2. Graßmann 流形的上同调

在本节中, 我们通过 $\mathrm{B}\mathrm{G}\mathrm{L}(n,\mathbb{K})$ 的一个具体的构造, 来找出向量丛的所有示性类. 当然, 本节的标题已经不小心透露了这个构造——向量丛的分类空间就是 Graßmann 流形. 我们回忆, 向量丛的示性类就是分类空间的上同调类, 所以在这一节里, 我们要计算 Graßmann 流形的上同调环.

Graßmann 流形

定义 2.1. 设 $0\le n\le N$. 我们定义 Stiefel 流形 $V_n({\mathbb{K}}^N)$ 和 Graßmann 流形 $G_n({\mathbb{K}}^N)$ 如下: $$\begin{array}{rl}{V}_n({\mathbb{K}}^N)& =\{{\mathbb{K}}^N\text{ 中所有线性无关的 }n\text{ 元有序向量组}\},\\ G_n({\mathbb{K}}^N)& =\{{\mathbb{K}}^N\text{ 的所有 }n\text{ 维线性子空间}\}.\end{array}$$它们都带有自然的拓扑, 以及光滑流形结构. 定义$$\begin{array}{rl}{V}_n({\mathbb{K}}^{\infty })& =\underset{N\to \infty }{\mathrm{colim}}{V}_n({\mathbb{K}}^N),\\ G_n({\mathbb{K}}^{\infty })& =\underset{N\to \infty }{\mathrm{colim}}{G}_n({\mathbb{K}}^N),\end{array}$$其中余极限由映射 ${\mathbb{K}}^N\hookrightarrow {\mathbb{K}}^{N+1}\hookrightarrow \cdots$ 诱导.

自然地, Stiefel 流形是 Graßmann 流形上的纤维丛:$$\mathrm{G}\mathrm{L}(n,\mathbb{K})\to V_n({\mathbb{K}}^N)\to G_n({\mathbb{K}}^N).$$这是一个 $\mathrm{G}\mathrm{L}(n,\mathbb{K})$-主丛. 它与映射 ${\mathbb{K}}^N\hookrightarrow {\mathbb{K}}^{N+1}$ 相容, 故有主丛$$\mathrm{G}\mathrm{L}(n,\mathbb{K})\to V_n({\mathbb{K}}^{\infty })\to G_n({\mathbb{K}}^{\infty }).$$

定理 2.2. 无穷维 Stiefel 流形 $V_n({\mathbb{K}}^{\infty })$ 是可缩的, 从而$$\mathrm{B}\mathrm{G}\mathrm{L}(n,\mathbb{K})\simeq G_n({\mathbb{K}}^{\infty }).$$

证明. 通过 ${\mathbb{K}}^{\infty }$ 的同伦$$(x_1,x_2,\dots )\mapsto (1-t)(x_1,x_2,\dots )+t(\underset{n}{\underbrace{0,\dots ,0}},x_1,x_2,\dots ),$$我们可以把 $V_n({\mathbb{K}}^{\infty })$ 移到前 $n$ 个坐标为 $0$ 的子空间中. 请读者验证, 在 $V_n$ 的定义中要求的线性无关性不会被打破. 接下来, 通过 $V_n({\mathbb{K}}^{\infty })$ 的同伦$$(v_1,\dots ,v_n)\mapsto (v_1+t{e}_1,\dots ,v_n+t{e}_n),$$最后把 ${\mathbb{K}}^{\infty }$ 中除了前 $n$ 个坐标以外的部分都压缩回 $0$, 我们就把 $V_n({\mathbb{K}}^{\infty })$ 形变收缩到了点 $(e_1,\dots ,e_n)$.

$\square$

我们可以用同样的方法, 构造出正交群、酉群和四元数酉群的万有主丛.

命题 2.3. 定义$$V_n^{\prime }({\mathbb{K}}^N)=\{{\mathbb{K}}^N\text{ 中所有标准正交的 }n\text{ 元有序向量组}\},$$其中 ${\mathbb{K}}^N$ 带有一个 Euclid 度量 ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ 时) 或一个 Hermite 度量 ($\mathbb{K}=\mathbb{C},\mathbb{H}$ 时). 类似地定义 $V_n^{\prime }({\mathbb{K}}^{\infty })$. 则自然的映射$$V_n^{\prime }({\mathbb{K}}^{\infty })\to G_n({\mathbb{K}}^{\infty })$$是正交群 ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ 时)、酉群 ($\mathbb{K}=\mathbb{C},\mathbb{H}$ 时) 的万有主丛.

