6. 陈–Weil 理论 (下)

在上一节中, 我们已经基本完成了陈–Weil 理论的介绍. 这一节, 我们介绍陈–Weil 理论的几个延伸和推广.

Thom 形式和 Euler 形式

在这一小节中, 我们打算把 Thom 类也用曲率不变量表示出来. 因为 Euler 类是 Thom 类的拉回, 所以, 我们也能重新证明 Euler 类的陈–Gauß–Bonnet 公式.

这一小节的内容也被称为 Mathai–Quillen 理论, 原始文献是 [MQ86].

定义 6.1. 设 $E\to M$ 是光滑向量丛. $E$ 上的一个微分形式称为垂直紧支 (with compact vertical support) 的, 如果它在每个纤维上的限制都是紧支的. 记 $${\Omega }_{\mathrm{c}\mathrm{v}}^{\bullet }(E)\subset {\Omega }^{\bullet }(E)$$为 $E$ 的所有垂直紧支微分形式构成的微分分次代数. 这个微分分次代数定义的 de Rham 上同调称为垂直紧支上同调 (compact vertical cohomology), 记作 $H_{\mathrm{c}\mathrm{v}}^{\bullet }(E)$. 若 $E$ 已定向, 我们还有沿纤维积分 (integration along the fibre) 的操作: $${\int }_{E/M}:{\Omega }_{\mathrm{c}\mathrm{v}}^{\bullet }(E)\to {\Omega }^{\bullet -n}(M),$$其中 $n$ 是 $E$ 的秩, 定义为 $$\begin{gathered} {\int }_{E/M}f(x,t)d{x}^{{\alpha }_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{{\alpha }_p}\wedge d{t}^{i_1}\wedge \cdots \wedge d{t}^{i_q} \\ =\{\begin{array}{ll}({\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x,t)d{t}^1\wedge \cdots \wedge d{t}^n)d{x}^{{\alpha }_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{{\alpha }_p},& q=n,\\ 0,& \text{其它},\end{array} \end{gathered}$$其中 $x$ 是底空间方向的变量, $t$ 是纤维方向的变量, 且要求 $i_1<\cdots <i_q$.

我们有自然的同构$$H_{\mathrm{c}\mathrm{v}}^{\bullet }(E)\simeq {\tilde{H}}^{\bullet }(\mathrm{T}\mathrm{h}(E)).$$直观地看, 这是因为流形的紧支上同调同构于其一点紧化的约化上同调, 故垂直紧支上同调应该对应于给每个纤维增加一个公共的无穷远点. 我们略过严格的证明.

有了这个同构, 我们可以将 Thom 类的定义用微分形式的语言重新写下来.

定义 6.2. 设 $E\to M$ 是已定向的光滑向量丛, 其秩为 $n$. 微分形式 $u\in {\Omega }_{\mathrm{c}\mathrm{v}}^n(E)$ 称为一个 Thom 形式, 如果

•	$du=0$.
•	${\int }_{E/M}u=1\in {\Omega }^0(M)$.

则 $u$ 确定了 $H_{\mathrm{c}\mathrm{v}}^n(E)$ 中的一个上同调类, 即 Thom 类. 相应地, 若 $i:M\to E$ 是通过零截面含入, 那么闭形式 $$e=i^{\ast }u\in H^n(M)$$称为一个 Euler 形式, 其上同调类就是 Euler 类.

我们接下来的目标, 就是把 Thom 形式和 Euler 形式用曲率不变量表示出来.

首先, 我们考虑一个最简单的情况, 即 $M=\{\ast \}$. 此时 $E$ 就是一个欧氏向量空间 $V$. 我们可以取$$u(x)=\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}{\mathrm{e}}^{-|x{|}^2/2}d{x}^1\wedge \cdots \wedge d{x}^n(x\in V).$$则 $u$ 满足定义 Thom 形式的公式, 但它不是紧支的. 我们先允许这个漏洞存在, 一会再来解决紧支的问题.

