7. 热核

广义 Laplace 算子

我们回忆, 若 $E_1,E_2\to M$ 是两个光滑向量丛, 则一个 $k$ 阶微分算子 $D:\Gamma (E_1)\to \Gamma (E_2)$ 局部上具有如下形式:$$D(s^i{e}_i^{(1)})=\sum _{|\alpha |\le k}{a}_i^{j\alpha }({\partial }_{\alpha }{s}^i)e_j^{(2)}.$$

定义 7.1. 设 $D:\Gamma (E_1)\to \Gamma (E_2)$ 是 $k$ 阶微分算子. 它的符号 (symbol) 定义为向量丛的映射$$\begin{array}{rl}{\sigma }_D:{\mathrm{Sym}}^k(T^{\ast }M)\otimes E_1& \to E_2,\\ e^{\alpha }\otimes e_i^{(1)}& \mapsto a_i^{j\alpha }{e}_j^{(2)}.\end{array}$$换言之, ${\sigma }_D$ 的分量由 $({\sigma }_D{)}_i^{j\alpha }=a_i^{j\alpha }$ 给出.

例如, ${\mathbb{R}}^n$ 上的 Laplace 算子 $\Delta =-{\sum }_i(\partial /\partial x^i{)}^2$ 的符号$${\sigma }_{\Delta }:{\mathrm{Sym}}^2({\mathbb{R}}^n)\to \mathbb{R}$$就是 Euclid 内积的相反数.

定义 7.2. 微分算子 $D:\Gamma (E)\to \Gamma (E)$ 称为椭圆 (elliptic) 的, 如果对任意 $x\in M$ 以及 $0\ne v\in T_x^{\ast }M$, 映射$${\sigma }_D(v,\dots ,v):E_x\to E_x$$都是向量空间的自同构.

例如, ${\mathbb{R}}^n$ 上的 Laplace 算子 $\Delta$ 就是椭圆微分算子, 因为 ${\mathbb{R}}^n$ 中非零向量和自身的内积不会等于 $0$.

定义 7.3. 设 $M$ 是 Riemann 流形, $E\to M$ 是光滑向量丛. 微分算子 $H:\Gamma (E)\to \Gamma (E)$ 称为一个广义 Laplace 算子 (generalized Laplacian), 如果

•	$H$ 是二阶算子.
•	对任意 $x\in M$ 以及 $v,w\in T_x^{\ast }M$, 映射$${\sigma }_H(v,w):E_x\to E_x$$等于和 $-⟨v,w⟩$ 的数乘.

等价地说, 广义 Laplace 算子在局部坐标系下表示为如下形式: $$H=-g^{ij}{\partial }_i{\partial }_j+(\text{一阶微分算子}),$$其中 $g^{ij}$ 是 Riemann 度量.

例 7.4. 设 $M$ 是 Riemann 流形, $E\to M$ 是光滑向量丛. 给定 $E$ 上的联络 $\nabla$, 我们就能定义对应的 Laplace 算子 $\Delta$, 也叫做 Laplace–Beltrami 算子. 它在局部坐标系中定义为$$\Delta s=-g^{ij}({\nabla }_i{\nabla }_{j}s-{\Gamma }_{ij}^k{\nabla }_{k}s),$$其中 ${\nabla }_i$ 是沿坐标向量场 $e_i$ 的方向导数. 则每个联络 $\nabla$ 给出的 Laplace 算子都是广义 Laplace 算子.

命题 7.5. 如果 $H$ 是 $E$ 上的广义 Laplace 算子, 那么存在 $E$ 上的联络 $\nabla$, 使得$$H=\Delta +f,$$其中 $\Delta$ 是联络 $\nabla$ 的 Laplace 算子, $f\in C^{\infty }(M)$.

这一结论的证明见 [BGV92, 命题 2.5].

${\mathbb{R}}^n$ 中的热核

在这一小节中, 我们回忆 ${\mathbb{R}}^n$ 中热方程的解法.

