19.1. 光滑对

定义 19.1.0.1. 对概形 $S$, 定义光滑 $S$-对 $(Z,X)$ 为光滑 $S$-概形间的闭嵌入. 一般考虑如下图表:其中 $i$ 是闭浸入且 $j:U:=X\backslash Z\to X$ 是开浸入. 称光滑 $S$-对 $(Z,X)$ 是余维数 $c$ 的, 如果对任何 $s\in S$ 都有纤维 $Z_s$ 在 $X_s$ 里纯余维数 $c$.

光滑 $S$-对之间的态射 $\varphi :(Z^{\prime },X^{\prime })\to (Z,X)$ 定义为 $S$-映射 $\varphi :X^{\prime }\to X$ 且满足 $Z^{\prime }=Z{\times }_X{X}^{\prime }$.

注 19.1.0.2. 对于余维数 $c$ 的光滑 $S$-对 $(Z,X)$ 和任意 $z\in Z$, 存在开邻域 $z\in V\subset X$ 使得有平展映射$$V\stackrel{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}{⟶}{\mathbb{A}}_S^m={\underline{\mathrm{Spec}}}_S{\mathcal{O}}_S[T_1,...,T_m]$$使得 $Z\cap V$ 为 ${\underline{\mathrm{Spec}}}_S{\mathcal{O}}_S[T_1,...,T_m]/(T_{m-c+1},...,T_m)$ 的逆像. 因此局部上可以平展地写成标准光滑 $S$-对 $({\mathbb{A}}_S^{m-c},{\mathbb{A}}_S^m)$.