4.2. 相似变换

相似与对角化

定义 4.2.1. 两个 $n$ 阶方阵 $A$ 与 $B$ 称为是相似的, 如果存在 $n$ 阶可逆方阵 $P$ 使得$$A=PB{P}^{-1}$$

容易验证, 相似关系构成一个等价关系, 即满足

•	自反性: $A$ 与 $A$ 相似
•	对称性: 若 $A$ 与 $B$ 相似, 则 $B$ 与 $A$ 相似
•	传递性: 若 $A$ 与 $B$ 相似, $B$ 与 $C$ 相似, 则 $A$ 与 $C$ 相似

命题 4.2.2. 如果 $A$ 与 $B$ 相似, $f(x)$ 是任意一个多项式. 则 $f(A)$ 与 $f(B)$ 相似.

证明: 设 $A=PB{P}^{-1}$. 则对任意正整数 $m$$$A^m=(PB{P}^{-1})(PB{P}^{-1})\cdots (PB{P}^{-1})=P{B}^m{P}^{-1}$$由此易知 $f(A)=Pf(B)P^{-1}$.

$\square$

命题 4.2.3. 如果 $A$ 与 $B$ 相似, 则它们具有相同的特征多项式. 特别地, 我们有$$\mathrm{Tr}A=\mathrm{Tr}B\det A=\det B$$

证明: 设 $A=PB{P}^{-1}$. 则$$\begin{array}{rl}\det (\lambda I-A)=& \det (\lambda I-PB{P}^{-1})=\det (P(\lambda I-B)P^{-1})\\ =& \det (P)\det (\lambda I-B)\det (P^{-1})\\ =& \det (\lambda I-B)\end{array}$$

$\square$

定义 4.2.4. $n$ 阶方阵 $A$ 称为可对角化, 如果 $A$ 相似于一个对角阵 $\mathrm{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)$. 这里$$\mathrm{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n):=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& \cdots & 0& {\lambda }_n\end{array}\right]$$

如果 $A$ 相似于 $\mathrm{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)$, 则 $A$ 的特征多项式和这个对角阵相同$$\phi (\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1)(\lambda -{\lambda }_2)\cdots (\lambda -{\lambda }_n)$$因此这个对角阵的元素即为 $A$ 的特征值.

假设 $A$ 可对角化, $A=P\mathrm{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)P^{-1}$, 即$$AP=P\mathrm{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)$$记 $P$ 的列向量为 $\{{\vec{\beta }}_1,\cdots ,{\vec{\beta }}_n\}$$$P=\left[\begin{array}{cccc}{\vec{\beta }}_1& {\vec{\beta }}_2& \cdots & {\vec{\beta }}_n\end{array}\right]$$由 $P$ 可逆知 $\mathrm{rank}P=n$, 因此 $\{{\vec{\beta }}_1,\cdots ,{\vec{\beta }}_n\}$ 构成一组基.

等式 $A=P\mathrm{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)P^{-1}$ 可以写成$$A\left[\begin{array}{cccc}{\vec{\beta }}_1& {\vec{\beta }}_2& \cdots & {\vec{\beta }}_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{\vec{\beta }}_1& {\vec{\beta }}_2& \cdots & {\vec{\beta }}_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & 0\\ 0& \cdots & 0& {\lambda }_n\end{array}\right]$$即$$A{\vec{\beta }}_i={\lambda }_i{\vec{\beta }}_i,i=1,\cdots ,n$$这说明 ${\vec{\beta }}_i$ 是属于 ${\lambda }_i$ 的特征向量. 由上述讨论, 我们证明了如下结论

命题 4.2.5. $n$ 阶方阵 $A$ 可对角化当且仅当存在一组基 $\{{\vec{\beta }}_1,\cdots ,{\vec{\beta }}_n\}$ 使得每个 ${\vec{\beta }}_i$ 都是 $A$ 的特征向量.

