5.3. 正交方阵

正交变换与正交方阵

定义 5.3.1. 设 $V$ 是一个欧几里得空间. 线性变换 $T:V\to V$ 称为正交变换, 如果对于任意向量 $\vec{x}\in V$, 都有$$\Vert T(\vec{x})\Vert =\Vert \vec{x}\Vert$$即正交变换保持向量的范数 (长度) 不变.

例子 5.3.2. ${\mathbb{R}}^3$ 中的转动保持长度, 是一个正交变换

例子 5.3.3. ${\mathbb{R}}^3$ 中沿着过原点的平面作反射是一个正交变换

我们在 反射与旋转 一节中将更详细地讨论转动和反射的性质.

命题 5.3.4. 欧几里得空间 $V$ 上的线性变换 $T:V\to V$ 是一个正交变换当且仅当 $T$ 保持内积不变, 即对 $V$ 中的任意向量 $\vec{x},\vec{y}$ $$⟨T(\vec{x}),T(\vec{y})⟩=⟨\vec{x},\vec{y}⟩$$

证明: 若 $T$ 保持内积, 则由 $⟨T(\vec{x}),T(\vec{x})⟩=⟨\vec{x},\vec{x}⟩$ 知 $T$ 保长度, 即为正交变换.

反之, 假设 $T$ 是正交变换, 即保长度. 由$$\begin{array}{r}⟨\vec{x}+\vec{y},\vec{x}+\vec{y}⟩=⟨\vec{x},\vec{x}⟩+⟨\vec{y},\vec{y}⟩+2⟨\vec{x},\vec{y}⟩\end{array}$$知 $⟨\vec{x},\vec{y}⟩=\frac{1}{2}\Vert \vec{x}+\vec{y}{\Vert }^2-\frac{1}{2}\Vert \vec{x}{\Vert }^2-\frac{1}{2}\Vert \vec{y}{\Vert }^2$. 因此$$\begin{array}{rl}⟨T(\vec{x}),T(\vec{y})⟩=& \frac{1}{2}\Vert T(\vec{x})+T(\vec{y}){\Vert }^2-\frac{1}{2}\Vert T(\vec{x}){\Vert }^2-\frac{1}{2}\Vert T(\vec{y}){\Vert }^2\\ =& \frac{1}{2}\Vert T(\vec{x}+\vec{y}){\Vert }^2-\frac{1}{2}\Vert T(\vec{x}){\Vert }^2-\frac{1}{2}\Vert T(\vec{y}){\Vert }^2\\ =& \frac{1}{2}\Vert \vec{x}+\vec{y}{\Vert }^2-\frac{1}{2}\Vert \vec{x}{\Vert }^2-\frac{1}{2}\Vert \vec{y}{\Vert }^2=⟨\vec{x},\vec{y}⟩\end{array}$$即 $T$ 保持内积.

$\square$

特别地, 两个向量 $\vec{x},\vec{y}$ 之间的夹角 $\theta \in [0,\pi ]$ 为$$\cos \theta =\frac{⟨\vec{x},\vec{y}⟩}{\Vert \vec{x}\Vert \Vert \vec{y}\Vert }$$因此正交变换也保持向量间的夹角不变.

下面我们通过选一组基来刻画正交变换. 欧几里得空间中比较好的一组基是标准正交基.

命题 5.3.5. 设 $\{{\vec{\gamma }}_1,\cdots ,{\vec{\gamma }}_n\}$ 是 $n$ 维欧几里得空间 $V$ 的一组标准正交基, $T:V\to V$ 是线性映射. 则 $T$ 是正交变换当且仅当$$\{T({\vec{\gamma }}_1),\cdots ,T({\vec{\gamma }}_n)\}$$也是 $V$ 的标准正交基.

证明: 假设 $T:V\to V$ 是正交变换, 则 $T$ 保内积$$⟨T({\vec{\gamma }}_i),T({\vec{\gamma }}_j)⟩=⟨{\vec{\gamma }}_i,{\vec{\gamma }}_j⟩={\delta }_{ij}$$因此 $\{T({\vec{\gamma }}_1),\cdots ,T({\vec{\gamma }}_n)\}$ 是一组标准正交基.