Mathai–Quillen 理论的一个独特见解, 就在于它把一些公式写成了 Березин 积分的样子. 例如,$$d{x}^1\wedge \cdots \wedge d{x}^n=(-1{)}^{n(n-1)/2}T(\exp (dx)),$$其中 $$dx=e_1\otimes d{x}^1+\cdots +e_n\otimes d{x}^n\in {\Omega }^1(V,{\wedge }^{\bullet }V)$$是 $V$ 上的取值于平凡丛 $V\times {\wedge }^{\bullet }V\to V$ 的 $1$-形式. 对它作用 $\exp$ 时, 纤维方向的向量 $e_i$ 在 ${\wedge }^{\bullet }V$ 中相乘. Березин 积分取出这个外代数中 $e_1\wedge \cdots \wedge e_n$ 的部分, 并扔掉其它部分. 而底空间方向的微分形式 $d{x}^i$ 随着它的伙伴 $e_i$ 一同被取舍, 当 $e_1\wedge \cdots \wedge e_n$ 被留下来时, 对应被留下来的形式就是 $d{x}^1\wedge \cdots \wedge d{x}^n$. 至于系数 $(-1{)}^{n(n-1)/2}$, 它来自于$$e_{1}d{x}^1\wedge \cdots \wedge e_{n}d{x}^n=(-1{)}^{n(n-1)/2}(e_1\wedge \cdots \wedge e_n)(d{x}^1\wedge \cdots \wedge d{x}^n),$$这是因为由定义,$${\Omega }^{\bullet }(V,{\wedge }^{\bullet }V)={\Omega }^{\bullet }(V)\otimes ({\wedge }^{\bullet }V),$$这是两个反交换分次代数的张量积, 它自身的乘法满足 Koszul 符号法则 (Koszul sign rule): 若 $v,w\in {\wedge }^{\bullet }V$, $\alpha ,\beta \in {\Omega }^{\bullet }(V)$, 则$$(v\otimes \alpha )(w\otimes \beta )=(-1{)}^{|w||\alpha |}(vw)\otimes (\alpha \beta ).$$

上面的讨论总结为下面的命题.

命题 6.3. 沿用上面的记号, 我们有 $$u(x)=\frac{{\mathrm{i}}^{n^2}}{(2\pi {)}^{n/2}}T\left(\exp \right(-\frac{|x{|}^2}{2}-\mathrm{i}dx\left)\right).$$$\square$

这里, 给 $dx$ 加上系数 $-\mathrm{i}$ 并不是必要的, 但这样可以方便和之后的结论联系起来.

接下来, 我们试着将这个方法推广到一般情形: 设 $E\to M$ 是已定向的光滑向量丛, 秩为 $n$. 我们取一个 Euclid 度量, 并取一个度量联络 $\nabla$.

引理 6.4. 设 $\alpha \in {\Omega }^{\bullet }(M,{\wedge }^{\bullet }E)$. 则 $$dT(\alpha )=T(\nabla \alpha ).$$

证明. 我们把 Березин 积分看作向量丛 ${\wedge }^n{E}^{\vee }$ 的截面. 则 Leibniz 法则表明 $$dT(\alpha )=T(\nabla \alpha )+(\nabla T)\alpha .$$但 $\nabla T=0$, 因为 $\nabla$ 是度量联络, 而 $T$ 作为一个线丛的截面, 对应着恒定的有向体积. (读者可以试着严格化这个说法.)

$\square$

我们把之前的做法照搬过来. 设$$\tilde{E}=p^{\ast }E$$是 $E$ 上的向量丛, 其中 $p:E\to M$ 是投影. 则之前的 ${\Omega }^{\bullet }(V,{\wedge }^{\bullet }V)$ 对应着现在的 ${\Omega }^{\bullet }(E,{\wedge }^{\bullet }\tilde{E})$.

