5.9. 习题

1.	设 $V$ 是由所有 $m\times n$ 实矩阵构成的线性空间. 定义 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 如下$$⟨A,B⟩=\text{Tr}(A^{T}B),A,B\in V$$证明 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 是 $V$ 上的一个内积.
2.	设 $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ 是 $n$ 维欧几里得空间. 设内积 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 在一组基 $\{{\vec{\alpha }}_1,\cdots ,{\vec{\alpha }}_n\}$ 下的 Gram 矩阵是 $G$, 在另一组基 $\{{\vec{\beta }}_1,\cdots ,{\vec{\beta }}_n\}$ 下的 Gram 矩阵是 $G^{\prime }$. 设基 $\{{\vec{\alpha }}_1,\cdots ,{\vec{\alpha }}_n\}$ 到基 $\{{\vec{\beta }}_1,\cdots ,{\vec{\beta }}_n\}$ 的过渡矩阵是 $P$. 问 $G,G^{\prime },P$ 之间是什么关系?
3.	设 $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ 是 $n$ 维欧几里得空间. 对于 $V$ 中任意 $n$ 个向量 $\{{\vec{\alpha }}_1,\cdots ,{\vec{\alpha }}_n\}$, 我们定义其 Gram 矩阵 $G=(G_{ij})$ 为$$G_{ij}=⟨{\vec{\alpha }}_i,{\vec{\alpha }}_j⟩$$证明 $\{{\vec{\alpha }}_1,\cdots ,{\vec{\alpha }}_n\}$ 线性无关 (即构成 $V$ 的一组基) 当且仅当 $G$ 是可逆矩阵.
4.	证明 2 阶实对称方阵 $A$ 是正定方阵当且仅当 $\text{Tr}A>0\&\det A>0$.
5.	证明欧几里得空间中的向量 $\vec{x},\vec{y}$ 正交当且仅当 $\Vert \vec{x}+\vec{y}{\Vert }^2=\Vert \vec{x}{\Vert }^2+\Vert \vec{y}{\Vert }^2$.
6.	设 $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ 是 $n$ 维欧几里得空间, $\{{\vec{\alpha }}_1,\cdots ,{\vec{\alpha }}_n\}$ 是 $V$ 的标准正交基. 证明对任意 $\vec{x},\vec{y}\in V$$$⟨\vec{x},\vec{y}⟩=\sum _{i=1}^n⟨\vec{x},{\vec{\alpha }}_i⟩⟨{\vec{\alpha }}_i,\vec{y}⟩\text{(Parseval等式)}$$
7.	设 $V=\text{Span}\{1,x,x^2,x^3\}$ 是由所有次数小于等于 $3$ 的实系数多项式构成的线性空间. 定义$$⟨f,g⟩:={\int }_0^{1}f(x)g(x)dx$$$(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ 构成 $4$ 维欧几里得空间. 找一组 $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ 的标准正交基.
8.	举例说明, 方阵 $A$ 的列向量两两相互正交, 但 $A$ 的行向量不一定两两相互正交.
9.	在标准欧几里得空间 ${\mathbb{R}}^3$ 中, 设 $U$ 是由方程 $x_1+2x_2+2x_3=0$ 定义的平面. 计算点 $\mathbf{p}=(1,2,3)$ 在平面 $U$ 上的正交投影 ${\mathbf{p}}^{\prime }$.
10.	设 $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ 是由所有 $n$ 阶实方阵构成的欧几里得空间, 其内积为 $⟨A,B⟩=\text{Tr}(A^{T}B)$. 对于如下 $V$ 的子空间 $U$, 计算 $U$ 的正交补 $U^{\perp }$ 以及正交投影 $p_U:V\to U$. (a) $U=\text{Span}\{I_n\}$ 是由单位方阵张成的子空间 (b) $U$ 是由所有对角方阵构成的线性子空间 (c) $U$ 是由所有上三角方阵构成的线性子空间
11.	设 $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ 是 $n$ 维欧几里得空间, $U$ 是 $V$ 的线性子空间. 证明 $(U^{\perp }{)}^{\perp }=U$.
12.	设 $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ 是 $n$ 维欧几里得空间, $U_1,U_2$ 是 $V$ 的线性子空间. 证明 $(U_1+U_2{)}^{\perp }=U_1^{\perp }\cap U_2^{\perp }$.
13.	设 $\vec{\alpha },\vec{\beta }$ 是 $n$ 维欧几里得空间 $V$ 中的两个向量, 满足 $\Vert \vec{\alpha }\Vert =\Vert \vec{\beta }\Vert$. 证明一定存在一个正交变换 $T:V\to V$ 使得 $T(\vec{\alpha })=\vec{\beta }$.
14.	找出所有使得 $A\vec{\alpha }=\vec{\beta }$ 的 $3$ 阶正交矩阵 $A$. $$\begin{array}{rlrl}& a)\vec{\alpha }=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]\vec{\beta }=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]& & b)\vec{\alpha }=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right]\vec{\beta }=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right]\end{array}$$
15.	设 ${\lambda }_0$ 是 $n$ 阶正交方阵 $A$ 是一个特征值 (可能是复数) . (a) 证明 $|{\lambda }_0|=1$. (b) 假设 ${\lambda }_0\notin \mathbb{R}$, $\vec{z}\in {\mathbb{C}}^n$ 是 ${\lambda }_0$ 的一个复特征向量. 记 $\vec{z}=\vec{x}+i\vec{y}$, 这里 $\vec{x},\vec{y}\in {\mathbb{R}}^n$. 证明$$\vec{x}\perp \vec{y}\text{并且}\Vert \vec{x}\Vert =\Vert \vec{y}\Vert$$
16.	判断如下实对称方阵是否是正定方阵或者半正定方阵. $$\begin{array}{rlrlrl}& a)\left[\begin{array}{ccc}5& 3& 0\\ 3& 5& 4\\ 0& 4& 5\end{array}\right]& & b)\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ -1& 1& -1\\ 0& -1& 1\end{array}\right]& & c)\left[\begin{array}{cccc}2& -1& 0& 0\\ -1& 2& -1& 0\\ 0& -1& 2& -1\\ 0& 0& -1& 2\end{array}\right]\end{array}$$
17.	设 $A$ 是 $n$ 阶反对称方阵, 即 $A^T=-A$. 证明 $e^A\in \text{SO}(n)$ 是 $n$ 阶特殊正交方阵.