反之, 假设 $\{T({\vec{\gamma }}_1),\cdots ,T({\vec{\gamma }}_n)\}$ 是一组标准正交基. 对任意向量 $\vec{x}\in V$, 按照基展开$$\vec{x}=x_1{\vec{\gamma }}_1+\cdots +x_n{\vec{\gamma }}_n$$则$$\begin{array}{rl}⟨T(\vec{x}),T(\vec{x})⟩=& ⟨T(\sum _i{x}_i{\vec{\gamma }}_i),T(\sum _j{x}_j{\vec{\gamma }}_j)⟩\\ =& \sum _{i,j}{x}_i{x}_j⟨T({\vec{\gamma }}_i),T({\vec{\gamma }}_j)⟩\\ =& \sum _i{x}_i^2=⟨\vec{x},\vec{x}⟩\end{array}$$即 $T$ 保长度, 因此是正交变换.

$\square$

这个命题说明正交变换给出了 $V$ 中不同标准正交基之间的联系. 设 $T:V\to V$ 是正交变换, $\{{\vec{\gamma }}_1,\cdots ,{\vec{\gamma }}_n\}$ 是标准正交基. 我们考虑基变换的过渡矩阵$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{ccc}T({\vec{\gamma }}_1)& \cdots & T({\vec{\gamma }}_n)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\vec{\gamma }}_1& \cdots & {\vec{\gamma }}_n\end{array}\right]A\end{array}$$或写成分量的形式 $T({\vec{\gamma }}_j)=\sum _k{a}_{kj}{\vec{\gamma }}_k$. 等价而言, $A$ 即为 $T$ 在标准基 $\{{\vec{\gamma }}_1,\cdots ,{\vec{\gamma }}_n\}$ 下的表示矩阵. 代入计算内积$$\begin{array}{rl}⟨T({\vec{\gamma }}_i),T({\vec{\gamma }}_j)⟩=& ⟨\sum _k{a}_{ki}{\vec{\gamma }}_k,\sum _l{a}_{lj}{\vec{\gamma }}_l⟩\\ =& \sum _{k,l}{a}_{ki}{a}_{lj}⟨{\vec{\gamma }}_k,{\vec{\gamma }}_l⟩\\ =& \sum _k{a}_{ki}{a}_{kj}\end{array}$$

$T$ 是正交变换等价于$$⟨T({\vec{\gamma }}_i),T({\vec{\gamma }}_j)⟩={\delta }_{ij}$$即$$\sum _k{a}_{ki}{a}_{kj}={\delta }_{ij}$$写成矩阵的形式, 上式等价于$$A^{T}A=I_n$$

定义 5.3.6. 一个 $n$ 阶实矩阵 $A$ 称为正交方阵, 如果它满足$$A^{T}A=A{A}^T=I_n$$其中 $A^T$ 表示 $A$ 的转置矩阵, $I_n$ 表示 $n$ 阶单位矩阵. 所有实正交矩阵组成的集合记为 $O(n)$.

$A$ 是正交方阵的一个等价写法是$$A^T=A^{-1}$$即 $A$ 可逆且 $A$ 的逆是它的转置. 由上述讨论, 我们证明了如下命题

命题 5.3.7. 设 $T:V\to V$ 是 $n$ 维欧几里得空间 $V$ 的线性变换. 则 $T$ 是正交变换当且仅当 $T$ 在 $V$ 的一组标准正交基下的表示矩阵 $A$ 是 $n$ 阶正交方阵.

设 $A\in O(n)$ 是 $n$ 阶正交方阵. 记 $A$ 的列向量为 $\{{\vec{\beta }}_1,\cdots ,{\vec{\beta }}_n\}$, 即$$A=\left[\begin{array}{ccc}{\vec{\beta }}_1& \cdots & {\vec{\beta }}_n\end{array}\right]A^T=\left[\begin{array}{c}{\vec{\beta }}_1^T\\ ⋮\\ {\vec{\beta }}_n^T\end{array}\right]$$则$$A^{T}A=\left[\begin{array}{cccc}{\vec{\beta }}_1^T{\vec{\beta }}_1& {\vec{\beta }}_1^T{\vec{\beta }}_2& \cdots & {\vec{\beta }}_1^T{\vec{\beta }}_n\\ {\vec{\beta }}_2^T{\vec{\beta }}_1& {\vec{\beta }}_2^T{\vec{\beta }}_2& \cdots & {\vec{\beta }}_2^T{\vec{\beta }}_n\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {\vec{\beta }}_n^T{\vec{\beta }}_1& {\vec{\beta }}_n^T{\vec{\beta }}_2& \cdots & {\vec{\beta }}_n^T{\vec{\beta }}_n\end{array}\right]$$

因此 $A^{T}A=I_n$ 等价于$${\vec{\beta }}_i^T{\vec{\beta }}_j=⟨{\vec{\beta }}_i,{\vec{\beta }}_j⟩={\delta }_{ij}$$即 $\{{\vec{\beta }}_1,\cdots ,{\vec{\beta }}_n\}$ 是标准欧几里得空间 ${\mathbb{R}}^n$ 的标准正交基.