向量丛 $\tilde{E}$ 有一个自言截面 (tautological section), 记为 $x$, 它在每个点 $e\in E$ 处, 在纤维 ${\tilde{E}}_e$ 上选出 $e$ 对应的点. 这样, 我们可以定义$$|x{|}^2\in C^{\infty }(E).$$将 $E$ 的联络拉回到 $\tilde{E}$ 上, 可以得到 $\tilde{E}$ 上的度量联络. 我们可以定义$$\nabla x\in {\Omega }^1(E,\tilde{E})={\Omega }^1(E,{\wedge }^1\tilde{E}).$$当 $M=\{\ast \}$ 时, $\nabla x$ 就是我们之前定义的 $dx$. 另外, 我们记 $\tilde{\Omega }$ 是 $\tilde{E}$ 上的度量联络的曲率形式, 它可以看作 ${\Omega }^2(E,{\wedge }^2\tilde{E})$ 的元素 (5.22).

定义 6.5. 使用上面的记号, 我们记 $$A=\frac{|x{|}^2}{2}+\mathrm{i}\nabla x+\tilde{\Omega }\in {\Omega }^{\bullet }(E,{\wedge }^{\bullet }\tilde{E}).$$

我们下面的目标, 就是证明 Thom 形式由$$u=\frac{{\mathrm{i}}^{n^2}}{(2\pi {)}^{n/2}}T({\mathrm{e}}^{-A})$$给出. 在此之前, 我们先对 $A$ 的各项做一些注记. $A$ 的前两项和之前的情况相似, 在作用 Березин 积分之后, 能给出纤维上的一个积分为 $1$ 的 $n$-形式. 而最后一项是曲率, 它在 $M=\{\ast \}$ 的时候是看不出来的. 它存在的原因会在下面的计算中显示出来.

这里, 我们引入沿纤维方向的缩并操作$${\iota }_x:{\Omega }^{\bullet }(E,{\wedge }^{\bullet }\tilde{E})\to {\Omega }^{\bullet }(E,{\wedge }^{\bullet -1}\tilde{E}),$$定义为$${\iota }_x(\alpha \otimes (s_1\wedge \cdots \wedge s_j))=\sum _{k=1}^j(-1{)}^{|\alpha |+k-1}⟨x,s_k⟩\alpha \otimes (s_1\wedge \cdots \wedge \widehat{s_k}\wedge \cdots \wedge s_j).$$

引理 6.6. 我们有

•	$(\nabla +\mathrm{i}{\iota }_x)A=0$.
•	$(\nabla +\mathrm{i}{\iota }_x){\mathrm{e}}^{-A}=0$.

这里, $\mathrm{i}{\iota }_x$ 是一个修正项, 它在之后的计算中是没有作用的. 这个引理的结论实际上是 “$\nabla {\mathrm{e}}^{-A}\approx 0$”.

证明. 先证明第一个等式, 即 $$(\nabla +\mathrm{i}{\iota }_x)(\frac{|x{|}^2}{2}+\mathrm{i}\nabla x+\tilde{\Omega })=0.$$我们计算它的每一项:

•	由 Leibniz 法则, $\nabla (|x{|}^2/2)=⟨x,\nabla x⟩={\iota }_x\nabla x$.
•	由 (5.7.1), $\nabla (\nabla x)=\tilde{\Omega }x=-{\iota }_x\tilde{\Omega }$.
•	$\nabla \tilde{\Omega }=0$, 因为对任何截面 $s$, 有 $(\nabla \tilde{\Omega })s=\nabla (\tilde{\Omega }s)-\tilde{\Omega }(\nabla s)={\nabla }^{3}s-{\nabla }^{3}s=0$.
•	由于次数原因, ${\iota }_x|x{|}^2=0$.

故等式得证. 第二个等式可以从第一个等式推导出来, 细节留给读者.

$\square$

推论 6.7. $T({\mathrm{e}}^{-A})$ 是闭形式.