证明. 只需要验证 $V_n^{\prime }({\mathbb{K}}^{\infty })$ 是可缩的. 请读者模仿上一个证明完成验证.

$\square$

推论 2.4. 我们有$$\begin{array}{rcl}\mathrm{B}\mathrm{G}\mathrm{L}(n,\mathbb{R})\simeq & G_n({\mathbb{R}}^{\infty })& \simeq \mathrm{B}\mathrm{O}(n),\\ \mathrm{B}\mathrm{G}\mathrm{L}(n,\mathbb{C})\simeq & G_n({\mathbb{C}}^{\infty })& \simeq \mathrm{B}\mathrm{U}(n),\\ \mathrm{B}\mathrm{G}\mathrm{L}(n,\mathbb{H})\simeq & G_n({\mathbb{H}}^{\infty })& \simeq \mathrm{B}\mathrm{S}\mathrm{p}(n).\end{array}$$特别地, $$\mathrm{B}\mathrm{O}(1)\simeq {\mathbb{R}\mathbb{P}}^{\infty },\mathrm{B}\mathrm{U}(1)\simeq {\mathbb{C}\mathbb{P}}^{\infty },\mathrm{B}\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\simeq {\mathbb{H}\mathbb{P}}^{\infty }.$$$\square$

这也说明, 任何空间上的 $\mathrm{G}\mathrm{L}(n,\mathbb{R})$-主丛和 $\mathrm{O}(n)$-主丛一样多. 类似的事实对 $\mathbb{K}=\mathbb{C},\mathbb{H}$ 也成立. 这样就证明了下面的结论, 虽然我们的证明路径大概是绕路最多的.

推论 2.5. 每个实向量丛都有 Euclid 度量. 每个复向量丛都有 Hermite 度量. 每个四元数向量丛都有 Hermite 度量.

$\square$

向量丛的示性类

由定义, 向量丛的示性类就是 Graßmann 流形的上同调环的元素. 因此, 我们想要计算出这个环.

我们从一些定义开始. 和上面一样, 我们记 $\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}$.

定义 2.6. 设 $p:E\to B$ 是 $\mathbb{K}$-向量丛, 设 $R$ 是环. 则 $E$ 的一个 $R$-定向 (orientation) 由以下信息组成:

•	对每个 $b\in B$, 选取了纤维 $p^{-1}(b)\simeq {\mathbb{K}}^n$ 的相对上同调类$$\pm 1\in H^{dn}({\mathbb{K}}^n,{\mathbb{K}}^n\setminus \{0\};R)\simeq R,$$其中 $d={\dim }_{\mathbb{R}}\mathbb{K}$. 即, 我们在 $\pm 1$ 这两个选项中选定了一个. 这些选取方式满足, 每个点 $b$ 处的选取方式与 $b$ 附近的选取方式是相容的.

如果存在这样的 $R$-定向, 就称 $E$ 为 $R$-可定向 (orientable) 的.

我们把严格的叙述留给读者完成.

定义 2.7. 我们说一个环 $R$ 是 $\mathbb{K}$-可定向的, 如果以下等价的条件成立:

•	要么 $\mathbb{K}=\mathbb{C},\mathbb{H}$, 要么 $2R=0$.
•	所有 $\mathbb{K}$-向量丛都是 $R$-可定向的.

注 2.8. 这个无聊的定义可以进一步推广. 我们知道, 每个系数环 $R$ 定义了一个上同调理论. 在更一般的情况下, 我们考虑由谱环定义的广义上同调理论, 例如 $K$-理论. 谱环的 $\mathbb{K}$-可定向性是有意思的性质, 但我们不详细讨论. 本节接下来的讨论对可定向的谱环也都适用.

定理 2.9. 设 $R$ 是 $\mathbb{K}$-可定向的环.