在这个情况下, 我们把任意向量 $\vec{x}$ 通过基 $\{{\vec{\beta }}_1,\cdots ,{\vec{\beta }}_n\}$ 来线性表达: $\vec{x}=\sum _i{c}_i{\vec{\beta }}_i$. 则矩阵 $A$ 乘在向量 $\vec{x}$ 上很容易计算出$$A\vec{x}=\sum _i{c}_i{\lambda }_i{\vec{\beta }}_i$$

例子 4.2.6. 并不是每个方阵都可以对角化, 例如$$A=\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda }_0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_0& 1& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_0& 1\\ 0& 0& \cdots & 0& {\lambda }_0\end{array}\right]$$$A$ 的特征值只有 ${\lambda }_0$, 我们考虑它的特征向量. 齐次线性方程组$$({\lambda }_0{I}_n-A)\vec{x}=0⟺\left[\begin{array}{ccccc}0& -1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& -1& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& \cdots & 0& -1\\ 0& 0& \cdots & 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_{n-1}\\ x_n\end{array}\right]=0$$的解为 $x_1=c,x_2=x_3=\cdots =x_n=0$. 因此 ${\lambda }_0$ 的特征向量只有一个线性无关的元素, 它不可能构成 $n$ 维空间 ($n>1$) 的一组基. 这说明方阵 $A$ 不可对角化.

命题 4.2.7. 如果数域 $k$ 上 $n$ 阶方阵 $A$ 具有 $n$ 个互不相同的特征值在 $k$ 中, 则 $A$ 可以对角化.

证明: 设 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$. 由假设这些特征值互不相同. 设 ${\vec{\beta }}_i$ 是属于 ${\lambda }_i$ 的一个特征向量. 我们下面证明 $\{{\vec{\beta }}_1,\cdots ,{\vec{\beta }}_n\}$ 线性无关. 由此知 $\{{\vec{\beta }}_1,\cdots ,{\vec{\beta }}_n\}$ 构成 $n$ 维空间的一组基, 因此 $A$ 可对角化.

假设有系数 $c_1,\cdots ,c_n$ 使得$$c_1{\vec{\beta }}_1+c_2{\vec{\beta }}_2+\cdots +c_n{\vec{\beta }}_n=0$$两边依次乘以 $A,A^2,\cdots ,A^{n-1}$, 我们得到$$\{\begin{array}{l}{c}_1{\vec{\beta }}_1+c_2{\vec{\beta }}_2+\cdots +c_n{\vec{\beta }}_n=0\\ {\lambda }_1{c}_1{\vec{\beta }}_1+{\lambda }_2{c}_2{\vec{\beta }}_2+\cdots +{\lambda }_n{c}_n{\vec{\beta }}_n=0\\ \cdots \cdots \\ {\lambda }_1^{n-1}{c}_1{\vec{\beta }}_1+{\lambda }_2^{n-1}{c}_2{\vec{\beta }}_2+\cdots +{\lambda }_n^{n-1}{c}_n{\vec{\beta }}_n=0\end{array}$$

我们可以把这组方程写成矩阵的形式$$\left[\begin{array}{cccc}{c}_1{\vec{\beta }}_1& c_2{\vec{\beta }}_2& \cdots & c_n{\vec{\beta }}_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccccc}1& {\lambda }_1& {\lambda }_1^2& \cdots & {\lambda }_1^{n-1}\\ 1& {\lambda }_2& {\lambda }_2^2& \cdots & {\lambda }_2^{n-1}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 1& {\lambda }_n& {\lambda }_n^2& \cdots & {\lambda }_n^{n-1}\end{array}\right]=0$$记 $P=\left[\begin{array}{cccc}{c}_1{\vec{\beta }}_1& c_2{\vec{\beta }}_2& \cdots & c_n{\vec{\beta }}_n\end{array}\right]$, $Q=\left[\begin{array}{ccccc}1& {\lambda }_1& {\lambda }_1^2& \cdots & {\lambda }_1^{n-1}\\ 1& {\lambda }_2& {\lambda }_2^2& \cdots & {\lambda }_2^{n-1}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 1& {\lambda }_n& {\lambda }_n^2& \cdots & {\lambda }_n^{n-1}\end{array}\right]$, 则上式为$$PQ=0$$

