4.6. 习题

1.	求下列方阵的特征多项式、特征值以及每个特征值的特征向量$$\begin{array}{rlrlrl}& \text{(a)}\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 2\\ 5& -3& 3\\ 1& 0& -2\end{array}\right]& & \text{(b)}\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right]& & \text{(c)}\left[\begin{array}{ccccc}{a}_0& a_1& a_2& \cdots & a_{n-1}\\ a_{n-1}& a_0& a_1& \cdots & a_{n-2}\\ a_{n-2}& a_{n-1}& a_0& \cdots & a_{n-3}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_1& a_2& a_3& \cdots & a_0\end{array}\right]\end{array}$$
2.	已知 $A=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ -1& 3& 1\\ -1& 1& 3\end{array}\right]$, 求 $A^{20}$.
3.	设 $n$ 阶可逆方阵 $A$ 的特征多项式为 $\phi (\lambda )={\lambda }^n+a_1{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_n$. 求 $A^{-1}$ 的特征多项式, 并说明 $A^{-1}$ 的特征值与 $A$ 的特征值的关系.
4.	设 $A$ 是 $n\times m$ 矩阵, $B$ 是 $m\times n$ 矩阵. 证明 $\mathrm{Tr}AB=\mathrm{Tr}。BA$.
5.	证明不存在 $n$ 阶方阵 $A,B$ 使得 $AB-BA=I_n$. 注: 这说明量子力学中的坐标和动量算子不可能通过有限维矩阵来实现.
6.	设 $A,B$ 是 $n$ 阶方阵. 证明 $AB$ 和 $BA$ 的特征多项式相同.
7.	设 $A,B$ 是两个 $n$ 阶对角方阵. 证明 $A$ 和 $B$ 相似当且仅当它们的特征多项式相同, 即对角元素相同 (排列顺序可能不同) .
8.	举例说明两个特征多项式相同的 $n$ 阶方阵可能不相似.
9.	设 $A,B$ 是两个 $n$ 阶复方阵, $A$ 的特征多项式为 $\phi (\lambda )$. 证明 $n$ 阶复方阵 $\phi (B)$ 可逆当且仅当 $A$ 和 $B$ 没有共同的特征值.
10.	设 $A,B$ 是两个 $n$ 阶复方阵, 且没有共同的特征值. 设 $n$ 阶复方阵 $X$ 满足 $AX=XB$. 证明 $X=0$.
11.	求下列方阵所有的特征值、特征子空间和根子空间, 并判断其是否可以对角化$$\begin{array}{r}\text{(a)}\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ -1& 3& 2\\ 0& 0& 2\end{array}\right]\text{(b)}\left[\begin{array}{cccc}0& -2& 3& 2\\ 1& 1& -1& -1\\ 0& 0& 2& 0\\ 1& -1& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$$
12.	(a) 证明 $V$ 的两个子空间 $V_1,V_2$ 的和是直和当且仅当 $V_1\cap V_2=\{0\}$ 是零子空间. (b) 举例说明, 三个线性子空间 $V_1,V_2,V_3$ 满足 $V_1\cap V_2=V_1\cap V_3=V_2\cap V_3=\{0\}$, 但 $V_1+V_2+V_3$ 不一定是直和. (c) 证明如果三个线性子空间 $V_1,V_2,V_3$ 满足 $V_1\cap V_2=\{0\},(V_1+V_2)\cap V_3=0$, 则 $V_1+V_2+V_3=V_1\oplus V_2\oplus V_3$ 是直和.
13.	设 $V_1,V_2\subset k^n$ 是 $n$ 阶方阵 $A$ 的两个不变子空间, $\dim V_1=r,\dim V_2=n-r$, 并且 $k^n=V_1\oplus V_2$. 证明 $A$ 相似于如下形式的矩阵$$\left[\begin{array}{cc}B& 0\\ 0& C\end{array}\right]$$这里 $B$ 是 $r$ 阶方阵, $C$ 是 $n-r$ 阶方阵.
14.	证明任意 $n$ 阶复方阵都可以相似于一个上三角方阵.
15.	(a) 证明任意 $n$ 阶复方阵 $A$ 都可以分解为 $A=D+N$. 这里 $D$ 是 $n$ 阶可对角化方阵, $N$ 是 $n$ 阶幂零方阵, 并且 $DN=ND$. (b) 对于矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}3& 1& -1\\ 2& 2& -1\\ 2& 2& 0\end{array}\right]$, 找出 (a) 中所述 $D$ 和 $N$.
16.	(a) 证明 Jordan 块 $J_n(0)=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& \cdots & 0& 1\\ 0& 0& \cdots & 0& 0\end{array}\right]$ 与它的转置 $J_n(0{)}^T$ 相似. (b) 证明 $n$ 阶复方阵 $A$ 与它的转置 $A^T$ 相似.
17.	设 $A,B$ 是两个可对角化的 $n$ 阶复方阵. 证明如下两个性质等价: (a) $A,B$ 可以同时对角化, 即存在可逆 $P$ 使得 $PA{P}^{-1},PB{P}^{-1}$ 均为对角阵 (b) $A$ 与 $B$ 可交换, 即 $AB=BA$
18.	(a) 设 $J_m(\lambda )$ 是一个 Jordan 块, $|\lambda |<1$. 证明 $\underset{N\to \infty }{\lim }{J}_m(\lambda {)}^N=0$. (b) 设方阵 $A$ 的所有特征值的绝对值均小于 1, 证明 $\underset{N\to \infty }{\lim }{A}^N=0$.
19.	设 $\hat{M}$ 是 Google PageRank 算法中改进的链接关系矩阵. (a) 证明 $-1$ 不是 $\hat{M}$ 的特征值. (b) 讲义中我们证明了 $\hat{M}$ 关于特征值 $\lambda =1$ 的几何重数是 $1$. 证明 $\hat{M}$ 关于特征值 $\lambda =1$ 的代数重数也是 $1$, 即特征值 $1$ 的根子空间和特征子空间一致.