1.2. 孪生素数与 Goldbach 问题中的筛法

Brun 在研究完等差数列上的筛法之后就把目光投向了孪生素数问题. 现在让函数 $P(x;p_1,p_2,\dots ,p_r)$ 表示满足下列条件的正整数 $n$ 的个数:

$$n\le x,n\not\equiv a_i,b_i(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}_i)(1\le i\le r).$$(1.2.1)

特别地, 如果 $a_i=0,b_i=2$ 则 $P(x;p_1,\dots ,p_r)$ 就可以被用来研究孪生素数问题. 在这种情况下, Brun [2] 证明了存在固定常数 $c>0$ 使 $p_1\dots ,p_r$ 表示全体大小不超过 $x^{1/10}$ 的奇素数时:

$$P(x;p_1,\dots ,p_r)\ge 0.98x\prod _{1\le i\le r}\left(1-\frac{2}{p_i}\right).$$(1.2.2)

根据 Mertens 定理, 可知存在常数 $c>0$ 使:

$$\prod _{1\le i\le r}\left(1-\frac{2}{p_i}\right)\sim \frac{c}{{\log }^{2}x},$$(1.2.3)

因此将 $P(x;p_1,\dots ,p_r)$ 的数论性质与 (1.2.2) 和 (1.2.3) 结合, 就有:

定理 1.2.0.1 (Brun). 存在无穷个正整数 $n$ 使 $n$ 和 $n+2$ 的素因子个数都不超过 9.

当 $x$ 为一个偶数时, 我们可以发现当 $a_i=0,b_i=x$ 时 $P(x;p_1,\dots ,p_r)$ 就可以被用来研究 Goldbach 问题. 由于 $p_i|x$ 时 $a_i\equiv b_i(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}_i)$, 所以当 $x$ 充分大、$p_1,\dots ,p_r$ 表示大小不超过 $x^{1/10}$ 的奇素数时, Brun 得到了这样的下界:

$$P(x;p_1,\dots ,p_r)\ge 0.98x\prod _{\begin{array}{c}1\le i\le r\\ p_i|x\end{array}}\left(1-\frac{1}{p_i}\right)\prod _{\begin{array}{c}1\le i\le r\\ p_i\nmid x\end{array}}\left(1-\frac{2}{p_i}\right).$$(1.2.4)

将 (1.2.3) 与 (1.2.4) 结合, 便有:

$$P(x;p_1,\dots ,p_r)>\frac{(98-\epsilon )cx}{{\log }^{2}x}\prod _{\begin{array}{c}p|x\\ p>2\end{array}}\frac{p-1}{p-2}.$$(1.2.5)

由于这意味着对于充分大的 $x$ 总是存在 $n$ 使得 $n$ 和 $x-n$ 的素因子都大于 $x^{1/10}$, 所以 Brun 从中得到了现代 Goldbach 问题研究中的首个里程碑式的结论:

定理 1.2.0.2 (Brun). 每个大偶数都是两个不超过 9 个素数的乘积之和.

Brun 在研究等差数列筛法和孪生素数以及 Goldbach 问题中的筛法时都用了非常类似的技巧, 所以接下来我们将构造一种抽象的筛函数来统一 $N(a,q,x;p_1,\dots ,p_r)$ 和 $P(x;p_1,\dots ,p_r)$.