由 Vandermonde 行列式$$\det Q=\prod _{i>j}({\lambda }_i-{\lambda }_j)\ne 0$$故 $Q$ 可逆. 因此 $PQ=0⟹P=0$, 即 $P$ 的每列 $c_i{\vec{\beta }}_i=0$. 由于 ${\vec{\beta }}_i$ 都是非零向量, 我们得出 $c_i=0,i=1,\cdots ,n$. 这证明了 $\{{\vec{\beta }}_1,\cdots ,{\vec{\beta }}_n\}$ 是线性无关的向量.

$\square$

例子 4.2.8. 设 $A=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right]$, 计算 $A^{100}$.

我们首先计算 $A$ 的特征多项式

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda -2& -1& 0\\ 0& \lambda -3& 0\\ 0& -1& \lambda -1\end{array}\right|=(\lambda -2)(\lambda -3)(\lambda -1)$$$A$ 有 $3$ 个不同的特征值 $2,3,1$, 因此可对角化.

我们计算特征值 ${\lambda }_1=2,{\lambda }_2=3,{\lambda }_3=1$ 对应的特征向量 ${\vec{\beta }}_1,{\vec{\beta }}_2,{\vec{\beta }}_3$$$\begin{array}{rlrl}& ({\lambda }_1-A){\vec{\beta }}_1=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\right]{\vec{\beta }}_1=0& & \text{取}{\vec{\beta }}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]\\ & ({\lambda }_2-A){\vec{\beta }}_2=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& -1& 2\end{array}\right]{\vec{\beta }}_2=0& & \text{取}{\vec{\beta }}_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right]\\ & ({\lambda }_3-A){\vec{\beta }}_3=\left[\begin{array}{ccc}-1& -1& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& -1& 0\end{array}\right]{\vec{\beta }}_3=0& & \text{取}{\vec{\beta }}_3=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]\end{array}$$

记矩阵$$P=\left[\begin{array}{ccc}{\vec{\beta }}_1& {\vec{\beta }}_2& {\vec{\beta }}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right]$$容易计算$$P^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 1/2& 0\\ 0& -1/2& 1\end{array}\right]$$

我们得到相似变化 $A=P\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]P^{-1}$. 因此$$\begin{array}{rl}{A}^{100}=& P{\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]}^{100}{P}^{-1}=P\left[\begin{array}{ccc}{2}^{100}& 0& 0\\ 0& 3^{100}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]P^{-1}\\ =& \left[\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{2}^{100}& 0& 0\\ 0& 3^{100}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 1/2& 0\\ 0& -1/2& 1\end{array}\right]\\ =& \left[\begin{array}{ccc}{2}^{100}& 3^{100}-2^{100}& 0\\ 0& 3^{100}& 0\\ 0& (3^{100}-1)/2& 1\end{array}\right]\end{array}$$

相似变换的几何含义

设 $f:k^n\to k^n$ 是一个线性映射. 我们知道可以把 $f$ 对应于一个 $n$ 阶方阵 $A$. 具体而言, 取 $k^n$ 的标准基 $\{{\vec{e}}_1,\cdots ,{\vec{e}}_n\}$, 计算$$f({\vec{e}}_j)=\sum _i{a}_{ij}{\vec{e}}_i$$则 $A=(a_{ij})$. 实际上, 除了标准基, 我们也可以取另外一组基作类似的构造.

定义 4.2.9. 设 $f:k^n\to k^n$ 是一个线性映射. 给定 $k^n$ 的一组基 $\{{\vec{\alpha }}_1,\cdots ,{\vec{\alpha }}_n\}$, 设$$f({\vec{\alpha }}_j)=\sum _i{a}_{ij}{\vec{\alpha }}_i$$则方阵 $A=(a_{ij})$ 称为 $f$ 在这组基 $\{{\vec{\alpha }}_1,\cdots ,{\vec{\alpha }}_n\}$ 下的表示矩阵.

