3.1. 基础概念

本质就是推广拓扑空间的定义. 我们在此只罗列一些相关熟知的定义和结论.

定义 3.1.0.1 (Grothendieck 拓扑和景). 设 $\mathcal{C}$ 是范畴, 一个 $\mathcal{C}$ 上的 Grothendieck 拓扑由集合 $\{\{U_i\to U{\}}_{i\in I}\}=\mathrm{Cov}(U)$ 组成, 其中 $U$ 是任意对象, 满足

(i) 若 $V\to X$ 是同构, 则 $\{V\to X\}\in \mathrm{Cov}(X)$;

(ii) 若 $\{X_i\to X{\}}_{i\in I}\in \mathrm{Cov}(X)$ 且 $Y\to X$ 是任意态射, 则纤维积 $X_i{\times }_{X}Y$ 存在且$$\{X_i{\times }_{X}Y\to Y{\}}_{i\in I}\in \mathrm{Cov}(Y);$$

(iii) 若 $\{X_i\to X{\}}_{i\in I}\in \mathrm{Cov}(X)$ 且对任意 $i\in I$ 都给定 $\{V_{ij}\to X_i{\}}_{j\in J_i}$, 则$$\{V_{ij}\to X_i\to X{\}}_{i\in I,j\in J_i}\in \mathrm{Cov}(X).$$

范畴 $\mathcal{C}$ 和其上的 Grothendieck 拓扑称为景.

例 3.1.0.2 (小 Zariski 景). 假设 $X$ 是一个概形. 考虑范畴 $\mathrm{Op}(X)$ 由开子概形构成, 态射是包含关系. 则 $\{U_i\to U{\}}_{i\in I}$ 为覆盖如果 $U={\bigcup }_i{U}_i$. 记这个景为 $X_{\mathrm{Zar}}$.

例 3.1.0.3 (大 Zariski 景). 假设 $X$ 是一个概形. 考虑范畴 $\mathrm{Sch}/X$, 则 $\{U_i\to U{\}}_{i\in I}$ 为覆盖如果 $U_i\to U$ 为开浸入且 $U={\bigcup }_i{U}_i$. 记这个景为 $X_{\mathrm{ZAR}}$.

例 3.1.0.4 (小平展景). 假设 $X$ 是一个概形. 考虑范畴 $\acute{\mathrm{E}}\mathrm{t}/X$, 不难证明里面的态射都是平展的, 所以我们不假设条件. $\{U_i\to U{\}}_{i\in I}$ 为覆盖如果 ${\coprod }_{i\in I}{U}_i\to U$ 是满射. 记这个景为 $X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$.

例 3.1.0.5 (大平展景). 假设 $X$ 是一个概形. 考虑范畴 $\mathrm{Sch}/X$, 则 $\{U_i\to U{\}}_{i\in I}$ 为覆盖如果 $U_i\to U$ 平展且 ${\coprod }_{i\in I}{U}_i\to U$ 是满射. 记这个景为 $X_{\acute{\mathrm{E}}\mathrm{t}}$.

例 3.1.0.6 (fppf 景). 假设 $X$ 是一个概形. 考虑范畴 $\mathrm{Sch}/X$, 则 $\{U_i\to U{\}}_{i\in I}$ 为覆盖如果 $U_i\to U$ 平坦和局部有限表现, 且 ${\coprod }_{i\in I}{U}_i\to U$ 是满射. 记这个景为 $X_{\mathrm{fppf}}$.

定义 3.1.0.7. 景 $\mathcal{C}$ 上的预层为函子 $F:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Sets}$;

定义 3.1.0.8. 给定景 $\mathcal{C}$ 和其上的预层 $F$.

(i) 预层 $F$ 称之为分离的, 如果对任意的 $U\in \mathcal{C}$ 和覆盖 $\{U_i\to U{\}}_{i\in I}\in \mathrm{Cov}(U)$, 诱导态射 $F(U)\to {\prod }_{i\in I}F(U_i)$ 是单射;

(ii) 预层 $F$ 称为层, 如果对任意的 $U\in \mathcal{C}$ 和覆盖 $\{U_i\to U{\}}_{i\in I}\in \mathrm{Cov}(U)$, 我们有如下等化子:其中态射被 $U_i{\times }_U{U}_j\to U_i$ 和 $U_i{\times }_U{U}_j\to U_j$ 诱导.