证明. 我们有 $dT({\mathrm{e}}^{-A})=T(\nabla {\mathrm{e}}^{-A})=0$. 第二个等号是由引理, 以及由于次数原因, $T\circ {\iota }_x=0$.

$\square$

推论 6.8. 定义 $$u=\frac{{\mathrm{i}}^{n^2}}{(2\pi {)}^{n/2}}T({\mathrm{e}}^{-A})\in {\Omega }^n(E).$$则如果忽略紧支的问题, 那么 $u$ 是 Thom 形式.

证明. 这个形式限制在每个纤维上, 就是我们之前讨论过的 $M=\{\ast \}$ 的情况, 从而它沿纤维积分的结果是 $1$.

$\square$

通过这个公式, 我们可以重新证明陈–Gauß–Bonnet 公式.

推论 6.9 (陈–Gauß–Bonnet 公式). $E$ 的一个 Euler 形式是 $$e=i^{\ast }u=\{\begin{array}{ll}(\frac{-1}{2\pi }{)}^{n/2}\mathrm{pf}(\Omega ),& n\text{ 偶数},\\ 0,& n\text{ 奇数}.\end{array}$$

证明. 只需证明第二个等号. 在 $E$ 的零截面上, $x=0$, 且 $\tilde{\Omega }=\Omega$. 因此, 当 $n$ 为偶数时, 由 Pfaff 值的定义, $$\begin{array}{rl}{i}^{\ast }u& =\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}T({\mathrm{e}}^{-\Omega })\\ & =\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}\mathrm{pf}(-\Omega )\\ & =(\frac{-1}{2\pi }{)}^{n/2}\mathrm{pf}(\Omega ).\end{array}$$当 $n$ 为奇数时, 没有任何东西能被 Березин 积分保留.

$\square$

最后, 我们来解决紧支的问题. 这可以通过选取一个合适的从开球到 ${\mathbb{R}}^n$ 的微分同胚来完成. 这个微分同胚是$$x\mapsto \frac{x}{\sqrt{1-|x{|}^2}}.$$沿这个微分同胚将我们的 Thom 形式拉回, 就能得到一个垂直紧支的 Thom 形式.

超几何

接下来, 我们打算把陈–Weil 理论推广到超几何 (supergeometry) 的情况, 也就是构造超向量丛上的超联络的曲率不变量.

超几何起源于物理学中对超对称的描述, 术语中的 “超” 字也来源于此. 超几何的观点是我们证明指标定理的基础.

定义 6.10. 一个超空间 (superspace) 是一个有限维 ${\mathbb{Z}}_2$-分次的向量空间, 它的两个部分记作 $$V=V^{+}\oplus V^{-}.$$

定义 6.11. 一个超代数 (superalgebra) 是一个有限维 ${\mathbb{Z}}_2$-分次的代数 $A$. 如果 $a,b\in A$ 是齐次元素, 那么它们的交换子 (commutator) 定义为 $$[a,b]=ab-(-1{)}^{|a||b|}ba.$$这一定义可以双线性地延拓到整个 $A$ 上. 如果所有 $a,b\in A$ 都满足 $$ab=(-1{)}^{|a||b|}ba,$$就说 $A$ 是交换 (commutative) 的.

例如, 如果 $V$ 是普通向量空间, 那么 ${\wedge }^{\bullet }V$ 就是一个交换的超代数. 又如, 如果 $V$ 是超空间, $\dim V>1$, 那么 $\mathrm{End}(V)$ 就是一个不交换的超代数.

定义 6.12. 流形 $M$ 上的超向量丛 (superbundle) 是一个 ${\mathbb{Z}}_2$-分次的向量丛 $$E=E^{+}\oplus E^{-}.$$

定义 6.13. 设 $V$ 是超空间, $a\in \mathrm{End}(V)$. 我们将 $a$ 写成分块矩阵 $$a=\left(\begin{array}{cc}{a}^{++}& a^{-+}\\ a^{+-}& a^{--}\end{array}\right).$$则 $a$ 的超迹 (supertrace) 定义为 $${\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}a=\mathrm{tr}{a}^{++}-\mathrm{tr}{a}^{--}.$$

超迹的定义是为了满足下面的性质.

习题 6.14. 设 $V$ 是超空间, $a,b\in \mathrm{End}(V)$. 则 $${\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}[a,b]=0.$$

下面, 我们还可以定义超向量丛的行列式丛.

定义 6.15. 设 $E\to M$ 是超向量丛. 它的行列式丛 (determinant bundle) 是 $$\det (E)=({\wedge }^{n^{+}}{E}^{+}{)}^{\vee }\otimes ({\wedge }^{n^{-}}{E}^{-}),$$其中 $n^{+},n^{-}$ 分别是 $E^{+},E^{-}$ 的秩.

例如, 若 $M$ 是流形, 则 $\det (TM)={\wedge }^n{T}^{\ast }M$ 是最高阶微分形式的线丛.

超联络

超联络的概念由 Quillen [Qui85] 首先提出, 它是联络的概念向超几何的推广.

定义 6.16. 设 $E_1,E_2\to M$ 是两个光滑向量丛. 一个微分算子 (differential operator) $$D:\Gamma (E_1)\to \Gamma (E_2)$$是在局部坐标系下, 具有如下表达式的算子: $$D(s^i{e}_i^{(1)})=\sum _{\alpha ,i,j}{a}_i^{j\alpha }({\partial }_{\alpha }{s}^i)e_j^{(2)},$$其中, 我们对 $M$ 上的所有多重指标 $\alpha$ 求和; 每个 $a_i^{j\alpha }$ 是 $M$ 上的光滑函数, 它们中只有有限个非零; $e_i^{(k)}(x)$ 是 $E_k$ 的截面, 它们在每个纤维上构成一组基. 使 $a_i^{j\alpha }$ 非零的 $|\alpha |$ 的最大值称为 $D$ 的次数 (order).

例如, Laplace 算子 $$\Delta =-\sum _{i=1}^n(\frac{\partial }{\partial x^i}{)}^2:C^{\infty }({\mathbb{R}}^n)\to C^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$$是一个二阶微分算子, 这里 $E_1,E_2$ 都取成 ${\mathbb{R}}^n$ 上的平凡线丛.

在定义超联络之前, 我们引入一个记号, 设 $E\to M$ 是超向量丛. 我们记$$\begin{array}{rl}{\Omega }^{+}(M,E)& ={\Omega }^{2\bullet }(M,E^{+})\oplus {\Omega }^{2\bullet +1}(M,E^{-}),\\ {\Omega }^{-}(M,E)& ={\Omega }^{2\bullet +1}(M,E^{+})\oplus {\Omega }^{2\bullet }(M,E^{-}).\end{array}$$

定义 6.17. 设 $E\to M$ 是超向量丛. $E$ 上的一个超联络 (superconnection) 是一个算子 $$\nabla :{\Omega }^{\bullet }(M,E)\to {\Omega }^{\bullet }(M,E),$$满足下列条件:

•	$\nabla$ 是奇算子, 即它把子空间 ${\Omega }^{+}$ 映到 ${\Omega }^{-}$, 把 ${\Omega }^{-}$ 映到 ${\Omega }^{+}$.
•	$\nabla$ 是一阶微分算子.
•	$\nabla$ 满足 Leibniz 法则: 对 $\alpha \in {\Omega }^{\bullet }(M)$, $\omega \in {\Omega }^{\bullet }(M,E)$, 有 $$\nabla (\alpha \wedge \omega )=d\alpha \wedge \omega +(-1{)}^{|\alpha |}\alpha \wedge \nabla \omega .$$

如果 $E$ 是普通向量丛, 那么, 容易看出普通的联络也满足这三个条件. 因此, 超联络是普通联络的推广.