我们把 $f$ 在基 $\{{\vec{\alpha }}_1,\cdots ,{\vec{\alpha }}_n\}$ 下的表示矩阵写成矩阵关系$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccc}f({\vec{\alpha }}_1)& f({\vec{\alpha }}_2)& \cdots & f({\vec{\alpha }}_n)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{\vec{\alpha }}_1& {\vec{\alpha }}_2& \cdots & {\vec{\alpha }}_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]\end{array}$$

如果我们取 $k^n$ 中两组不同的基 $\{{\vec{\alpha }}_1,\cdots ,{\vec{\alpha }}_n\}$ 和 $\{{\vec{\beta }}_1,\cdots ,{\vec{\beta }}_n\}$. 设 $f$ 在基 $\{{\vec{\alpha }}_1,\cdots ,{\vec{\alpha }}_n\}$ 下的表示矩阵为 $A$, 在基 $\{{\vec{\beta }}_1,\cdots ,{\vec{\beta }}_n\}$ 下的表示矩阵为 $B$. 那么矩阵 $A$ 和 $B$ 是什么关系?

由于 $\{{\vec{\alpha }}_1,\cdots ,{\vec{\alpha }}_n\}$ 是一组基, 我们可以把向量 ${\vec{\beta }}_j$ 在这组基下作线性展开$${\vec{\beta }}_j=\sum _i{p}_{ij}{\vec{\alpha }}_i$$写成矩阵的形式$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccc}{\vec{\beta }}_1& {\vec{\beta }}_2& \cdots & {\vec{\beta }}_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{\vec{\alpha }}_1& {\vec{\alpha }}_2& \cdots & {\vec{\alpha }}_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{p}_{11}& p_{12}& \cdots & p_{1n}\\ p_{21}& p_{22}& \cdots & p_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ p_{n1}& p_{n2}& \cdots & p_{nn}\end{array}\right]\end{array}$$这个 $n$ 阶方阵 $P=(p_{ij})$ 称为从基 $\{{\vec{\alpha }}_1,\cdots ,{\vec{\alpha }}_n\}$ 到基 $\{{\vec{\beta }}_1,\cdots ,{\vec{\beta }}_n\}$ 的过渡矩阵.

命题 4.2.10. 一组基 $\{{\vec{\alpha }}_1,\cdots ,{\vec{\alpha }}_n\}$ 到另一组基 $\{{\vec{\beta }}_1,\cdots ,{\vec{\beta }}_n\}$ 的过渡矩阵 $P$ 是可逆矩阵, 且 $P^{-1}$ 是基 $\{{\vec{\beta }}_1,\cdots ,{\vec{\beta }}_n\}$ 到基 $\{{\vec{\alpha }}_1,\cdots ,{\vec{\alpha }}_n\}$ 的过渡矩阵.

证明: 设 $\{{\vec{\alpha }}_1,\cdots ,{\vec{\alpha }}_n\}$ 到基 $\{{\vec{\alpha }}_1,\cdots ,{\vec{\alpha }}_n\}$ 的过渡矩阵为 $Q$. 则$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccc}{\vec{\beta }}_1& {\vec{\beta }}_2& \cdots & {\vec{\beta }}_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{\vec{\alpha }}_1& {\vec{\alpha }}_2& \cdots & {\vec{\alpha }}_n\end{array}\right]P\\ \left[\begin{array}{cccc}{\vec{\alpha }}_1& {\vec{\alpha }}_2& \cdots & {\vec{\alpha }}_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{\vec{\beta }}_1& {\vec{\beta }}_2& \cdots & {\vec{\beta }}_n\end{array}\right]Q\end{array}$$把两个等式复合, 我们得到$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccc}{\vec{\alpha }}_1& {\vec{\alpha }}_2& \cdots & {\vec{\alpha }}_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{\vec{\alpha }}_1& {\vec{\alpha }}_2& \cdots & {\vec{\alpha }}_n\end{array}\right]PQ\end{array}$$即$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccc}{\vec{\alpha }}_1& {\vec{\alpha }}_2& \cdots & {\vec{\alpha }}_n\end{array}\right](I_n-PQ)=0\end{array}$$由 $\{{\vec{\alpha }}_i\}$ 的线性无关性, 我们得到 $PQ=I_n$.