类似的, 我们把 $A$ 的行向量记为 $\{{\vec{\alpha }}_1,\cdots ,{\vec{\alpha }}_n\}$, 即$$A=\left[\begin{array}{c}{\vec{\alpha }}_1\\ ⋮\\ {\vec{\alpha }}_n\end{array}\right]A^T=\left[\begin{array}{ccc}{\vec{\alpha }}_1^T& \cdots & {\vec{\alpha }}_n^T\end{array}\right]$$则 $A{A}^T=I_n$ 等价于行向量 $\{{\vec{\alpha }}_1,\cdots ,{\vec{\alpha }}_n\}$ 是标准欧几里得空间 ${\mathbb{R}}^n$ 的标准正交基.

由此我们证明了如下命题

命题 5.3.8. 设 $A$ 是 $n$ 阶实方阵, 则如下条件等价:

1.	$A$ 是正交方阵
2.	$A$ 的列向量构成 ${\mathbb{R}}^n$ 的标准正交基
3.	$A$ 的行向量构成 ${\mathbb{R}}^n$ 的标准正交基

例子 5.3.9. 由 ${\mathbb{R}}^3$ 的一组基$${\vec{\alpha }}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]{\vec{\alpha }}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right]{\vec{\alpha }}_3=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$做 Gram-Schmidt 正交化和归一化 (见例 5.2.6) , 得到标准正交基

$${\vec{\gamma }}_1=\left[\begin{array}{c}1/\sqrt{3}\\ 1/\sqrt{3}\\ 1/\sqrt{3}\end{array}\right]{\vec{\gamma }}_2=\left[\begin{array}{c}-2/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{6}\end{array}\right]{\vec{\gamma }}_3=\left[\begin{array}{c}0\\ -1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}\end{array}\right]$$因此我们得到如下 $3$ 阶正交方阵$$\left[\begin{array}{ccc}1/\sqrt{3}& -2/\sqrt{6}& 0\\ 1/\sqrt{3}& 1/\sqrt{6}& -1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{3}& 1/\sqrt{6}& 1/\sqrt{2}\end{array}\right]$$

命题 5.3.10. 设 $A,B$ 是 $n$ 阶正交方阵, 则 $A^{-1}(=A^T),AB$ 均为 $n$ 阶正交方阵. 我们说 $O(n)$ 构成一个群, 称为 $n$ 阶正交群.

证明: $A{A}^T=A^{T}A=I_n$ 知 $A^T\in O(n)$, 即 $A^{-1}\in O(n)$. 由$$(AB{)}^T(AB)=B^T{A}^{T}AB=B^{T}B=I_n$$知 $AB\in O(n)$.

$\square$

设 $A\in O(n)$ 是 $n$ 阶正交方阵. 由$$A^{T}A=I_n$$两边取行列式得$$\det (A^T)\det (A)=1\text{即}(\det A{)}^2=1$$因此$$\det A=\pm 1$$

定义 5.3.11. $n$ 阶方阵 $A$ 称为特殊正交方阵, 如果 $A$ 是正交方阵并且 $\det A=1$. 所有 $n$ 阶特殊正交方阵构成的集合记为 $\mathrm{SO}(n)$, 即$$\mathrm{SO}(n)=\{A\in O(n)|\det A=1\}$$$\mathrm{SO}(n)$ 也构成一个群, 称为 $n$ 阶特殊正交群.

反射与旋转

例子 5.3.12 (反射变换). 设 $\vec{u}\in {\mathbb{R}}^n$ 是非零向量. 考虑$$H=\{\vec{y}\in {\mathbb{R}}^n|⟨\vec{y},\vec{u}⟩=0\}$$为所有与 $\vec{u}$ 垂直的向量构成的集合. $H$ 可以看作是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的一个 $n-1$ 维超平面, $\vec{u}$ 是 $H$ 的法向量. 我们考虑 ${\mathbb{R}}^n$ 中关于 $H$ 的反射变换 $R_{\vec{u}}$. 具体而言$$R_{\vec{u}}(\vec{x})=\vec{x}-2\frac{⟨\vec{u},\vec{x}⟩}{⟨\vec{u},\vec{u}⟩}\vec{u}$$可以验证, $R_{\vec{u}}$ 是一个线性变换, 将 $\vec{u}$ 变为 $-\vec{u}$, 并且保持超平面 $H$ 不动. 易知这是一个等距变换, 对应于一个正交矩阵.