另外, 第三个条件说明, 一个超联络 $\nabla$ 由它在 ${\Omega }^0(M,E)=\Gamma (E)$ 上的取值确定. 我们记$$\nabla ={\nabla }^{(0)}+{\nabla }^{(1)}+\cdots ,$$其中 ${\nabla }^{(k)}$ 将 ${\Omega }^0(M,E)$ 映到 ${\Omega }^k(M,E)$. 我们注意到以下事实.

注 6.18. 沿用上面的记号, 则

•	算子 $${\nabla }^{(1)}:{\Omega }^{\bullet }(M,E^{\pm })\to {\Omega }^{\bullet +1}(M,E^{\pm })$$实际上是向量丛 $E^{+}$, $E^{-}$ 上的两个普通联络.
•	每个算子 ${\nabla }^{(k)}$ 都是一个超联络. 在局部上, 它可以由联络形式 $${\omega }^{(k)}\in {\Omega }^k(M,\mathrm{End}(E))$$描述.

和往常一样, 对于超联络 $\nabla$ 而言, 算子 ${\nabla }^2$ 具有很好的张量性质. 我们将它定义为曲率.

定义 6.19. 设 $\nabla$ 是超向量丛 $E\to M$ 上的超联络. 它的曲率定义为算子 $${\nabla }^2:{\Omega }^{\bullet }(M,E)\to {\Omega }^{\bullet }(M,E).$$

命题 6.20. 设 $\nabla$ 是超向量丛 $E\to M$ 上的超联络. 则存在一个曲率形式 $$\Omega \in {\Omega }^{2\bullet }(M,\mathrm{End}(E)),$$使得曲率算子 ${\nabla }^2$ 由它的作用给出. 这里, $\Omega$ 的作用定义为 $$\Omega (s\otimes \alpha )=\Omega s\wedge \alpha ,$$其中 $s\in \Gamma (E)$, $\alpha \in {\Omega }^{\bullet }(M)$.

证明. 设 $s\in \Gamma (E)$, $\alpha \in {\Omega }^{\bullet }(M)$. 则 $$\begin{array}{rl}{\nabla }^2(s\otimes \alpha )& =\nabla (\nabla s\wedge \alpha +s\otimes d\alpha )\\ & ={\nabla }^{2}s\wedge \alpha -\nabla s\wedge d\alpha +\nabla s\wedge d\alpha +s\otimes d^2\alpha \\ & ={\nabla }^{2}s\wedge \alpha .\end{array}$$因此, 只需证明存在 $\Omega$, 使得 $\Omega s={\nabla }^{2}s$. 这等价于 ${\nabla }^2$ 作用在 $\Gamma (E)$ 上时是 $C^{\infty }(M)$-线性的. 设 $f\in C^{\infty }(M)$. 我们有 $$\begin{array}{rl}{\nabla }^2(fs)& =\nabla (s\otimes df+f\nabla s)\\ & =\nabla s\wedge df+s\otimes d^{2}f+df\wedge \nabla s+f{\nabla }^{2}s\\ & =f{\nabla }^{2}s.\end{array}$$$\square$

超几何的陈–Weil 理论

下面, 我们简述如何通过超联络的曲率形式, 得到超向量丛的示性类.

在这一小节中, 设 $E\to M$ 是光滑超向量丛, 其秩为 $n=n^{+}+n^{-}$. 设 $\nabla$ 是 $E$ 上的超联络, 其曲率形式为 $\Omega$.

命题 6.21. 对每个 $k$, 微分形式 $${\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}{\Omega }^k$$是闭形式, 且它决定的上同调类和超联络 $\nabla$ 的选取无关. 从而, 对任何 $N>0$ 和 $N$ 元多项式 $p$, 闭形式 $$p({\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}\Omega ,{\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}{\Omega }^2,\dots ,{\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}{\Omega }^N)$$都决定了 $E$ 的一个拓扑不变量.