$\square$

定理 4.2.11. 设线性映射 $f:k^n\to k^n$ 在基 $\{{\vec{\alpha }}_1,\cdots ,{\vec{\alpha }}_n\}$ 下的表示矩阵为 $A$, 在基 $\{{\vec{\beta }}_1,\cdots ,{\vec{\beta }}_n\}$ 下的表示矩阵为 $B$. 设基 $\{{\vec{\alpha }}_1,\cdots ,{\vec{\alpha }}_n\}$ 到基 $\{{\vec{\beta }}_1,\cdots ,{\vec{\beta }}_n\}$ 的过渡矩阵为 $P$. 则$$A=PB{P}^{-1}$$

证明: 过渡矩阵关系为$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{cccc}{\vec{\beta }}_1& {\vec{\beta }}_2& \cdots & {\vec{\beta }}_n\end{array}\right]=& \left[\begin{array}{cccc}{\vec{\alpha }}_1& {\vec{\alpha }}_2& \cdots & {\vec{\alpha }}_n\end{array}\right]P\end{array}$$

由于 $f$ 是线性映射, 两边作用映射 $f$ 给出$$\left[\begin{array}{cccc}f({\vec{\beta }}_1)& f({\vec{\beta }}_2)& \cdots & f({\vec{\beta }}_n)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}f({\vec{\alpha }}_1)& f({\vec{\alpha }}_2)& \cdots & f({\vec{\alpha }}_n)\end{array}\right]P$$代入 $f$ 在基下表示矩阵的关系$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{cccc}f({\vec{\alpha }}_1)& f({\vec{\alpha }}_2)& \cdots & f({\vec{\alpha }}_n)\end{array}\right]=& \left[\begin{array}{cccc}{\vec{\alpha }}_1& {\vec{\alpha }}_2& \cdots & {\vec{\alpha }}_n\end{array}\right]A\\ \left[\begin{array}{cccc}f({\vec{\beta }}_1)& f({\vec{\beta }}_2)& \cdots & f({\vec{\beta }}_n)\end{array}\right]=& \left[\begin{array}{cccc}{\vec{\beta }}_1& {\vec{\beta }}_2& \cdots & {\vec{\beta }}_n\end{array}\right]B\end{array}$$我们得到$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccc}{\vec{\beta }}_1& {\vec{\beta }}_2& \cdots & {\vec{\beta }}_n\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{cccc}{\vec{\alpha }}_1& {\vec{\alpha }}_2& \cdots & {\vec{\alpha }}_n\end{array}\right]AP\end{array}$$

再次代入过渡矩阵关系, 上述等式变为

$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccc}{\vec{\alpha }}_1& {\vec{\alpha }}_2& \cdots & {\vec{\alpha }}_n\end{array}\right]PB=\left[\begin{array}{cccc}{\vec{\alpha }}_1& {\vec{\alpha }}_2& \cdots & {\vec{\alpha }}_n\end{array}\right]AP\end{array}$$即$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccc}{\vec{\alpha }}_1& {\vec{\alpha }}_2& \cdots & {\vec{\alpha }}_n\end{array}\right](PB-AP)=0\end{array}$$由 $\{{\vec{\alpha }}_i\}$ 的线性无关性, 我们得到 $PB=AP$.

$\square$

注记. 这个命题给出了相似变换的几何含义: 相似变换是同一个线性映射 $f:k^n\to k^n$ 在不同基下表示矩阵之间的变换.