热方程 (heat equation) 是偏微分方程中的一类基础的方程, 其初值问题叙述如下: 给定 ${\mathbb{R}}^n$ 上的函数 $f$, 求一个函数$$u(x,t)(x\in {\mathbb{R}}^n,t\in {\mathbb{R}}_{\ge 0}),$$满足$$\{\begin{array}{l}{\partial }_{t}u=-{\Delta }_{x}u,\\ u{|}_{t=0}=f,\end{array}$$其中 ${\Delta }_x$ 表示 ${\mathbb{R}}^n$ 方向的 Laplace 算子. 热方程可以看作是描述了 ${\mathbb{R}}^n$ 中温度 $u$ 随着时间 $t$ 的演化过程.

定义 7.6. ${\mathbb{R}}^n$ 的热核 (heat kernel) 是函数$$k_t(x,y)=\frac{1}{(4\pi t{)}^{n/2}}{\mathrm{e}}^{-|x-y{|}^2/4t}(x,y\in {\mathbb{R}}^n,t>0).$$

热核 $k_t(x,y)$ 满足以下性质:$$\{\begin{array}{l}({\partial }_t+{\Delta }_x)k_t(x,y)=0,\\ k_t(x,y){|}_{t=0}=\delta (x,y),\end{array}$$其中 $\delta (x,y)$ 是 $\delta$ 函数. 因此, 为了解出热方程的初值问题, 只需令$$u(x,t)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}{k}_t(x,y)f(y)dy,$$就能满足$$\{\begin{array}{l}({\partial }_t+{\Delta }_x)u=0,\\ u{|}_{t=0}={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\delta (x,y)f(y)dy=f(x).\end{array}$$当然, 这里的推导不是完全严格的, 我们在此忽略有关的细节.

我们把由上面的卷积给出的 $u(x,t)$ 记作$$u=K_t(f)={\mathrm{e}}^{-t\Delta }f,$$其中 ${\mathrm{e}}^{-t\Delta }$ 是形式的记号, 在计算中能给人以直观.

广义 Laplace 算子的热核

下面, 设 $M$ 是紧 Riemann 流形, $E\to M$ 是光滑向量丛.

我们回忆, 在分析学中, $\mathbb{R}$ 上的一个分布 (distribution) 是指一个连续线性泛函$$\phi :C_{\mathrm{c}}^{\infty }(\mathbb{R})\to \mathbb{R},$$其中左边是 $\mathbb{R}$ 上紧支光滑函数的空间, 带有 ${\mathbf{C}}^{\infty }$ 拓扑, 也就是说, 一列函数的收敛性等价于它们的支集包含于一个公共的紧集, 并且对每个 $n$, 它们的 $n$ 阶导数在这个紧集上一致收敛.

例如, 任何一个局部 $L^1$ 函数 $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 都可以看作 $\mathbb{R}$ 上的分布: 对 $f\in C_{\mathrm{c}}^{\infty }(\mathbb{R})$, 定义$$g(f)={\int }_{\mathbb{R}}f(x)g(x)dx,$$就能将 $g$ 视作泛函. 再例如, $\delta$ 函数$$\delta (f)=f(0)$$也是分布, 它可以看作在 $0$ 处取值 $+\infty$, 在别处取值 $0$, 但总积分为 $1$ 的函数.

分布的概念可以推广到向量丛的截面. 因为我们假设了 $M$ 是紧流形, 所以我们不再需要担心紧支的问题.

定义 7.7. 在本节开头的假设下, $E$ 的分布截面 (distributional section) 的集合定义为$${\Gamma }_{\mathrm{dist}}(E)=\Gamma (E^{\vee }{)}^{\vee },$$其中 $\Gamma (E^{\vee })$ 带有 $C^{\infty }$ 拓扑, $\Gamma (E^{\vee }{)}^{\vee }$ 是它的连续对偶空间.

注 7.8. 这个定义带来了一个问题: 我们可以把普通的截面看成分布截面, 但这个过程其实依赖于 $M$ 的度量: 若 $s$ 是普通截面, $f\in \Gamma (E^{\vee })$, 我们需要定义$$s(f)={\int }_M⟨f,s⟩\mathrm{vol},$$其中 $\mathrm{vol}$ 是 $M$ 的体积密度 (当 $M$ 可定向时, 它就是体积形式), 但这个表达式的值依赖于 $\mathrm{vol}$ 的选取.

为了做到和度量无关, 我们可以将 ${\Gamma }_{\mathrm{dist}}(E)$ 定义为$$\Gamma (E^{\vee }\otimes |{\wedge }^n{T}^{\ast }M|{)}^{\vee },$$其中 $n=\dim M$. 因为密度线丛 $|{\wedge }^n{T}^{\ast }M|$ 是平凡线丛, 所以这和之前的定义是同构的, 但同构的选取和度量有关. 为了简洁性, 我们不采用这种做法.

${\mathbb{R}}^n$ 中的热方程可以以 ${\mathbb{R}}^n$ 上的一个分布为初值. 事实上, 允许以分布作为初值是有好处的, 因为热核实际上就是以 $\delta$ 函数为初值的热方程的解. 通过同样的方法, 我们可以定义广义 Laplace 算子的热核.

定义 7.9. 设 $E_1,E_2\to M$ 是两个光滑向量丛. 设$$K:{\Gamma }_{\mathrm{dist}}(E_1)\to \Gamma (E_2)$$是一个连续线性映射. 那么, $K$ 的核 (kernel) 是指一个截面$$k\in \Gamma (M\times M,\mathrm{Hom}(p_2^{\ast }{E}_1,p_1^{\ast }{E}_2)),$$其中 $p_1,p_2:M\times M\to M$ 是投影, 满足对任意的 $s\in {\Gamma }_{\mathrm{dist}}(E_1)$, 都有$$(Ks)(x)={\int }_{M}k(x,y)s(y)dy,$$(7.9.1)其中右边的含义是配对 $⟨s,k(x,-)⟩$, 这里 $k(x,-)\in \Gamma (E_1^{\vee })\otimes (E_2{)}_x$.

核的存在性是分布理论的一个重要的结论.

定理 7.10 (Schwartz 核定理). 沿用上面的记号, 我们有向量空间的同构$$\begin{array}{rl}L({\Gamma }_{\mathrm{dist}}(E_1),\Gamma (E_2))& \simeq \Gamma (M\times M,\mathrm{Hom}(p_2^{\ast }{E}_1,p_1^{\ast }{E}_2)),\\ K& \leftrightarrow k,\end{array}$$其中 $L$ 表示连续线性映射的空间.

对于广义 Laplace 算子的热方程而言, 定理说明热方程的解的存在性等价于热核的存在性, 但它们的存在性需要我们稍后证明.

定义 7.11. 设 $H:\Gamma (E)\to \Gamma (E)$ 是广义 Laplace 算子. 它的热核 (heat kernel) 是一族截面$$k_t\in \Gamma (M\times M,\mathrm{Hom}(p_2^{\ast }E,p_1^{\ast }E))(t>0),$$关于 $t$ 有一阶导数, 并满足$$\{\begin{array}{l}({\partial }_t+H_x)k_t(x,y)=0,\\ k_t(x,y){|}_{t=0}=\delta (x,y).\end{array}$$这里, 第二个式子的严格意义是, 对任意 $s\in \Gamma (E)$, 有一致收敛性$$\underset{t\to 0}{\lim }{K}_t(s)=s,$$这里 $K_t$ 由 (7.9.1) 给出.

热核的存在性将在后面证明, 但我们先叙述这一结论.

定理 7.12. 每个广义 Laplace 算子都有热核.

渐进展开

我们先假定热核的存在性, 然后研究它在 $t\to 0$ 时的渐进行为. 我们将从中得到关于曲率的信息, 并在以后把它和示性类联系起来.

和前面一样, 我们设 $M$ 是紧 Riemann 流形, $E\to M$ 是光滑向量丛, $H:\Gamma (E)\to \Gamma (E)$ 是一个广义 Laplace 算子.

