5.1. 欧几里得空间

实线性空间的内积

定义 5.1.1. 是一个实线性空间. 上的一个内积是一个映射满足以下性质:

1.

正定性: 对任意 , , 且 当且仅当

2.

对称性: 对任意 ,

3.

线性性: 对任意

注意到线性性是对内积的第一个分量来陈述的. 由对称性, 内积对第二个分量也是线性的: 因此我们称内积是双线性的.

定义 5.1.2. 带内积的实线性空间称为实内积空间, 或称为欧几里得空间.

维实内积空间通常也称为 维欧几里得空间. 实内积空间也可能是无穷维, 此时如果对应的范数具备完备性, 则称为希尔伯特空间.

例子 5.1.3. , 我们定义两个向量的内积为这里 是向量 的分量. 此时表示向量 的欧氏长度. 容易验证, 构成一个实内积空间, 称为 维标准欧几里得空间. 如果我们把 中的向量写成列向量的样子, 则这个内积可以用矩阵乘法表示为这里 的转置.

例子 5.1.4. , 设 是正实数. 我们定义两个向量的内积为

对称性和线性性显然满足. 由可以很容易看出正定性. 令 为对角方阵则这个内积也可以写成矩阵形式

例子 5.1.5. 是由有限闭区间 上实连续函数构成的线性空间. 对任意两个函数 , 我们定义它们的内积为

对称性和线性性显然满足. 由 当且仅当 是零函数, 即 中的零向量. 因此 定义了函数空间 上的一个内积. 这个内积空间是无穷维的.

Gram 矩阵

维实线性空间, 我们如何具体来刻画 上的一个内积 ? 回顾对于一个线性映射 , 我们具体描述 的方法是取 的一组基, 根据 在基上的作用得到一个矩阵, 则这个矩阵完全刻画了 本身. 我们可以用类似的想法来刻画一个内积. 设 的一组基. 考虑这些基向量之间的内积由此我们得到一个 阶方阵 .

定义 5.1.6. 维欧几里得空间, 的一组基. 我们称 阶方阵

为内积 在基 下的 Gram 矩阵.

我们下面说明内积的 Gram 矩阵完全刻画了内积本身, 因此给出了内积的矩阵表达方法.

是内积 的一组基 下的 Gram 矩阵. 对 中任意两个向量 , 它们通过这组基的线性组合记为我们计算内积 . 利用内积的线性性

写成矩阵的形式, 即为这说明如果我们知道了基向量之间的内积 (即 Gram 矩阵) , 则上述公式给出了任意两个向量之间的内积. 因此内积完全由其 Gram 矩阵确定.

我们下面讨论 Gram 矩阵的性质. 首先, 由内积的对称性写成矩阵的形式 是一个实对称矩阵.

其次, 由内积的正定性, 对任意向量 且等号成立当且仅当 .

定义 5.1.7. 一个 阶实对称方阵 称为正定矩阵, 如果对任意非零列向量 , 都有

因此 Gram 矩阵 是一个正定矩阵. 反之, 给定一个 阶正定矩阵 , 对 中任意两个向量 , 我们定义容易验证 定义了 上的一个内积. 因此在给定 的一组基的情况下, Gram 矩阵

给出了内积和正定矩阵之间的一一对应.

长度与夹角

定义 5.1.8. 是一个欧几里得空间. 中向量 的长度 (或范数) 定义为

命题 5.1.9 (Cauchy-Schwarz 不等式). 是一个欧几里得空间. 则对任意 等号成立当且仅当 线性相关.

证明: 不妨设 均是非零向量. 记需证明 . 任取 , 考虑向量 与自己的内积
由内积正定性, 对任意 成立. 因此 , 即得命题不等式. 等号成立当且仅当存在 使得 , 即 线性相关.

中两个非零向量, 由 Cauchy-Schwarz 不等式我们定义 之间的夹角

定义 5.1.10. 如果向量 的夹角是 , 即我们称 是正交的, 记为 .

命题 5.1.11 (三角不等式). 对内积空间中任意两个向量

证明:

命题 5.1.12 (平行四边形法则). 对内积空间中任意两个向量

证明: