4.2. 命题 6+6

在本文中, 我们将改进第二章的结论, 并证明:

定理 4.2.0.1 (6+6). 每个大偶数都是两个不超过 6 个素数的乘积之和.

定理 4.2.0.2. 存在无穷个整数 $n$ 使 $n$ 和 $n-2$ 的素因子个数不超过 6.

4.2.1初始条件

我们知道当 $h\le x,\mathcal{A}=\{n(n-h):n\le x\}$ 时筛法对应的维度是 $\kappa =2$. 另一方面根据之前的结论, 可知倘若 $D=x$, 则有:

$$0.98\frac{c_{h}x}{{\log }^2{x}^{1/10}}<S(\mathcal{A},\mathcal{P},x^{1/10})<1.047\frac{c_{h}x}{{\log }^2{x}^{1/10}},$$

所以 $\kappa =2$ 时 $f(10)=0.98,F(10)=1.047$. 将这两个数值用 Buchstab 方法进行迭代, 我们就可以改进命题 9+9 了.

4.2.2数值计算

根据上一节的结论, 我们通过数值计算可知 $\kappa =2$ 时:

$s$	10	9	8	7
$s^{\kappa }\hat{F}(s)$	104.7	88.56	77.17	73.92
$s^{\kappa }\hat{f}(s)$	98	74.67	51.3	24.99

因此根据最右侧一列, 我们知道 $x$ 充分大时:

$$S(\mathcal{A},\mathcal{P},x^{1/7})>24.98\frac{c_{h}x}{{\log }^{2}x}.$$

最后结合定义我们就可以发现这个式子意味着总能找到 $1\le n\le x$ 使其与 $|n-h|$ 使两者的素因子个数都不超过 6. 分别设置 $h=2$ 和 $h=x$ 便能证明定理 4.2.0.1 和定理 4.2.0.2.

注 4.2.2.1. 事实上 Buchstab [3] 采用经 Rademacher [11] 优化的 Brun 筛法, 将 $\kappa =2$ 时的 $\hat{F}(10)$ 改良到了 $1.016$ 从而证出命题 5+5, 但由于 Selberg 筛法可以得到远优于此的结果所以我们就不再展开讨论.