我们固定 $y\in M$, 然后取法坐标系$$x={\exp }_{y}X.$$我们记$$q_t(x,y)=\frac{1}{(4\pi t{)}^{n/2}}{\mathrm{e}}^{-|X{|}^2/4t},$$并将 $H$ 的热核 $k_t$ 与它进行比较. 我们希望得到形如$$k_t=q_t\cdot \sum _{i=0}^{\infty }{t}^i{\Phi }_i$$的表达式, 其中 ${\Phi }_i\in \Gamma (M\times M,\mathrm{Hom}(p_2^{\ast }E,p_1^{\ast }E))$. 我们试着算出这些 ${\Phi }_i$.

我们考虑 $E$ 上由 (7.5) 给出的联络 $\nabla$.

引理 7.13. 设 $s_t\in \Gamma (E)$ ($t>0$) 是一族截面, 关于 $t$ 有一阶导数. 则$$({\partial }_t+H)(q_t{s}_t)=q_t({\partial }_t+t^{-1}{\nabla }_R+B)s_t,$$其中 $R=X^i{e}_i$ 是径向向量场, 微分算子 $B=\sqrt{g}{}^{1/2}\circ H\circ \sqrt{g}{}^{-1/2}$, 其中 $\sqrt{g}$ 是 $\sqrt{\det (g_{ij})}$ 的缩写.

证明. 我们按 Leibniz 法则展开式子左边: $$\text{左边}=({\partial }_t{q}_t)s_t+q_t({\partial }_t{s}_t)+(\Delta q_t)s_t+q_t(H{s}_t)-2⟨\nabla q_t,\nabla s_t⟩,$$其中 $\Delta$ 是 $M$ 上的 Laplace 算子. 而由热核 $q_t$ 的性质, 以及法坐标系中计算协变导数和 Laplace 算子的公式, 我们有$$\begin{array}{rl}-2\nabla q_t& =q_t(t^{-1}R+d\log \sqrt{g}),\\ ({\partial }_t+\Delta )q_t& =\sqrt{g}{}^{1/2}(\Delta \sqrt{g}{}^{-1/2})q_t,\end{array}$$故只需证$$B=H+{\nabla }_{d\log \sqrt{g}}+\sqrt{g}{}^{1/2}(\Delta \sqrt{g}{}^{-1/2}),$$直接计算即可验证这一等式.

$\square$

定义 7.14. 如果给定一族截面$${\Phi }_i\in \Gamma (M\times M,\mathrm{Hom}(p_2^{\ast }E,p_1^{\ast }E))(i=0,1,\dots ),$$使得对每个 $y\in M$, 都有$${\Phi }_0(y,y)=I\in \mathrm{End}(E_y),$$(7.14.1)$$({\partial }_t+t^{-1}{\nabla }_R+B)\sum _{i=0}^{\infty }{t}^i{\Phi }_i(-,y)=0,$$(7.14.2)那么形式幂级数$$k_t(x,y)=q_t(x,y)\cdot \sum _{i=0}^{\infty }{t}^i{\Phi }_i(x,y)$$称为热方程的一个形式解 (formal solution).

在引理中取 $s_t={\sum }_i{t}^i{\Phi }_i(x,y)v$, 其中 $v\in E_y$, 我们看出, 如果定义中给出的 $k_t$ 确实是热核, 那么 (7.14.2) 一定成立. 事实上, 这个定义描述了热核 $k_t$ 在对角线 $M\subset M\times M$ 附近的渐进展开.

定理 7.15. 存在唯一的形式解. 并且, ${\Phi }_i$ 满足递归公式$${\Phi }_i(x,y)=-{\int }_0^1{s}^{i-1}{B}_x{\Phi }_{i-1}(x_s,y)ds,$$其中 $B_x$ 表示 $B$ 作用于 $x$ 分量, $x_s={\exp }_y(sX)$.

