7.1. Dirichlet 卷积

在本文中, 我们将介绍一些筛法中涉及到的 Dirichlet 卷积和 Möbius 反演.

7.1.1Dirichlet 卷积

对于数论函数 $f(n),g(n)$, 我们定义:

$$(f\ast g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g\left(\frac{n}{d}\right),$$(7.1.1)

则称 $(f\ast g)(n)$ 为 $f(n)$ 与 $g(n)$ 的 Dirichlet 卷积.

事实上, Dirichlet 卷积和 Dirichlet 级数有着密切的关系, 现在设 $h(n)=(f\ast g)(n)$ 则有:

$$\sum _{m\ge 1}\frac{f(m)}{m^s}\sum _{k\ge 1}\frac{g(k)}{k^s}=\sum _{n\ge 1}\frac{h(n)}{n^s}.$$(7.1.2)

通过 (7.1.2), 我们就可以立即得到若干个 Dirichlet 卷积的性质:

命题 7.1.1.1. 用 (7.1.1) 定义 $f\ast g$, 则当 $f(n),g(n),h(n)$ 为数论函数时:

•	$f\ast g=g\ast f,$
•	$f\ast (g\ast h)=(f\ast g)\ast h,$
•	若 $f(n),g(n)$ 为积性函数, 则 $(f\ast g)(n)$ 亦为积性函数.

7.1.2Möbius 反演

对于积性函数 $\mu (n)$, 我们要求当 $p$ 为素数时:

$$\mu (p^k)=\{\begin{array}{ll}1& k=0\\ -1& k=1\\ 0& k\ge 2\end{array},$$

则称 $\mu (n)$ 为 Möbius 函数. 利用 Dirichlet 卷积的性质, 我们可以立即得到:

引理 7.1.2.1. 当 $f(n)$ 为积性函数时: $$\sum _{d|n}\mu (d)f(d)=\prod _{p|n}(1-f(p)).$$

利用这一点, 我们就可以得到 Möbius 反演公式了:

定理 7.1.2.2 (Möbius 反演公式). 对于数论函数 $f(n)$, 定义: $$g(n)=\sum _{d|n}f(d),$$则有: $$f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)g\left(\frac{n}{d}\right).$$

证明. 现在设: $$\delta (n)=\{\begin{array}{ll}1& n=1\\ 0& n>1\end{array},$$则根据引理 7.1.2.1 可知: $$\delta (n)=\sum _{d|n}\mu (d).$$(7.1.3)因此利用 Dirichet 卷积的结合律得: $$f=\delta \ast f=(\mu \ast 1)\ast f=\mu \ast (1\ast f)=\mu \ast g.$$故定理得证.

$\square$

事实上定理 7.1.2.2 是最标准的一种 Möbius 反演, 在筛法的研究中我们还会使用一个 Möbius 反演的变种:

定理 7.1.2.3. 对于数论函数 $f(n)$, 设: $$g(k)=\sum _{\begin{array}{c}d\in \mathcal{D}\\ k|d\end{array}}f(d),$$其中 $\mathcal{D}\subset {\mathbb{Z}}^{+}$ 满足: $$d\in \mathcal{D},k|d\Rightarrow k\in \mathcal{D},$$则有: $$f(d)=\sum _{\begin{array}{c}k\in \mathcal{D}\\ d|k\end{array}}\mu \left(\frac{k}{d}\right)g(k).$$

证明. 利用 (7.1.3), 易知: $$f(d)=\sum _{\begin{array}{c}k\in \mathcal{D}\\ d|k\end{array}}\delta \left(\frac{k}{d}\right)f(k)=\sum _{\begin{array}{c}k\in \mathcal{D}\\ d|k\end{array}}f(k)\sum _{m|(k/d)}\mu (m).$$对于最右侧和式, 设 $q=md$ 则有: $$\begin{array}{rl}f(d)& =\sum _{\begin{array}{c}k\in \mathcal{D}\\ d|k\end{array}}f(k)\sum _{\begin{array}{c}q\in \mathcal{D}\\ d|q|k\end{array}}\mu \left(\frac{q}{d}\right)=\sum _{\begin{array}{c}q\in \mathcal{D}\\ d|q\end{array}}\mu \left(\frac{q}{d}\right)\sum _{\begin{array}{c}k\in \mathcal{D}\\ q|k\end{array}}f(k)\\ & =\sum _{\begin{array}{c}q\in \mathcal{D}\\ d|q\end{array}}\mu \left(\frac{q}{d}\right)g(q),\end{array}$$故定理得证.

$\square$