•	当 $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ 时, 有分次环的同构$$H^{\bullet }(\mathrm{B}\mathrm{O}(n);R)\simeq R[w_1,\dots ,w_n],$$其中 $\mathrm{deg}{w}_i=i$. 上同调类 $w_i$ 对应了实向量丛的示性类, 称为第 $i$ 个 Stiefel–Whitney 类.
•	当 $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ 时, 有分次环的同构$$H^{\bullet }(\mathrm{B}\mathrm{U}(n);R)\simeq R[c_1,\dots ,c_n],$$其中 $\mathrm{deg}{c}_i=2i$. 上同调类 $c_i$ 对应了复向量丛的示性类, 称为第 $i$ 个陈类.
•	当 $\mathbb{K}=\mathbb{H}$ 时, 有分次环的同构$$H^{\bullet }(\mathrm{B}\mathrm{S}\mathrm{p}(n);R)\simeq R[p_1,\dots ,p_n],$$其中 $\mathrm{deg}{p}_i=4i$. 上同调类 $p_i$ 对应了四元数向量丛的示性类, 称为第 $i$ 个 Понтрягин 类.

我们接下来的目标就是证明这个主要定理.

Thom 同构

假设我们有已定向的向量丛 $E\to B$. 那么, 每个纤维 ${\mathbb{K}}^n$ 上就选好了一个相对于 ${\mathbb{K}}^n\setminus \{0\}$ 的相对上同调类. 因为这些上同调类在局部上是相容的, 所以我们可以把它拼起来, 得到一个整体的上同调类$$u\in H^{dn}(E,E\setminus B;R),$$这里 $B$ 以明显的方式 (通过零截面) 嵌入到 $E$ 中. 下面, 我们严格地叙述和证明这个想法.

定义 2.10.

•	一个球丛 (sphere bundle) 是一个纤维为球面 $S^n$ 的纤维丛, 其转移映射是球的旋转或翻转 (即 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 的正交变换).
•	一个圆盘丛 (disk bundle) 是一个纤维为圆盘 $D^n$ 的纤维丛, 其转移映射是圆盘的旋转或翻转 (即正交变换).

定义 2.11. 设 $E\to B$ 是纤维为 ${\mathbb{R}}^n$ 的向量丛. 在这个向量丛上取一个 Euclid 度量.

•	在每个纤维上取出单位球面 $S^{n-1}$, 得到的球丛记为$$\mathrm{S}(E)\to B.$$
•	在每个纤维上取出单位圆盘 $D^n$, 得到的圆盘丛记为$$\mathrm{D}(E)\to B.$$
•	定义 $E$ 的 Thom 空间为商空间$$\mathrm{T}\mathrm{h}(E)=\mathrm{D}(E)/\mathrm{S}(E).$$Thom 空间可以看成是给 $E$ 的每个纤维添加一个共同的无穷远点得到的空间.

不难看出, Thom 空间的约化上同调就是 $(E,E\setminus B)$ 的相对上同调. 这也可以理解成 “在纤维方向上紧支” 的上同调. 如果这里 $B$ 是流形, $E$ 是光滑的向量丛, 那么上同调类可以用微分形式来代表. 如果使用那些在每个纤维上紧支的微分形式, 那么得到的 de Rham 复形的上同调就是这个上同调. 详细的讨论见 [BT82].

定理 2.12 (Thom 同构). 设 $E\to B$ 是 $R$-可定向的向量丛, 其纤维为 ${\mathbb{R}}^n$. 选取 $E$ 的一个 $R$-定向.

•	存在唯一的上同调类$$u\in {\tilde{H}}^n(\mathrm{T}\mathrm{h}(E);R),$$称为 Thom 类, 使得它限制在每个纤维 $S^n$ 上, 都是由定向确定的元素$$\pm 1\in {\tilde{H}}^n(S^n;R).$$
•	对每个 $q\in \mathbb{Z}$, 有同构$$\cup u:H^q(B;R)\simeq {\tilde{H}}^{q+n}(\mathrm{T}\mathrm{h}(E);R).$$这里, 我们约定负数上同调群为 $0$.

这里杯积 $\cup$ 的含义如下: 在代数拓扑中, 对任何拓扑空间 $A\subset X$, 有杯积$$\cup :H^{\bullet }(X)\otimes H^{\bullet }(X,A)\to H^{\bullet }(X,A).$$在这里, 我们取 $X=\mathrm{D}(E)$ 和 $A=\mathrm{S}(E)$. 则$$H^{\bullet }(\mathrm{D}(E))\simeq H^{\bullet }(B),H^{\bullet }(\mathrm{D}(E),\mathrm{S}(E))\simeq {\tilde{H}}^{\bullet }(\mathrm{T}\mathrm{h}(E)).$$

直观地看, Thom 类就是把每个纤维的上同调的生成元拼起来, 所得到的整体的上同调类.