证明. 实际上, (7.14.2) 等价于$$\{\begin{array}{l}{\nabla }_R{\Phi }_0=0,\\ ({\nabla }_R+i){\Phi }_i=-B_x{\Phi }_{i-1}.\end{array}$$第一个式子说明, ${\Phi }_0(x,y):E_y\to E_x$ 一定是沿径向的平行移动. 为了从第二个式子导出递归公式, 考虑$${\phi }_i(s)=s^i{\Phi }_i(x_s,y).$$则 ${\phi }_i(0)=0$, 且$${\phi }_i^{\prime }(s)=(i{s}^{i-1}+s^i{\nabla }_{R/s}){\Phi }_i(x_s,y)=-s^{i-1}{B}_x{\Phi }_{i-1}(x_s,y).$$$\square$

例 7.16. 设 $H=\Delta$ 是联络给出的 Laplace 算子. 由递归公式, $$\begin{array}{rl}{\Phi }_1(y,y)& =-B_x{\Phi }_0(x,y){|}_{x=y}\\ & =-\Delta (\sqrt{g}{}^{-1/2}{\Phi }_0(x,y)){|}_{x=y}(\text{因 }\sqrt{g}{|}_{x=y}=1)\\ & =-\left(\Delta \sqrt{g}{}^{-1/2}\right){\Phi }_0(y,y)-\sqrt{g}{}^{-1/2}\cancel{\Delta {\Phi }_0(x,y)}{|}_{x=y}\\ & +2⟨\nabla \sqrt{g}{}^{-1/2},\cancel{\nabla {\Phi }_0(x,y)}⟩{|}_{x=y}\\ & =\frac{1}{3}R\cdot \mathrm{id},\end{array}$$其中 $R$ 是 $M$ 的标量曲率, 被划掉的部分等于 $0$, 因为对任何 $v\in E_y$, 向量场 ${\Phi }_0(x,y)v$ 都是平行移动得到的, 故在 $x=y$ 处的所有协变导数都为 $0$. 最后一步是通过公式$$g_{ij}={\delta }_{ij}+\frac{1}{3}{R}_{ikjl}{x}^k{x}^l+\text{高阶项}$$得到的. 这个例子说明, ${\Phi }_1$ 蕴涵了关于流形曲率的信息.

我们将上面的讨论总结如下.

定理 7.17. 在对角线 $M\subset M\times M$ 的一个邻域内, $H$ 的热核 $k_t$ 在 $t\to 0$ 时具有如下渐进展开式: $$k_t(x,y)\sim \frac{1}{(4\pi t{)}^{n/2}}{\mathrm{e}}^{-d(x,y{)}^2/4t}\cdot \sum _{i=0}^{\infty }{t}^i{\Phi }_i(x,y),$$其前 $N$ 项部分和在 $C^k$-范数下与 $k_t$ 的误差是 $O(t^{N-n/2-k/2+1})$.

这里, 最后的误差估计是由下一小节的构造过程给出的.

热核的构造

这一小节, 我们简要概述如何证明广义 Laplace 算子的热核的存在性 (7.12).

为了演示我们构造的方法, 我们先从一个简化的模型开始. 在这个简化模型中, 我们将无限维空间上的算子 $H:\Gamma (E)\to \Gamma (E)$ 换成有限维空间上的算子.

下面, 设 $V$ 是有限维向量空间, $H\in \mathrm{End}(V)$. 设$$K_t\in \mathrm{End}(V)(t\ge 0)$$是一族算子, 它是热方程 $({\partial }_t+H)K_t=0$ 的 “近似解”. 准确地说, 它满足$$\{\begin{array}{l}{R}_t=({\partial }_t+H)K_t=O(t^{\alpha })(t\to 0),\\ K_0={\mathrm{id}}_V,\end{array}$$其中 $\alpha \ge 0$ 是某个常数. 我们打算对 $K_t$ 进行调整, 从而它成为一个真正的解.

为此, 我们定义$$Q_t^0=K_t,$$从而$$({\partial }_t+H)Q_t^0=R_t;$$再定义$$Q_t^1={\int }_0^t{K}_{t-t_1}{R}_{t_1}d{t}_1,$$从而$$({\partial }_t+H)Q_t^1=R_t+{\int }_0^t{R}_{t-t_1}{R}_{t_1}d{t}_1;$$再定义$$Q_t^2=\underset{0\le t_1\le t_2\le t}{\int }{K}_{t-t_2}{R}_{t_2-t_1}{R}_{t_1}d{t}_{1}d{t}_2,$$从而$$\begin{gathered} ({\partial }_t+H)Q_t^2=R_t+{\int }_0^t{R}_{t-t_1}{R}_{t_1}d{t}_1 \\ +\underset{0\le t_1\le t_2\le t}{\int }{R}_{t-t_2}{R}_{t_2-t_1}{R}_{t_1}d{t}_{1}d{t}_2, \end{gathered}$$并以此类推.

