p}(n)$ 和辛群 $\mathrm{S}\mathrm{p}(n,\mathbb{K})$ 不是同一个东西! 它们的关系是$$\mathrm{S}\mathrm{p}(n)\simeq \mathrm{S}\mathrm{p}(2n,\mathbb{C})\cap \mathrm{U}(2n).$$这个同构通过嵌入 $\mathbb{H}\hookrightarrow {\mathrm{M}}_{2\times 2}(\mathbb{C})$ 诱导.

命题 1.27. 如果 $f:G\to H$ 是拓扑群的同态, 且是弱同伦等价, 那么 $\mathrm{B}f:\mathrm{B}G\to \mathrm{B}H$ 也是弱同伦等价.

证明. 对 $n\ge 1$, 我们有交换图$${\pi }_n(\mathrm{B}G){\pi }_{n-1}(\Omega \mathrm{B}G){\pi }_{n-1}(G){\pi }_n(\mathrm{B}H){\pi }_{n-1}(\Omega \mathrm{B}H){\pi }_{n-1}(H)\text{ .}{\pi }_n(\mathrm{B}f)\simeq {\pi }_{n-1}(\Omega \mathrm{B}f)\simeq \simeq {\pi }_{n-1}(f)\simeq \simeq$$因此, ${\pi }_n(\mathrm{B}f)$ 是同构. 而 $\mathrm{B}G,\mathrm{B}H$ 都是道路连通的, 所以 ${\pi }_0(\mathrm{B}f)$ 也是同构.

$\square$

推论 1.28. 我们有弱同伦等价$$\begin{array}{rl}\mathrm{B}\mathrm{G}\mathrm{L}(n,\mathbb{R})& \simeq \mathrm{B}\mathrm{O}(n),\\ \mathrm{B}\mathrm{G}\mathrm{L}(n,\mathbb{C})& \simeq \mathrm{B}\mathrm{U}(n),\\ \mathrm{B}\mathrm{G}\mathrm{L}(n,\mathbb{H})& \simeq \mathrm{B}\mathrm{S}\mathrm{p}(n).\end{array}$$$\square$

下一节, 我们将说明这些弱同伦等价实际上是同伦等价.