定义 3.1.0.9. 一个范畴称为 Grothendieck 意象 (Topos) 如果其等价于某个景上的层范畴.

定义 3.1.0.10 (层化). 在某个景 $\mathcal{C}$ 上, 取定 $\mathcal{P}\in \mathrm{PreSh}(\mathcal{C})$, 称 ${\mathcal{P}}^{♯}\in \mathrm{Sh}(\mathcal{C})$ 使得 $\mathcal{P}\to {\mathcal{P}}^{♯}$ 是 $\mathcal{P}$ 的层化, 如果任取 $\mathcal{G}\in \mathrm{Sh}(\mathcal{C})$ 和 $\mathcal{P}\to \mathcal{G}$, 都有交换图:

定理 3.1.0.11. 在某个景 $\mathcal{C}$ 上, 取定 $\mathcal{P}\in \mathrm{PreSh}(\mathcal{C})$. 对某个覆盖 $\mathfrak{U}=\{U_i\to U\}\in \mathrm{Cov}(U)$, 定义$${\check{H}}^0(\mathfrak{U},\mathcal{P}):=\ker \left(\prod _i\mathcal{P}(U_i)\rightrightarrows \prod _{i,j}\mathcal{P}(U_i{\times }_U{U}_j)\right).$$故有典范映射 $\mathcal{P}(U)\to {\check{H}}^0(\mathfrak{U},\mathcal{P})$. 不难证明不同覆盖可以诱导良定义的态射且和覆盖间映射选取无关 (参考 Tag 03NQ), 故定义$${\mathcal{P}}^{+}:U\mapsto \underset{\mathfrak{U}}{\underrightarrow{\lim }}{\check{H}}^0(\mathfrak{U},\mathcal{P}).$$

(i) 函子 ${\mathcal{P}}^{+}$ 是分离预层;

(ii) 若 $\mathcal{P}$ 是分离预层, 则 ${\mathcal{P}}^{+}$ 是层且 $\mathcal{P}\to {\mathcal{P}}^{+}$ 单射;

(iii) 若 $\mathcal{P}$ 是层, 则 $\mathcal{P}\to {\mathcal{P}}^{+}$ 是同构;

(iv) 不论如何 ${\mathcal{P}}^{++}$ 一定是层, 且 ${\mathcal{P}}^{++}\cong {\mathcal{P}}^{♯}$.

证明.. 这是纯粹的层论推导, 参考 Tag 00WB.

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注 3.1.0.12. 我们在景的定义 3.1.0.1 里规定 $\mathrm{Cov}(U)$ 是集合很大程度上就是为了保证这个极限存在.

推论 3.1.0.13. 在某个景 $\mathcal{C}$ 上, 取定 $\mathcal{P}\in \mathrm{PreSh}(\mathcal{C})$. 则 $♯:\mathrm{PreSh}(\mathcal{C})\to \mathrm{Sh}(\mathcal{C})$ 是个函子, 且若规定遗忘函子为 $i:\mathrm{Sh}(\mathcal{C})\to \mathrm{PreSh}(\mathcal{C})$, 则有 $(♯,i)$ 是伴随函子. 特别的, 函子 $♯$ 是正合函子.

证明.. 近乎平凡.

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推论 3.1.0.14. 考虑图 $\mathcal{F}:\mathcal{I}\to \mathrm{Sh}(\mathcal{C})$, 则 ${\underleftarrow{\lim }}_{\mathcal{I}}\mathcal{F}$ 存在且和预层范畴内一样, 而 ${\underrightarrow{\lim }}_{\mathcal{I}}\mathcal{F}$ 存在且为预层范畴内的层化.

证明.. 也是纯粹的层论验证, 见 Tag 00W2 和 Tag 00WI.

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