在证明定理之前, 我们先证明一个引理.

引理 2.13. 记$$e^n=1\in H^n(D^n,S^{n-1})\simeq R.$$则对任意两个空间 $A\subset X$, 相对上同调类的叉积映射$$\times e^n:H^q(X,A)\to H^{q+n}(X\times D^n,X\times S^{n-1}\cup A\times D^n)$$是同构.

证明. 先证明 $n=1$ 的情况. 考虑三元组$$(X\times D^1,X\times S^0\cup A\times D^1,X\times \{1\}\cup A\times D^1)$$的相对上同调长正合列. 我们有$$H^q(X\times D^1,X\times \{1\}\cup A\times D^1)\simeq 0,$$因为 $X\times \{1\}$ 含入这两个空间的映射都是同伦等价. 因此, 上述长正合列就给出了所要的同构.

对一般的 $n$, 只需注意到对任何 $y\in H^q(X,A)$, 有$$y\times e^n=y\times e^1\times \cdots \times e^1.$$$\square$

定理 2.12 的证明. 我们从最简单的情况开始.

(1)	$E$ 是平凡丛 $B\times {\mathbb{R}}^n$. 在引理中取 $(X,A)=(B,\varnothing )$, 我们就得到了同构$$\times e^n:H^q(\mathrm{D}(E))\simeq {\tilde{H}}^{q+n}(\mathrm{T}\mathrm{h}(E)).$$因此, 我们定义$$u=1\times e^n\in {\tilde{H}}^n(\mathrm{T}\mathrm{h}(E)),$$其中 $1\in H^0(\mathrm{D}(E))$. 则 $u$ 满足定理的要求. 而上述同构也保证了 $u$ 的唯一性, 因为 $1$ 是 $H^0(\mathrm{D}(E))$ 中唯一的在每点限制都等于 $1$ 的上同调类.
(2)	$B=B_1\cup B_2$, 其中 $B_1,B_2$ 是开子集, 且 $E{|}_{B_1}$ 和 $E{|}_{B_2}$ 是平凡丛. 记 $E_1=p^{-1}(B_1)$, 及 $E_2=p^{-1}(B_2)$. 考虑相对上同调的 Mayer–Vietoris 正合列$$\begin{gathered} \cdots \to H^q(\mathrm{D}(E),\mathrm{S}(E))\stackrel{\alpha }{\to }{H}^q(\mathrm{D}(E_1),\mathrm{S}(E_1))\oplus H^q(\mathrm{D}(E_2),\mathrm{S}(E_2)) \\ \stackrel{\beta }{\to }{H}^q(\mathrm{D}(E_1\cap E_2),\mathrm{S}(E_1\cap E_2))\to \cdots . \end{gathered}$$由情况 (1), 存在 Thom 类 $u_i\in H^n(\mathrm{D}(E_i),\mathrm{S}(E_i))$ $(i=1,2)$. 这两个 Thom 类限制在 $E_1\cap E_2$ 上也是 Thom 类, 从而由唯一性, 它们的限制相等. 因此, 它们可以粘成 $E$ 上的上同调类. 严格地说, 我们有 $\beta (u_1,u_2)=0$, 从而存在 $u\in H^n(\mathrm{D}(E),\mathrm{S}(E))$, 使得 $\alpha (u)=(u_1,u_2)$. 再证明唯一性. 只需证明 $\alpha$ 是单射, 这是因为正合列的前一项是$$H^{n-1}(\mathrm{D}(E_1\cap E_2),\mathrm{S}(E_1\cap E_2))\simeq H^{-1}(B)\simeq 0.$$
(3)	$B=B_1\cup B_2\cup B_3$, 其中 $B_i$ 是开子集, 且 $E{|}_{B_i}$ 是平凡丛. 对 $B_1$ 和 $B_2\cup B_3$ 使用 (2) 的论述, 就完成了证明.
($n$)	$B=B_1\cup \cdots \cup B_n$, 其中 $B_i$ 是开子集, 且 $E{|}_{B_i}$ 是平凡丛. 证明和 (3) 一样.
	$\cdots \cdots \cdots \cdots$
($\infty$)	$B=B_1\cup B_2\cup \cdots$, 其中 $B_i$ 是开子集, 且 $E{|}_{B_i}$ 是平凡丛. 这时, 我们想把无穷多个开子集上的上同调类拼起来. 这看起来很直观. 为了严格证明它, 我们使用 Mayer–Vietoris 序列的推广: Čech 上同调到普通上同调的谱序列$$E_1^{p,q}={\check{C}}^p(\mathcal{B},{\mathcal{H}}^q)\Rightarrow H^{p+q}(\mathrm{D}(E),\mathrm{S}(E);R),$$其中 $\mathcal{B}$ 是开覆盖 $\{B_i\}$, 而 ${\mathcal{H}}^q$ 是 $B$ 上的预层, 定义为$${\mathcal{H}}^q(U)=H^q(\mathrm{D}(E{|}_U),\mathrm{S}(E{|}_U);R)(U\subset B).$$事实上, $E_1^{p,q}$ 只有在 $q\ge n$ 时非零, 而 $B_i$ 上的 Thom 类构成的元素 $\{u_i\}$ 在第 $(0,n)$ 格, 而且 $d\{u_i\}=0$. 因此, 元素 $\{u_i\}$ 被保留在谱序列的每一页中, 最后成为 $H^n(\mathrm{D}(E),\mathrm{S}(E))$ 的一个元素 $u$. 这就是 Thom 类. $\square$