证明. 证明和 §5 中相同, 我们不再重复.

$\square$

回忆 (5.17) 给出的公式. 在超几何的情况下, 全陈类没有合适的类比, 但计算陈特征的公式可以直接搬过来.

定义 6.22. $E$ 的陈特征定义为 $$\mathrm{ch}(E)=[{\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}{\mathrm{e}}^{\Omega /2\pi \mathrm{i}}]\in H^{2\bullet }(M;\mathbb{C}).$$

陈特征不依赖于超联络的选取. 我们可以在 $E^{+}$ 和 $E^{-}$ 上分别选取普通的联络, 从而得到 $E$ 上的普通联络, 它也是一个超联络. 从而由超迹的定义,$$\mathrm{ch}(E)=\mathrm{ch}(E^{+})-\mathrm{ch}(E^{-}),$$这里等号右边的 $\mathrm{ch}$ 表示普通意义下的陈特征. 作为推论, 超几何的陈特征也满足加性和乘性:$$\begin{array}{rl}\mathrm{ch}(E_1\oplus E_2)& =\mathrm{ch}(E_1)+\mathrm{ch}(E_2),\\ \mathrm{ch}(E_1\otimes E_2)& =\mathrm{ch}(E_1)\mathrm{ch}(E_2).\end{array}$$

指标定理前瞻

从现在开始, 我们的目标就是证明著名的 Atiyah–Singer 指标定理. 在这一小节中, 我们介绍定理的内容, 以及几个著名的推论.

首先, 我们给出定理的大致叙述, 读者不必深究其中的细节.

定理 (Atiyah–Singer, 大致版本). 设 $M$ 是偶数维紧可定向流形, $E\to M$ 是复超向量丛. 设 $D:\Gamma (E)\to \Gamma (E)$ 是一个自伴随 Dirac 微分算子. 则 $$\mathrm{ind}(D)={\int }_M(\text{一些示性类}),$$其中 $$\mathrm{ind}(D)=\dim \ker D^{+}-\dim \mathrm{coker}{D}^{+}$$称为 $D$ 的指标 (index), 其中 $D^{+}=D{|}_{E^{+}}$.

下面的三个结论都可以看作指标定理的推论.

定理 (陈–Gauß–Bonnet). 设 $M$ 是 $2n$ 维紧可定向流形, 那么 $$\chi (M)=(\frac{-1}{2\pi }{)}^n{\int }_M\mathrm{pf}(\Omega ),$$其中 $\Omega$ 是切丛的曲率形式.

定理 (Hirzebruch–Riemann–Roch). 设 $M$ 是紧复流形, $E\to M$ 是全纯向量丛. 则 $$\chi (M,E)={\int }_M\mathrm{ch}(E)\mathrm{td}(M),$$其中 $\chi (M,E)$ 是 $\overline{\partial }$-链复形的 Euler 数, $\mathrm{td}$ 是后面将引入的 Todd 类.

定理 (Hirzebruch 符号差定理). 设 $M$ 是 $4n$ 维流形, 则在 $H^{2n}(M)$ 上, 杯积给出了一个对称双线性型. 设 $\sigma (M)$ 是这个双线性型的符号差 (signature), 即正特征值的个数减去负特征值的个数. 则 $$\sigma (M)=\frac{1}{(\pi \mathrm{i}{)}^{n/2}}{\int }_M{\det }^{1/2}\frac{\Omega /2}{\tanh (\Omega /2)},$$其中右边的含义是一个形式幂级数.

指标定理把等号左边的拓扑量和等号右边的几何量联系起来. 这种联系是通过一个超向量丛上的热核 $k_t(-,-)$ 来建立的. 我们将说明, 热核的超迹不依赖于时间 $t$, 而分别令 $t\to 0$ 和 $t\to +\infty$, 就能分别得到示性类的积分和算子的指标. 这一过程将在接下来的几节中完成.