对称性和线性性显然满足. 由⟨x,x⟩=i=1∑naixi2可以很容易看出正定性. 令 A 为对角方阵A=⎣⎡a10⋯00a2⋯⋯⋯⋯⋯000⋯an⎦⎤则这个内积也可以写成矩阵形式⟨x,y⟩=xTAy=[x1⋯xn]⎣⎡a10⋯00a2⋯⋯⋯⋯⋯000⋯an⎦⎤⎣⎡y1⋮yn⎦⎤
例子 5.1.5. 设 V 是由有限闭区间 [a,b] 上实连续函数构成的线性空间. 对任意两个函数 f(x),g(x)∈V, 我们定义它们的内积为⟨f,g⟩:=∫abf(x)g(x)dx
对称性和线性性显然满足. 由⟨f,f⟩:=∫abf(x)2dx知⟨f,f⟩≥0且 ⟨f,f⟩=0 当且仅当 f(x)=0 是零函数, 即 V 中的零向量. 因此 ⟨⋅,⋅⟩ 定义了函数空间 V 上的一个内积. 这个内积空间是无穷维的.
Gram 矩阵
设 V 是 n 维实线性空间, 我们如何具体来刻画 V 上的一个内积 ⟨⋅,⋅⟩? 回顾对于一个线性映射 f:V→V, 我们具体描述 f 的方法是取 V 的一组基, 根据 f 在基上的作用得到一个矩阵, 则这个矩阵完全刻画了 f 本身. 我们可以用类似的想法来刻画一个内积. 设{α1,α2,⋯,αn}是 V 的一组基. 考虑这些基向量之间的内积定义Gij:=⟨αi,αj⟩,i,j=1,⋯,n由此我们得到一个 n 阶方阵 G=(Gij).
定义 5.1.6. 设 (V,⟨⋅,⋅⟩) 是 n 维欧几里得空间, {α1,⋯,αn} 为 V 的一组基. 我们称 n 阶方阵
定义 5.1.7. 一个 n 阶实对称方阵 A 称为正定矩阵, 如果对任意非零列向量 x∈Rn, 都有xTAx>0即i,j=1∑nAijxixj>0
因此 Gram 矩阵 G 是一个正定矩阵. 反之, 给定一个 n 阶正定矩阵 A, 对 V 中任意两个向量 x=i∑xiαi,y=i∑yiαi, 我们定义⟨x,y⟩A:=i,j=1∑nAijxiyj容易验证 ⟨⋅,⋅⟩A 定义了 V 上的一个内积. 因此在给定 V 的一组基的情况下, Gram 矩阵
内积⟺Gram正定矩阵给出了内积和正定矩阵之间的一一对应.
长度与夹角
定义 5.1.8. 设 (V,⟨⋅,⋅⟩) 是一个欧几里得空间. V 中向量 x 的长度 (或范数) 定义为∥x∥=⟨x,x⟩