18.	设 $A,B$ 是 $n$ 阶正定实对称方阵. 证明 $AB$ 的特征值均为正实数.
19.	计算如下矩阵的奇异值分解$$\begin{array}{rlrl}& a)=\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 4& 5\end{array}\right]& & b)=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 2\\ 2& -2\end{array}\right]\end{array}$$
20.	设 $f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 是一个可逆线性映射, 其在标准基下对应于矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$, $\det A\ne 0$$$f:\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]\mapsto \left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$$设 $A$ 的奇异值为 ${\sigma }_1\ge {\sigma }_2>0$. 证明单位圆 $\{x_1^2+x_2^2=1\}$ 在 $f$ 的映射下变为一个椭圆, 椭圆的长半轴长为 ${\sigma }_1$, 短半轴长为 ${\sigma }_2$.
21.	计算如下矩阵的 QR 分解$$\begin{array}{rlrl}& a)\left[\begin{array}{cc}-1& 3\\ 1& 5\end{array}\right]& & b)\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right]\end{array}$$
22.	用最小二乘法找出最佳拟合如下数据的线性方程 $y=at+b$ $t_i$ $-2$ $-1$ $0$ $2$ $y_i$ $4$ $3$ $1$ $0$
23.	证明矩阵范数的如下两个性质: (a) 三角不等式: $\Vert A+B\Vert \le \Vert A\Vert +\Vert B\Vert$ (b) 乘积性质: $\Vert AB\Vert \le \Vert A\Vert \Vert B\Vert$
24.	设 $A$ 是一个 $n$ 阶正定方阵. 证明 $\underset{t\to +\infty }{\lim }{e}^{-tA}=0$.
25.	假设函数 $x(t),y(t)$ 满足如下微分方程组$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }(t)=-4x(t)+y(t)\\ y^{\prime }(t)=-2x(t)-y(t)\end{array}$$证明 $\underset{t\to +\infty }{\lim }x(t)=\underset{t\to +\infty }{\lim }y(t)=0$.
26.	酉空间中两个向量 $\vec{\alpha },\vec{\beta }$ 正交当且仅当对任意复数 $a,b\in \mathbb{C}$,$$\Vert a\vec{\alpha }+b\vec{\beta }{\Vert }^2=\Vert a\vec{\alpha }{\Vert }^2+\Vert b\vec{\beta }{\Vert }^2$$
27.	设 $V$ 是由所有 $m\times n$ 复矩阵构成的复线性空间. 定义 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 如下$$⟨A,B⟩=\text{Tr}({\bar{A}}^{T}B),A,B\in V$$证明 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 是 $V$ 上的一个厄米内积.
28.	设 $A,B$ 是 $n$ 阶厄米方阵. 证明 $\text{Tr}(AB{)}^2$ 和 $\text{Tr}(A^2{B}^2)$ 都是实数并且$$\text{Tr}(AB{)}^2\le \text{Tr}(A^2{B}^2)$$等号成立当且仅当 $AB=BA$.
29.	证明任意一个 $2$ 阶酉方阵可以表达为如下形式$$\left[\begin{array}{cc}{e}^{i{\theta }_1}& 0\\ 0& e^{i{\theta }_2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{e}^{i{\theta }_3}& 0\\ 0& e^{i{\theta }_4}\end{array}\right]$$这里 ${\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3,{\theta }_4,\theta$ 均是实数.
30.	设 $A$ 是一个 $n$ 阶复方阵. 定义一个 $2n$ 阶实方阵 $\phi (A)$ 如下: $$\phi (A)=\left[\begin{array}{cc}B& C\\ -C& B\end{array}\right]\text{这里A=B+iC, B和C是实方阵}$$证明 $\phi$ 满足如下性质: (a) $\phi (A_1{A}_2)=\phi (A_1)\phi (A_2)$, $\phi ({\bar{A}}^T)=\phi (A{)}^T$ (b) $A$ 是厄米方阵当且仅当 $\phi (A)$ 是对称方阵 (c) $A$ 是酉方阵当且仅当 $\phi (A)$ 是正交方阵
31.	设 $n$ 阶复方阵 $A$ 有如下分块结构$$A=\left[\begin{array}{cc}B& C\\ 0& D\end{array}\right]\text{B 是 m 阶复方阵, D 是 n−m 阶复方阵}$$证明 $A$ 是酉方阵当且仅当 $B,D$ 是酉方阵并且 $C=0$.
32.	设 $n$ 阶复方阵 $A$ 的所有特征值为 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$. 证明$$\sum _{i=1}^n|{\lambda }_i{|}^2\le \text{Tr}({\bar{A}}^{T}A)$$等号成立当且仅当 $A$ 是正规矩阵.
33.	设 $A$ 是 $n$ 阶厄米方阵. 证明 $A$ 是正定方阵当且仅当存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ 使得 $A={\bar{P}}^{T}P$.
34.	计算矩阵 $\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& -1\\ -2& 1& 0\end{array}\right]$ 的极分解.