为简化讨论, 不妨设 $\vec{u}$ 为单位向量, 即 $⟨\vec{u},\vec{u}⟩=1$. 容易验证, 此时 $R_{\vec{u}}$ 对应的正交矩阵为$$\begin{array}{r}{I}_n-2\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ ⋮\\ u_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{u}_1& u_2& \cdots & u_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1-2u_1{u}_1& -2u_1{u}_2& \cdots & -2u_1{u}_n\\ -2u_2{u}_1& 1-2u_2{u}_2& \cdots & -2u_2{u}_n\\ ⋮& \cdots & \cdots & ⋮\\ -2u_n{u}_1& -2u_n{u}_2& \cdots & 1-2u_n{u}_n\end{array}\right]\end{array}$$

特别的, 如果 $\vec{u}=\overrightarrow{e_i}$ 为第 $i$ 个坐标方向的单位向量, 则

$$R_{\overrightarrow{e_i}}=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& \cdots & \cdots & \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & \cdots & \cdots & 0\\ ⋮& \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& \cdots & \cdots & -1& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & 1\end{array}\right]$$其中第 $i$ 行 $i$ 列的元素为 $-1$, 其它对角元为 $1$.

反射的行列式是 $-1$, 即$$\det R_{\vec{u}}=-1$$

例子 5.3.13 ($2$ 维正交变换). 考虑平面 ${\mathbb{R}}^2$ 中的正交变换. 设$$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\in O(2)$$

由$$A^{T}A=\left[\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{a}^2+c^2& ab+cd\\ ab+cd& b^2+d^2\end{array}\right]$$我们得到方程组$$a^2+c^2=b^2+d^2=1,ab+cd=0$$

第一组方程的解为$$(a,c)=(\cos \theta ,\sin \theta ),(b,d)=(\sin \varphi ,\cos \varphi )$$代入第二组方程, 我们得到 $\sin (\theta +\varphi )=0$, 即 $\varphi =-\theta$ 或 $-\theta +\pi$. 所以我们得到解$$A=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$或$$A=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right].$$

容易看出, 前者属于 $\mathrm{SO}(2)$, 表示为逆时针转 $\theta$ 的旋转; 后者 $\det A=-1$, 表示为与 $x$ 轴夹角为 $\theta /2$ 的直线的反射. 由矩阵的行列式我们很容易知道两个平面反射的复合为一个旋转.

Cartan–Dieudonné 定理

我们首先考虑 ${\mathbb{R}}^3$ 中的正交变换. $O(3)$ 中的元素可以分类为如下三种

1.	绕某个轴的转动. 如$$\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$为绕 $z$-轴逆时针旋转 $\theta$.
2.	关于某个平面的反射. 如$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]$$为关于 $xy$ 平面的反射.
3.	一个绕轴的转动和一个与旋转轴垂直平面的反射的复合. 如$$\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]$$为绕 $z$-轴转动和 $xy$-平面反射的复合.

这三种分类可以通过如下的几何结论得到.

命题 5.3.14. $O(3)$ 中任一元素可以写成至多 3 个反射的乘积.

证明: 设 $A\in O(3)$. 不妨设 $A\ne I_n$, 于是存在非零向量 $\vec{x}$ 使得 $A(\vec{x})\ne \vec{x}$. 我们不妨设 $\vec{x}={\vec{e}}_3$ 为第 3 个标准基向量. 令 $\vec{u}=A{\vec{e}}_3-{\vec{e}}_3$. 考虑沿与 $\vec{u}$ 垂直平面的反射 $R_{\vec{u}}$, 易知$$R_{\vec{u}}(A{\vec{e}}_3)={\vec{e}}_3$$

考虑乘积 $B=R_{\vec{u}}A$. 由于 $B({\vec{e}}_3)={\vec{e}}_3$, $B$ 形如$$B=\left[\begin{array}{ccc}\ast & \ast & 0\\ \ast & \ast & 0\\ \ast & \ast & 1\end{array}\right]$$由正交性 $B^{T}B=I_3$ 可以得到$$B=\left[\begin{array}{ccc}{b}_{11}& b_{12}& 0\\ b_{21}& b_{22}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right]\in O(2)$$

由例 5.3.13, 我们已知 $O(2)$ 中的元素可以写成不超过两个反射的乘积, 于是 $B$ 可以写成不超过两个反射的乘积. 因此 $A=R_{\vec{u}}^{-1}B$ 可以写成不超过 3 个反射的乘积.

$\square$

定理 5.3.15 (Cartan–Dieudonné 定理). ${\mathbb{R}}^n$ 上任意正交变换都可以写成至多 $n$ 个反射的复合.

这个定理可以通过对 $n$ 做归纳证明, 证明方法和上述 $n=3$ 的情况类似.