讲义: 给几何人的平展上同调

本笔记是我学习时候 (2023 年) 记的笔记, 为了在介绍基础理论的同时来阐述这些和代数拓扑, 复几何类似的结果和性质. 正如题所言, 这个笔记是作为 (代数) 几何人的笔者写的, 所以有很多细节我认为就算不知道也无妨, 还有自己就能推理的无聊细节 (主要集中在交换代数和点集拓扑) 就会被我略去. 因此可能不适合其他方向的人观看.

[笔记记录人] : 温尊

目录

	1 平展上同调简介
	2 平展基本群简介
	3 景和层和层化
	3.1 基础概念
	3.2 平展拓扑的一些基础应用
	4 平展拓扑上的层
	4.1 基础概念
	4.2 平展预层/层的茎
	4.3 常值层和局部常值层
	4.4 Abel 群预层和层构成的范畴
	4.5 Kummer 理论和 Artin-Schreier 列
	4.6 拟凝聚层
	5 层的一些函子
	5.1 直像
	5.2 逆像
	5.3 零扩张函子 (下叹号函子)
	6 平展上同调的定义和基本性质
	6.1 定义
	6.2 群上同调一瞥
	6.3 点的上同调
	6.4 Kummer/Artin-Schreier 列和 Galois 理论
	6.5 严格 Hensel 局部环的上同调
	6.6 平展上同调和极限一瞥
	6.7 平展上同调的拓扑不变性一瞥
	6.8 支撑在闭集的上同调及性质
	7 Čech 上同调和挠子
	7.1 Čech 上同调
	7.2 Čech-导出谱序列
	7.3 应用 I——Mayer-Vietoris 列
	7.4 应用 II——拟凝聚层的上同调
	7.5 挠子理论一瞥和应用
	8 高阶直像
	9 曲线的上同调 I——基础结果
	9.1 Brauer 群和 $C_r$ 域一瞥
	9.2 ${\mathbb{G}}_{m,X}$ 的上同调
	9.3 ${\mu }_{n,X}$ 的上同调
	9.4 支撑在点上的上同调
	10 可构建层和挠层
	10.1 可构建层
	10.2 挠层
	11 曲线的上同调 II——挠层的上同调
	11.1 迹映射方法基础
	11.2 挠层的上同调
	12 上同调维数 I——一般情况
	13 基变换定理
	13.1 经典拓扑里的紧合基变换
	13.2 紧合基变换的叙述和证明
	13.3 紧合基变换的应用
	13.4 经典拓扑里的光滑基变换
	13.5 光滑基变换一瞥
	13.6 紧合-光滑基变换及有限性定理
	13.7 特化和余特化映射
	14 上同调维数 II——仿射情况
	15 紧支上同调
	15.1 分离有限型映射的下叹号函子
	15.2 紧支高阶直像
	15.3 紧支上同调
	16 平展上同调的 Künneth 公式
	16.1 一般的 Künneth 公式
	16.2 紧支的 Künneth 公式
	17 $\ell$-进上同调和有限性定理一瞥
	18 比较定理
	18.1 常值层上同调/经典 de Rham 上同调-奇异比较定理
	18.2 GAGA 一瞥
	18.3 平展-奇异比较定理
	18.4 其他比较定理
	19 上同调纯性和 Gysin 序列
	19.1 光滑对
	19.2 上同调纯性和 Gysin 序列 I——一般情况
	19.3 基本类
	19.4 上同调纯性和 Gysin 序列 II——特殊情况
	20 链映射
	20.1 半纯性和链映射
	20.2 Chern 类和 Chow 环
	21 Poincaré 对偶
	21.1 经典拓扑的 Poincaré 对偶
	21.2 迹映射
	21.3 Poincaré 对偶及其应用
	22 迹公式
	22.1 Frobenius 映射
	22.2 非交换环上的迹
	22.3 滤过导出范畴
	22.4 完美复形和迹
	22.5 射影曲线的 Lefschetz 数
	22.6 Grothendieck-Lefschetz 迹公式
	23 Weil 上同调理论一瞥
	23.1 Weil 上同调理论和同调等价
	23.2 其他等价及 Néron-Severi 群
	23.3 Grothendieck 标准猜想一瞥
	24 平展上同调的一些应用掠影
	24.1 其他代数簇的计算
	24.2 Abel 簇相关
	24.3 相关大定理和猜想一瞥
	25 平展上同调注记
	25.1 局部系和可构建层
	25.2 Nearby cycles 和 vanishing cycles

参考文献

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