Gysin 序列和 Euler 类

和上面一样, 设 $R$ 是系数环. 我们研究球丛, 即纤维为 $S^n$ 且转移映射为正交变换的丛.

定理 2.14 (Gysin 序列). 设 $E\to B$ 是 $R$-可定向的 $S^n$-丛, 且已经选好了一个 $R$-定向. 则存在 Euler 类$$e=e(E)\in H^{n+1}(B;R),$$使得存在两个长正合列构成的图表$$\cdots H^q(B)H^q(E)H^{q-n}(B)H^{q+1}(B)\cdots \cdots H^q(\mathrm{D}(E^{\prime }))H^q(\mathrm{S}(E^{\prime }))H^{q+1}(\mathrm{D}(E^{\prime }),\mathrm{S}(E^{\prime }))H^{q+1}(\mathrm{D}(E^{\prime }))\cdots \text{ ,}\simeq p^{\ast }\simeq \int \cup u\simeq \cup e\simeq$$其中 $E^{\prime }$ 是 $E$ 所对应的 ${\mathbb{R}}^{n+1}$-丛. 第一行称为球丛 $E$ 的 Gysin 序列.

证明. 定义$$e=i^{\ast }u,$$其中 $i:B\to \mathrm{T}\mathrm{h}(E^{\prime })$ 是含入映射, 则定理是显然的.

$\square$

这里, 映射 $H^q(E)\to H^{q-n}(B)$ 被记作 $\int$ 的原因是, 如果 $E$ 和 $B$ 是流形, 我们把上同调类用微分形式来代表, 则这个映射对应于微分形式沿纤维的积分. 这个操作把 $q$-形式变成 $(q-n)$-形式. 详细的讨论见 [BT82].

注 2.15. Thom 类和 Euler 类都依赖于定向的选取. 如果选取反的定向, 那么 Thom 类和 Euler 类都会反号.

定义 2.16. 设 $E\to B$ 是 $R$-可定向的 ${\mathbb{R}}^n$-丛, 且已经选好了一个 $R$-定向. 我们定义 $E$ 的 Euler 类为$$e(E)=e(\mathrm{S}(E))\in H^n(B;R).$$

Euler 类也是示性类, 但它依赖于向量丛的定向. 因此, 当 $R$ 不满足 $2R=0$ 时, Euler 类是 $\mathrm{B}\mathrm{S}\mathrm{O}(n)$ 的上同调类, 而不是 $\mathrm{B}\mathrm{O}(n)$ 的上同调类.

下面, 我们介绍 Thom 类和 Euler 类的乘积公式.

