2.3. 孪生素数的倒数和

类似于之前研究的 9+9 问题, 本节中我们依然考虑相同的集合:

$$\mathcal{A}=\{n(n-h):n\le x\},$$

则有:

$$X=x,g(p)=\{\begin{array}{ll}1& p|h\\ 2& p\nmid h\end{array},|r(d)|\le 2^{\omega (d)}.$$并且当 $x^{\epsilon }<z\le x$ 时$$V(z)\sim \frac{c_h}{{\log }^{2}z}$$

通过数值计算, 可知 $\tau =0.503$ 时有:

$${\eta }_3(\tau )<0.0033,$$$$\frac{2}{e^{u/2}-1}<6.995.$$

因此根据定理 2.4.1 和引理 2.3.3 可知:

$$S(\mathcal{A},\mathcal{P},z)<[1+{\eta }_3(\tau )]XV(z)+z^{3+6.995}<1.0033\frac{c_{h}x}{{\log }^{2}z}+z^{10.995}.$$

现在代入 $z=x^{1/11}$, 便能发现当 $x$ 充分大时:

$$S(\mathcal{A},\mathcal{P},x^{1/11})<121.49\frac{c_h}{{\log }^{2}x}.$$

现在用 ${\pi }_h(x)$ 表示满足以下条件的素数个数:

$$p\le x,p+h\text{ prime},$$

则由于 $p|P(z)$ 当且仅当 $p<z$, 可知当 $x$ 充分大时:

$${\pi }_h(x)\le S(\mathcal{A},\mathcal{P},x^{1/11})+x^{1/11}<121.5\frac{c_{h}x}{{\log }^{2}x}.$$(2.3.1)

利用这一点, 我们就可以得到结论:

定理 2.3.0.1 (Brun). 对于每个固定的偶数 $h$, 所有满足 $p+h$ 为素数的素数 $p$ 之倒数和收敛, 换言之: $$\sum _{\begin{array}{c}p\\ p+h\text{ prime}\end{array}}\frac{1}{p}<\infty .$$

证明. 对于固定的 $h$, 我们根据 (2.3.1) 可知: $$\begin{array}{rl}\sum _{\begin{array}{c}y<p\le x\\ p+h\text{ prime}\end{array}}\frac{1}{p}& ={\int }_y^x\frac{\mathrm{d}{\pi }_h(t)}{t}=\frac{{\pi }_h(x)}{x}-\frac{{\pi }_h(y)}{y}+{\int }_y^x\frac{{\pi }_h(t)}{t^2}\mathrm{d}t\\ & \ll \frac{1}{{\log }^{2}x}+{\int }_y^x\frac{\mathrm{d}t}{t{\log }^{2}t}<\frac{1}{{\log }^{2}y}+\frac{1}{\sqrt{\log y}}{\int }_y^x\frac{\mathrm{d}t}{t{\log }^{3/2}t}\\ & =O\left(\frac{1}{\sqrt{\log y}}\right),\end{array}$$因此根据 Cauchy 准则可知级数收敛.

$\square$