命题 7.18. 级数$$Q_t=\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k{Q}_t^k$$收敛, 且给出了热方程的解. 并且, $$Q_t=K_t+O(t^{1+\alpha }).$$

证明. 对每个 $t>0$, 存在常数 $C$, 使得对任意 $t^{\prime }\le t$, 有$$|K_{t^{\prime }}|<C,|R_{t^{\prime }}|<C.$$从而$$\begin{array}{rl}|Q_t^k|& <C^{k+1}\underset{0\le t_1\le \cdots \le t_k\le t}{\int }d{t}_1\cdots d{t}_k\\ & =C^{k+1}\frac{t^k}{k!}.\end{array}$$这蕴涵了级数的收敛性. 用同样的方法, 借助上面的计算, 不难验证 $Q_t$ 是热方程的解.

$\square$

下面, 我们来考虑一般的情况, 即 $H:\Gamma (E)\to \Gamma (E)$ 是广义 Laplace 算子的情况.

我们注意到一个事实: 如果算子 $P,Q$ 的核分别是 $p,q$, 那么算子 $PQ$ 的核是卷积 $p\ast q$, 定义为$$(p\ast q)(x,y)={\int }_{M}p(x,z)\circ q(z,y)dz.$$

和在简化模型中一样, 我们首先取定一个近似解 $K_t$. 对 $s\in \Gamma (E)$, 我们令$$(K_{t}s)(x)={\int }_M{k}_t^N(x,y)s(y)dy,$$其中 $N$ 是取定的正整数, $k_t^N$ 定义为$$k_t^N(x,y)=\psi (d(x,y))\cdot {\sum }_0^N,$$其中 $\psi$ 是一个光滑函数, 在 $0$ 附近取值恒为 $1$, 且 $\psi ([\epsilon ,+\infty ))=0$, 其中 $\epsilon >0$ 取得使 $k_t^N$ 在整个 $M\times M$ 上有定义; ${\sum }_0^N$ 表示 (7.17) 中的部分和.

为使记号简洁, 下面我们就记$$k_t=k_t^N.$$

我们和之前一样定义算子 $Q_t^k$. 它的核是$$q_t^k=\underset{0\le t_1\le \cdots \le t_k\le t}{\int }{k}_{t-t_k}\ast r_{t_k-t_{k-1}}\ast \cdots \ast r_{t_1}d{t}_1\cdots d{t}_k,$$其中 $r_t=({\partial }_t+H_x)k_t$ 是算子 $R_t$ 的核.

通过直接计算, 我们能给出估计$$\Vert r_t{\Vert }_{C^{\ell }}\le C(\ell )t^{N-n/2-\ell /2}.$$计算过程不在这里给出, 见 [BGV92, 定理 2.29]. 注意到这里 $t^{N-n/2}$ 就是 $k_t^N$ 的最高次项. 由 $q_t^k$ 的卷积表达式, 我们有$$\Vert q_t^k{\Vert }_{C^{\ell }}\le C(\ell )t^{k(N-n/2)-\ell /2}{t}^k\mathrm{vol}(M{)}^{k-1},$$这里 $C(\ell )$ 是和上面不同的常数; $\mathrm{vol}(M{)}^{k-1}$ 来自于卷积的定义. 卷积中 $k_t$ 一项没有出现在估计中, 因为算子 $K_t$ 关于 $t$ 一致有界 (参见上述引用的定理).

这一估计给出了级数 ${\sum }_k(-1{)}^k{q}_t^k$ 的收敛性.

定理 7.19. 当 $N>n/2+1$ 时, 级数$$q_t=\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k{q}_t^k$$在 $C^2$-范数的意义下收敛. 这个公式给出了算子 $H$ 的热核.

$\square$

作为推论, (7.12) 和 (7.17) 都获得了证明.