命题 2.17. 设 $E_1\to B_1$ 和 $E_2\to B_2$ 分别是 $R$-可定向的 ${\mathbb{R}}^{n_1}$-丛和 ${\mathbb{R}}^{n_2}$-丛, 且选好了各自的定向. 则 $E_1\times E_2\to B_1\times B_2$ 也是已定向的向量丛. 其 Thom 类是$$\begin{array}{rl}u(E_1\times E_2)& =u(E_1)\otimes u(E_2)\\ & \in {\tilde{H}}^{n_1}(\mathrm{T}\mathrm{h}(E_1))\otimes {\tilde{H}}^{n_2}(\mathrm{T}\mathrm{h}(E_2))\\ & \subset {\tilde{H}}^{n_1+n_2}(\mathrm{T}\mathrm{h}(E_1)\wedge \mathrm{T}\mathrm{h}(E_2))\\ & \simeq {\tilde{H}}^{n_1+n_2}(\mathrm{T}\mathrm{h}(E_1\times E_2)),\end{array}$$其中 $\wedge$ 表示带基点拓扑空间的压缩乘积 (smash product). 在同样的意义下, 我们还有$$e(E_1\times E_2)=e(E_1)\otimes e(E_2).$$

证明. 第一个结论是由于 $u(E_1)\otimes u(E_2)$ 在纤维上的限制是$$1\otimes 1\in {\tilde{H}}^{n_1+n_2}(S^{n_1}\wedge S^{n_2})\simeq {\tilde{H}}^{n_1+n_2}(S^{n_1+n_2}),$$由 Thom 类的唯一性就得到了等式. 第二个等式是由于 Euler 类是 Thom 类在底空间上的限制.

$\square$

推论 2.18 (乘积公式). 设 $E_1,E_2$ 是 $B$ 上的两个 $R$-可定向的向量丛, 且选好了各自的定向. 则 $E_1\oplus E_2$ 也是已定向的向量丛, 且$$e(E_1\oplus E_2)=e(E_1)e(E_2).$$

证明. $E_1\oplus E_2$ 是向量丛 $E_1\times E_2$ 沿着对角映射 $B\hookrightarrow B\times B$ 的拉回. 而这正是定义上同调的杯积的方法. 因此, 由上一结论, 我们就完成了证明.

$\square$

主要定理的证明

现在, 我们就开始证明 (2.9) 了. 我们需要一个结论, 来帮助我们描述 Graßmann 流形的性质.

命题 2.19. 可以选取合适的分类空间, 使得有球丛$$\begin{array}{rcl}{S}^{n-1}\to & \mathrm{B}\mathrm{O}(n-1)& \to \mathrm{B}\mathrm{O}(n),\\ S^{2n-1}\to & \mathrm{B}\mathrm{U}(n-1)& \to \mathrm{B}\mathrm{U}(n),\\ S^{4n-1}\to & \mathrm{B}\mathrm{S}\mathrm{p}(n-1)& \to \mathrm{B}\mathrm{S}\mathrm{p}(n).\end{array}$$

证明. 我们有球丛$$S^{n-1}\simeq \mathrm{O}(n)/\mathrm{O}(n-1)\to \mathrm{E}\mathrm{O}(n)/\mathrm{O}(n-1)\to \mathrm{E}\mathrm{O}(n)/\mathrm{O}(n)\simeq \mathrm{B}\mathrm{O}(n).$$其中, 中间一项同伦等价于 $\mathrm{B}\mathrm{O}(n-1)$, 因为 $\mathrm{E}\mathrm{O}(n)$ 可缩. 我们就得到了第一个球丛. 另外两个球丛是类似的.

$\square$

为使叙述简便, 对 $\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}$, 我们分别记 $d=1,2,4$, 及$$G(n)=\mathrm{O}(n),\mathrm{U}(n),\mathrm{S}\mathrm{p}(n).$$

推论 2.20. 设系数环 $R$ 是 $\mathbb{K}$-可定向的. 则有 Gysin 序列$$\begin{gathered} \cdots \to H^{q-dn}(\mathrm{B}G(n))\stackrel{\cup e}{\to }{H}^q(\mathrm{B}G(n))\stackrel{p^{\ast }}{\to }{H}^q(\mathrm{B}G(n-1)) \\ \stackrel{\int }{\to }{H}^{q-dn+1}(\mathrm{B}G(n))\to \cdots . \end{gathered}$$

证明. $R$ 的可定向性蕴涵 (2.19) 给出的球丛是可定向的.

$\square$

定理 2.9 的证明. 我们先证明 $n=1$ 的情况. 此时, Graßmann 流形就是射影空间. 因此, 我们要证明$$H^{\bullet }(\mathbb{K}{\mathrm{P}}^{\infty })\simeq R[x],\mathrm{deg}x=d.$$在 (2.20) 中取 $n=1$, 并注意到 $\mathrm{B}G(0)\simeq \mathrm{B}\{\ast \}\simeq \{\ast \}$, 我们得到同构$$\cup e:H^{q-d}(\mathrm{B}G(1))\simeq H^q(\mathrm{B}G(1))(q\ge 2).$$当 $q=d=1$ 时, 这个映射也是同构, 因为在正合列中, 它右边一项是 $0$, 它左边的映射 $p^{\ast }:H^0(\mathrm{B}G(1))\to H^0(\mathrm{B}G(0))$ 是同构. 因此, 我们就得到了$$H^{\bullet }(\mathrm{B}G(1))\simeq R[e],\mathrm{deg}e=d.$$

下面考虑一般的情况. 我们对 $n$ 归纳, 假设我们已经证明了$$H^{\bullet }(\mathrm{B}G(n-1))\simeq R[c_1,\dots ,c_{n-1}],\mathrm{deg}{c}_i=di.$$由 (2.20), 当 $q\le dn-2$ 时, 有同构$$p^{\ast }:H^q(\mathrm{B}G(n))\simeq H^q(\mathrm{B}G(n-1)).$$我们断言当 $d=1$, $q=dn-1$ 时, 这个映射也是同构. 我们先承认这个断言. 则 $\mathrm{B}G(n-1)$ 的生成元 $c_1,\dots ,c_{n-1}$ 都在 $p^{\ast }$ 的像中. 因此, 环同态$$p^{\ast }:H^{\bullet }(\mathrm{B}G(n))\to H^{\bullet }(\mathrm{B}G(n-1))$$是分裂的满射 (这个分裂是自然的). 这就把 (2.20) 切成了分裂的短正合列$$0\to H^{q-dn}(\mathrm{B}G(n))\stackrel{\cup e}{\to }{H}^q(\mathrm{B}G(n))\stackrel{p^{\ast }}{\to }{H}^q(\mathrm{B}G(n-1))\to 0.$$换言之, 如果定义 $c_n=e$, 那么对每个 $q$, 都有$$H^q(\mathrm{B}G(n))\simeq H^q(\mathrm{B}G(n-1))\oplus c_n\cdot H^{q-dn}(\mathrm{B}G(n)).$$这就蕴涵了要证的结论.

最后, 我们补充上面的断言的证明. 这时, 我们的正合列 (2.20) 是$$0\to H^{n-1}(\mathrm{B}\mathrm{O}(n))\stackrel{p^{\ast }}{\to }{H}^{n-1}(\mathrm{B}\mathrm{O}(n-1))\stackrel{\int }{\to }{H}^0(\mathrm{B}\mathrm{O}(n))\stackrel{\cup e}{\to }{H}^n(\mathrm{B}\mathrm{O}(n))\to \cdots .$$只需证明, 其中的映射 $\cup e$ 是单射. 这等价于 $e$ 不是 $R$-挠元. 因此, 我们只需找一个 ${\mathbb{R}}^n$-丛 $E$, 使得 $e(E)$ 不是挠元. 我们找的例子是$$E=\mathrm{E}\mathrm{O}(1{)}^n\to \mathrm{B}\mathrm{O}(1{)}^n=:B.$$由 $n=1$ 的情况, 我们知道 $e(\mathrm{E}\mathrm{O}(1))=e=w_1$ 不是 $R$-挠元. 因此, 由 (2.17), 知$$e(E)=w_1^{\otimes n}\in H^1(\mathrm{B}\mathrm{O}(1){)}^{\otimes n}\subset H^n(\mathrm{B}\mathrm{O}(1{)}^n)$$不是 $R$-挠元.

$\square$

这个证明蕴涵了下面的重要结论.

推论 2.21. 设 $E\to B$ 是 ${\mathbb{K}}^n$-丛, 设 $R$ 是 $\mathbb{K}$-可定向的环. 则在 $\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}$ 时, 分别有$$w_n(E)=e(E),c_n(E)=e(E),p_n(E)=e(E).$$$\square$